Математическая теория пластичности


Ишлинский А.Ю.
Ивлев Д.Д.






                Математическая теория пластичности










МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 539.3; 539.214
     И97
ББК 22.251

           Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 01-01-14064






   Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 704 с. — ISBN 5-9221-0141-2.


   Монография посвящена одному из основных разделов механики деформируемого твердого тела: математической теории пластичности, где авторам принадлежат результаты, имеющие фундаментальное значение для теории и приложений. Изложено построение общих соотношений теории идеальной

пластичности, упрочняющегося материала, а также материалов со сложными реологическими свойствами. Дано приложение теории к технологическим процессам обработки материалов давлением, деформированию и течению

пластических, вязкопластических тел и т.д.
   Предназначена для научных работников, инженеров, аспирантов, студен




























тов старших курсов, специализирующихся в области механики неупругого деформирования тел и конструкций.




























ISBN 5-9221-0141-2

© ФИЗМАТЛИТ, 2001

    ОГЛАВЛЕНИЕ



Предисловие............................................... 7
Введение ................................................. 8
Глава 1. Идеально пластическое тело.......................33
    § 1. Идеальная пластичность...........................33
    § 2. Условия пластичности.............................36
    § 3. Принцип максимума в пространстве напряжений. Пластический потенциал и ассоциированный закон пластического течения.......................................39
    § 4. Принцип максимума в пространстве скоростей пластических деформаций. Диссипативная функция и ассоциированный закон нагружения..........................42
    § 5. Экстремальные свойства условий пластичности .... 47
    § 6. Гипотеза прочности формоизменения............... 50
    § 7. Кусочно линейные условия пластичности............60
    § 8. Уравнения деформирования тел за пределом упругости.................................67
    § 9. Соотношения изотропии и обобщенный ассоциированный закон пластического течения.......................90
    § 10. Соотношения ассоциированного закона течения в обобщенных переменных....................................105
    § 11. Соотношения ассоциированного закона нагружения в обобщенных координатах.............................132
    § 12. Свойства уравнений при условии полной пластичности. 138
    § 13. Плоская задача теории идеальной пластичности.... 161
    § 14. Вдавливание штампа в пластическую среду........180
    § 15. Плоские течения идеально пластической среды .... 185
    § 16. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля ...............................................196
    § 17. Начальное пластическое течение при внедрении сферического индентора в жесткопластическое полупространство ...........................................222
    § 18. Внедрение гладкого клинообразного в плане штампа с плоским основанием в жесткопластическое полупространство ...........................................231

Содержание

    § 19. К теории кинематически определимых состояний идеально пластического тела..............................238
    § 20. Сдавливание несжимаемого пластического слоя шероховатыми плитами. Обобщение решения Прандтля............................246
    § 21. Сдавливание сжимаемого идеально пластического слоя шероховатыми плитами. Обобщение решения Гартмана..............................................260
Глава 2. Упрочняющееся пластическое тело. Сложные среды . 265
    § 1. Упрочнение и разупрочнение.
        Поверхность нагружения. Функция нагружения. Нагружение и разгрузка...........................265
    § 2. Принцип максимума в пространстве напряжений. Ассоциированный закон деформирования гладкие поверхности нагружения..................................272
    § 3. Обобщенный ассоциированный закон нагружения, кусочно гладкие поверхности нагружения..................278
    § 4. Об ограничении числа гладких функций нагружения для сингулярной поверхности нагружения. Деформационные теории пластичности...........................281
    § 5. Диссипативная функция. Принцип максимума в пространстве скоростей пластических деформаций .... 284
    § 6. Плоская деформация при наличии линейного упрочнения ..................................................290
    § 7. Общая теория пластичности с линейным упрочнением . 304
    § 8. Теории изотропного и анизотропного упрочнения . . . 326
    § 9. Модели сложных сред.............................329
    § 10. Влияние вязкости на механическое поведение пластических сред...........................................337
    § 11. О влиянии внутреннего механизма вязкости на идеально пластическое поведение материала...................340
    § 12. Уравнения деформирования не вполне упругих и вязкопластических тел....................................345
    § 13. Пространственное деформирование не вполне упругих и вязкопластических тел...............................375
    § 14. Диссипативная функция в теории пластичности.... 379
    § 15. Некоторые применения статистики к описанию законов деформирования тел................................387

Содержание

5

    § 16. О равнопрочном сечении балки....................397
    § 17. Об остаточных напряжениях при крутке............402
    § 18. Трение качения..................................419
    § 19. О качении жестких и пневматических колес по деформируемому грунту......................................433
    § 20. Прокатка и волочение при больших скоростях деформирования ............................................458
    § 21. Разрушение не вполне упругих материалов.........465
    § 22. Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействия и релаксации..................481
    §23.  Плоские движения сыпучих сред...................494
    § 24. Об ударе вязкопластического стержня о жесткую преграду ................................................508
    § 25. К вопросу об ударе вязкопластического стержня о
         жесткую преграду.................................516
    § 26. К динамике грунтовых сред.......................527
Глава 3. Линеаризированные задачи жесткопластического анализа...................................................531
    § 1. Растяжение бесконечно длинной идеально пластической полосы переменного сечения.......................531
    § 2. Растяжение идеально пластической плоской полосы, ослабленной пологими симметричными выточками. Полиномиальное решение................................536
    § 3. Растяжение анизотропной идеально пластической полосы .................................................539
    § 4. Растяжение идеально пластической анизотропной плоской полосы, ослабленной пологими симметричными выточками. Полиномиальное решение..................542
    § 5. Линеаризация. Граничные условия, условия сопряжения, условие пластичности.............................547
    § 6. Растяжение идеально пластической полосы. Полиномиальные решения......................................559
    § 7. Растяжение идеально пластического цилиндрического стержня при условии пластичности Треска...............561
    § 8. Растяжение идеально пластического цилиндрического стержня при условии пластичности Мизеса...............564

Содержание

    § 9. Напряженное состояние идеально пластического полого цилиндра, близкого к круговому...................................569
    § 10. Напряженное состояние идеально пластических тел вблизи сферической полости.............................577
    § 11. Напряженное состояние идеально пластических тел, близких к коническим...................................583
    § 12. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса, ослабленного пологими выточками, при условии полной пластичности....................................587
    § 13. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса, ослабленного пологими выточками, при условии пластичности Мизеса....................................592
    § 14. Растяжение идеально пластического прямоугольного бруса, ослабленного пологими выточками. Продолжение ...................................................596
    § 15. Линеаризированные уравнения пространственного течения идеально пластических анизотропных тел. . . . 605
    § 16. Решение линеаризированных уравнений пространственного состояния идеально пластических тел.... 608
    § 17. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута.......................................611
    § 18. Об устойчивости вязкопластического течения круглой пластины...............................................643
    § 19. Вязкопластическое течение анизотропной полосы, ослабленной пологими выточками.........................655
    § 20. Вязкопластическое течение полосы, ослабленной пологими выточками. Полиномиальное решение.................659
    § 21. Растяжение толстой вязкопластической плиты, растягиваемой в своей плоскости.............................662
    § 22. Сдавливание круглого в плане пластического слоя шероховатыми плитами.....................................666
    § 23. Сдавливание пластического слоя искривленными и наклонными шероховатыми плитами...................................681
Литература.................................................688

    ПРЕДИСЛОВИЕ



   Теория пластичности принадлежит к числу фундаментальных разделов механики деформируемого твердого тела.
   Авторы настоящей монографии принимали участие в определении и осмыслении основных общих соотношений теории идеальной пластичности, основанной на представлении о сдвиговом характере пластического деформирования, ведущем свое начало от основоположников теории пластичности Треска и Сен-Венана.
   В монографии излагается построение теории идеальной пластичности с единым математическим аппаратом статически определимых уравнений гиперболического типа, вполне адекватных сдвиговому характеру деформирования идеального жесткопластического тела.
   В монографии излагается впервые предложенная одним из авторов теория трансляционного упрочнения и ее дальнейшее развитие. Именно представления, основанные на трансляционном механизме упрочнения, позволяют описать основные свойства пластической среды при деформировании за пределом текучести.
   В монографии излагаются также численные и приближенные аналитические методы решения задач, начало исследованию которых было положено в работах одного из авторов более пятидесяти лет тому назад.
   В монографию вошли фрагменты оригинальных исследований авторов. Авторы надеются, что по ним читатель сможет представить и оценить поиск путей и результатов, приведших в определенной степени к современному состоянию теории.
   М.В. Михайлова проделала очень большую работу по подготовке рукописи к печати, авторы выражают ей глубокую благодарность.
   Авторы признательны также А.М. Васильевой, Д.В. Ильину, Н.А. Ефимовой, В.Г. Ефремову, Л.А. Максимовой, Э.В. Павловой, Г.В. Петрову, Т.И. Рыбаковой, Е.А. Целистовой за помощь в работе.
   Авторы признательны Н.Б. Бартошевич-Жагель за большой труд по редактированию книги.

    ВВЕДЕНИЕ



   Пластичность — свойство тел приобретать остаточные деформации. Математическая теория пластичности занимается построением математических моделей пластического деформирования тел, методами определения напряжений и деформаций в пластически деформируемых средах. В математической теории пластичности за исходные принимаются экспериментальные данные и непосредственно она не связана с физическим объяснением свойств пластичности. Математическая теория пластичности (далее — теория пластичности) связана, в основном, со свойствами металлов, ее применения возможны к таким материалам, как горные породы, лед и т.д.
   Экспериментально доказано, что объемная деформация металлов в достаточно широком диапазоне изменения давления является упругой, то есть пластические деформации не вызывают изменения плотности. Таким образом, при образовании пластической деформации металлов основным является сдвиговой механизм. Напротив, такие среды, как грунты, способны приобретать значительные необратимые изменения объема при сравнительно небольших значениях всестороннего давления.
   Наиболее важными экспериментами по определению пластических свойств металлов являются растяжение-сжатие плоского или цилиндрического образца и деформирование тонкостенной цилиндрической трубки, находящейся под действием растягивающей силы, крутящего момента и внутреннего давления (эксперименты, позволяющие ввести независимый отсчет усилий и деформаций).
   На рис. 1, а показана кривая «напряжение-деформация» при одноосном растяжении образца из мягкой малоуглеродистой стали. В начальной стадии, до точки А, на диаграмме имеется характерный линейный участок и зависимость о-е следует закону Гука. После точки А диаграмма становится криволинейной, а на отрезке ВС она имеет горизонтальную площадку, называемую площадкой текучести. Начиная с точки С кривая снова идет вверх.
   Отметим характерные точки диаграммы о-е. Напряжение од, соответствующее точке А на рис. 1, а, называется пределом пропорциональ-

Введение

9

пости. Таким образом, предел пропорциональности — максимальное напряжение, при котором справедлив линейный закон Гука.

Рис. 1

   Пределом упругости, или пределом пластичности, называется наибольшее напряжение, которое может выдержать данный материал, не обнаруживая остаточных деформаций при разгрузке. Предел упругости, вообще говоря, не совпадает с пределом пропорциональности и может располагаться выше или ниже предела пропорциональности, но обычно их различием пренебрегают.
   Пределом текучести о в называется напряжение, начиная с которого имеет место площадка текучести. Площадка текучести характерна для мягкой малоуглеродистой стали и некоторых сплавов. Для большинства других металлов площадка текучести не имеет места.
   Предположим, что нагружение доведено до точки М на диаграмме, а далее следует разгрузка. Процесс разгрузки будет изображаться прямой МР, параллельной прямой О А. Полная деформация е, соответствующая точке М диаграммы, состоит из двух частей — упругой ее и пластической ер:

е = ее + ер (е = ON, ер = ОР, ее = PN).

   Вторичное приложение растягивающих усилий вызовет процесс упругого деформирования до достижения растягивающим напряжением значения, имевшего место в начальный момент разгрузки (напряжение, соответствующее точке М на рис. 1, а). Таким образом, вывод материала в пластическую область путем растяжения повышает предел упругости при растяжении. Это явление называется упрочнением или наклепом.
   При сжатии диаграмма «напряжение-деформация» подобна соответствующей диаграмме при растяжении, однако наклеп материала при растяжении понижает по абсолютной величине предел упругости при сжатии, и наоборот. Это явление называется эффектом Баушингера. При пластическом деформировании наблюдается возникновение анизотропии, то есть приобретение различных механических свойств в

Введение

разных направлениях. Эффект Баушингера — следствие приобретенной анизотропии материала.
   Теория пластичности идеализирует поведение реальных материалов при пластическом деформировании. Обычно в теории пластичности диаграмму о-е аппроксимируют схемой (рис. 1, б, в, г), состоящей из двух участков: отрезка прямой О А, соответствующего упругому состоянию материала, и отрезка АМ, соответствующего состоянию пластичности. На рис. 1, б изображена зависимость о-е для идеальнопластического материала; в этом случае точка соответствует пределам пропорциональности, упругости и текучести одновременно. На рис. 1, в, г показаны зависимости о-е для материалов с линейным и нелинейным упрочнением; в этом случае точка А соответствует пределам пропорциональности и упругости.
   Эксперименты показывают разнообразие в поведении металлов и других твердых тел при пластическом деформировании. Существенным оказывается влияние скорости нагружения. При повышенной температуре (а в некоторых случаях — даже при комнатной температуре) твердые тела обнаруживают свойства ползучести, последействия и т. д. Современная теория пластичности не в состоянии учесть в равной мере все различные механические свойства твердых тел при пластическом деформировании. Теория пластичности идеализирует сложное поведение реальных материалов при пластическом деформировании, причем для различных областей применения используются гипотезы, определяющие различные модели пластических тел. Простейшей моделью пластического тела является модель идеального, изотропного, несжимаемого жесткопластического тела.
   Понятие идеальнопластического тела является предельной идеализацией свойств реального пластически деформированного тела. В связи с этим приведем высказывание Бриджмена [5]: «Понятие идеального пластического тела противоречит другим нашим представлениям о действительном поведении тел... Я не сомневаюсь в том, что свойства почти всех тел, с которыми мы имеем дело на опыте, соответствуют нашим обычным представлениям, а понятие идеального пластического тела есть, в лучшем случае, только абстракция. Сама потребность в такой идеализации свидетельствует о том, что существуют довольно обычные случаи, когда тела отклоняются от идеального поведения. Все же я считаю, что понятие идеального пластического тела имеет большее значение, чем это кажется на первый взгляд, но для того чтобы убедиться в этом, мы должны охватить в своем опыте более широкий диапазон условий.

Введение

11

   Для определенных типов деформации при возрастании величины деформации до некоторого предела представление об идеальном пластическом теле может становиться хорошим приближением».
   В настоящее время теория пластичности принадлежит к числу развитых разделов механики сплошной среды, ей посвящены известные монографии, среди которых отметим [1-75] и обзоры [76-84]. Ниже мы остановимся на работах, к которым примыкает материал книги.
   Возникновение теории пластичности принято относить ко времени появления работы французского инженера Треска (1864 г.). Анализируя результаты экспериментов по штамповке и выдавливанию заготовок из свинца, Треска выдвинул гипотезу, согласно которой пластическое течение возникает при достижении максимальным касательным напряжением предельного значения


|ттах| = |о₄ - OJ 1/2 < k, k= const,


(1)

где ттах — максимальное касательное напряжение, Oj — главные компоненты тензора напряжений. Условие пластичности (1) вошло в литературу как условие пластичности Треска.
   Условие пластичности Треска (1) интерпретируется в пространстве главных напряжений шестигранной призмой, равпопаклопеппой к оси O1 = O2 = оз (рис. 2, а). В девиаторной плоскости 01+02+03 = 0 сечение призмы Треска представляет правильный шестиугольник (рис. 2, б).

   В 1870 году Сен-Венан использовал условие пластичности Треска и предложил соотношения, описывающие идеальное пластическое течение для случая плоской задачи. Соотношения, предложенные Сеп-Венаном, имеют следующий вид:
   уравнения равновесия
. 9-сху _ дтху     Э°^                     ,
дх ⁺ ду    и’ дх ⁺ ду        и’                }
где ох,оу,тху — компоненты напряжений;

Введение

   условие пластичности Треска

(°ж — оу)² + 4т²у = 4fe²;               (3)

   условие несжимаемости

ех+еу = 0;                        (4)


   условие изотропии, устанавливающее коаксиальность тензора напряжений и тензора скоростей деформации,

СХ   СУ
Ох   Оу

£жу
~ху

(5)

где

_ ди _ ди
£х ~ ~дх' £у~ fry'

ежу

_ 1 f ди ди\
  2 \ду дхJ ’

еж, су, еху — компоненты скорости пластической деформации, и, v — скорости перемещений.
   Отметим, что условию изотропии (5) можно придать форму


°жежу + тхуеу — тхуех + °уеху *


(6)

   Соотношения теории плоской задачи, сформулированные Сен-Венаном, полностью сохраняют свое значение и по сей день.
   Леви [184], используя замену переменных


ох = о + k cos 2е, Оу = о — к cos 2е, тху = к sin 2е,

о = (сж +оу) /2,


(7)

удовлетворил тем самым условию пластичности (3) и, согласно (7) и (2), получил систему квазилинейных уравнений


                        да              „ дв , ,,, е дв „
                        т; вк sin 2е ——h 2fe cos 2е — = 0, дх                  дх                   ду


               да , „,   „ дв , „, . „ дв „
т;—h 2к cos 2е --—h 2к sin 2е = 0.
               ду          дх           ду


(8)

   Леви перешел в системе уравнений (8) к переменным


о = х (с, е), у = у(с,е),


получил линейную систему уравнений по отношению к неизвестным х, у и проинтегрировал полученную систему уравнений.
   В 1871 году Леви [183] предложил уравнения пространственной задачи теории пластичности. Уравнению грани призмы Треска (1)

Введение

13

можно придать вид
4 (</ - /г²) (4/г² - q'f - 27 г'² = 0,        (9)
где
                    j _ и Л J_________! J J
б   (бО/ *      ⁶ij⁶ jk⁶ kii
cij ⁼ °ij ~ &ij° — индекс штрих наверху приписан компонентам девиатора, q’, г' — соответственно второй и третий инварианты девиатора напряжений.
   Закон пластического течения Леви установил, предположив несжимаемость материала:
ёж + £у + ег = О,
а также пропорциональность компонент девиаторов напряжений и скорости деформаций

               бХ    бу   бХ б%   6z       бх   тху   Tyz   Txz

еХ   еу     еХ   &Z     &Z ех еху          eyz   &XZ

(10)

где еу — компоненты тензора скорости деформации.
   На рис. 3, а показан шестиугольник Треска и направления пластического течения, определяемые соотношениями Леви (10).

Рис. 3

   Хаар и Карман [229] (1909 г.) обосновали утверждение, что теория пластичности и теория предельного состояния грунтов (статика сыпучей среды) имеют общие основы. Ими было выдвинуто условие «полной пластичности»: при достижении предельного состояния имеет место

Введение

соотношение

ci = аг, оз — ci = 2k.

(И)

   Условие полной пластичности (11) описывается в рамках условия пластичности максимального касательного напряжения и определяет соответствие напряженного состояния ребру призмы Треска. Ребро призмы Треска определяется как пересечение двух граней призмы Треска:

О1 — оз
2

Tmaxi

ттах₂

02 — 03
2

(12)

откуда следует (11).
   Согласно (11) максимальное касательное напряжение достигается не на отдельной площадке, а на конусе с раствором угла п/4 с осью вдоль оз.
   Хаар и Карман [229] отметили, что при О| = о-> «эллипсоид напряжений» является в каждой области С (область пластического состояния материала) «эллипсоидом вращения», и указали на статическую определимость общего случая пространственной задачи при условии полной пластичности: «Мы получаем... вполне определенную систему из шести дифференциальных уравнений для шести неизвестных величин напряжений».
   Мизес [192] (1913 г.) предложил в качестве условия пластичности выражение предельного значения упругой энергии формоизменения элемента тела. В качестве закона пластического течения предлагалось использовать соотношения (10).
   Математическая запись квадратичного условия пластичности Мизеса оказалась проще, чем вид уравнения грани призмы Треска (19), данного Леви.
   Отметим, что ранее аналогичное условие пластичности было выдвинуто Губером (1904 г.) и в литературе можно встретить название «условие пластичности Губера-Мизеса». Условие пластичности Мизеса имеет вид
Оуау ⁼ ^²!                       (13)
условие пластичности (13) можно записать в главных напряжениях:
(ci - о₂)² + (аг - °з)² + (аз - ах)² = 8fe².

   Условие пластичности Мизеса интерпретируется в пространстве главных напряжений цилиндром, равнонаклоненным к осям координат (рис. 4, а).
   На рис. 4, б показаны окружность Мизеса в девиаторной плоскости и направления пластического течения.