Финансовая математика : сборник задач

Москва 2023

М И НИ С Т ЕРС Т ВО НА УК И И ВЫ С ШЕГО  О БРА З О ВА НИ Я РФ

УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ МИСИС

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМИ ПРЕДПРИЯТИЯМИ 
ИМЕНИ В.А. РОМЕНЦА

Кафедра промышленного менеджмента

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Сборник задач

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4601

УДК  33
Ф59

Р е ц е н з е н т
канд. экон. наук, доцент кафедры экономики Н.О. Вихрова

А в т о р ы :
И.М. Зайцев, О.О. Скрябин, А.С. Богачев, О.Е. Ломоносова

Ф59  Финансовая математика : сборник задач / И.М. Зайцев 
[и др.]. – Москва : Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 
2023. – 64 с.

В сборнике задач рассмотрены основные теоретические понятия 
и расчетные формулы курса «Финансовая математика», финансовые 
события, потоки и ренты, простые и общие кредитные операции, 
процентные и учетные ставки, различные схемы погашения 
долга. Приведены задачи с решениями, способствующие лучшему 
освоению и закреплению теоретического материала, а также задачи 
для контроля знаний студентов. Соответствует программе курса 
«Финансовая математика».
Предназначен для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлениям подготовки бакалавров 38.03.01 
«Экономика» и 38.03.02 «Менеджмент».

УДК 33


Коллектив авторов, 2023

НИТУ МИСИС, 2023

Содержание

1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ [1-2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Наращение по простой процентной ставке . . . . . . . . . . 4

1.2. Дисконтирование и учет по простым процентным 
ставкам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Решение типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Вопросы для обсуждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 14

2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ [1-2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1. Начисление сложных процентов . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Дисконтирование по сложной ставке  . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Решение типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. Вопросы для обсуждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 39

3. АННУИТЕТЫ [1-2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1. Виды потоков платежей и их основные параметры  . . .48

3.2. Наращенная сумма постоянной ренты 
постнумерандо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3. Решение типовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4. Вопросы для обсуждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 56

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ [1-2]

1.1. Наращение по простой процентной 
ставке

Простые проценты – это метод расчета дохода кредитора 
от предоставления денег в долг заемщику. Значительная часть 
времени в финансовой деятельности приходится на использование 
сложных процентов, за исключением краткосрочных 
операций (рассчитанных на срок до одного года), таких как 
вексель, текущий счет, ломбардный кредит.
Под наращенной суммой (amount, maturity value) ссуды 
(долга, депозита, других видов, выданных в долг или инвестированных 
денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными 
процентами к концу срока (date of maturity, due 
date). Наращенная сумма определяется умножением первоначальной 
суммы долга (principal) на множитель наращения, 
который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше 
первоначальной. Для записи формулы наращения простых 
процентов (simple interest) примем обозначения:
 – проценты за весь срок ссуды – I ;
 – первоначальная сумма долга – P ;
 – наращенная сумма, или сумма в конце срока – S ;
 – ставка наращения – i ;
 – срок ссуды – n .

Срок обычно измеряется в годах, соответственно i  – годовая 
ставка. Каждый год приносит проценты в сумме Pi . Начисленные 
за весь срок проценты (accrued interest) составят 

I
 Pni
.

Наращенная сумма, таким образом, находится как 


.
1
S
P
I
P
ni





Данную формулу называют формулой наращения по простым 
процентам или кратко – формулой простых процентов, 
а множитель – множителем наращения простых процентов. 
График роста по простым процентам представлен на рис. 1.1. 

Рис. 1.1. График роста по простым процентам

1.2. Дисконтирование и учет по простым 
процентным ставкам

Рост по учетной ставке

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной 
наращению процентов: по заданной сумме S , которую 
следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить 
сумму полученной ссуды P . Такая ситуация может 
возникнуть, например, при разработке условий контракта. 
Расчет P  и S  необходим и тогда, когда проценты с суммы S  
удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. 
В этих случаях говорят, что сумма S  дисконтируется или учитывается, 
сам процесс начисления процентов и их удержание 
называют учетом, а удержанные проценты – дисконтом (dis-
count). Необходимость дисконтирования возникает, например, 
при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых 
должником произойдет в будущем. 
Математическое дисконтирование представляет собой формальное 
решение задачи, обратной наращению первоначальной 
суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: 
определить, какую первоначальную сумму ссуды надо выдать 

в долг, чтобы получить в конце срока сумму S  при условии, 
что на долг начисляются проценты по ставке i . Решим уравнение 
относительно P , можем найти

.
1
S
P
ni



Разность S
 P
 можно рассматривать не только как проценты, 
начисленные на P , но и как дисконт с суммы S . Дисконт 
обычно обозначается символом D .
Суть банковского учета (учета векселей) заключается 
в том, что банк или иное финансовое учреждение до наступления 
срока платежа (date of maturity) по векселю или иному 
платежному обязательству приобретает его у владельца 
по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (
учитывает) его и с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив 
при наступлении срока веселя деньги, банк реализует дисконт. 
В свою очередь, владелец векселя с помощью его учета 
имеет возможность получить деньги, хотя и не в полном объеме, 
однако раньше указанного на нем срока. При учете векселя 
применяется банковский учет (bank discount). Согласно 
этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта 
начисляются на сумму, подлежащую уплате в к онце срока. 
При этом применяется учетная ставка d . 
Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен Snd ; 
если d – годовая ставка, то n  измеряется в годах. Таким образом:


,

1
P
S
Snd
S
nd





где n – срок от момента учета до даты погашения векселя; 


1 nd

 – дисконтный множитель здесь.
Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете 
наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость 
при определении суммы, которую надо проставить 
в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумму 
в этом случае

.
1
1
S
P
nd



1.3. Решение типовых задач

Задача 1.1. Вы увидели в объявлении предложение 
по кредиту: 100 000 руб. за 77 руб. в день. Уточните элементы 
предлагаемого варианта кредита в предложении, что он 
предоставляется под годовую ставку простых процентов, и 
определите ее. 

Решение
Пусть кредит взят на месяц под ставку i, сумма 77 руб. 
является процентной платой за каждый из 30 дней, а взятая 
в долг сумма возвращается в конце месяца. Тогда, используя 
формулу I
 Pni
 и предполагая, что в году 365 дней, получаем 
уравнение 77 = 100 000i/365, а из него находим, что i = 77  
365 / 100 000 = 0,28105 = 28,105 %. 

Задача 1.2. Две суммы были положены в разные банки 
на разное время, причем проценты, которые принесла большая 
сумма, оказались в 2 раза больше. Определить эти суммы, 
если разница между ними равна 300 и, кроме того, большая 
сумма была вложена на 6 месяцев под годовую ставку 5 %, а 
меньшая – на 3 месяца под годовую ставку 6 %.

Решение
Пусть P – большая сумма. Тогда придем к уравнению



1
2
1
1
0,05
2
2
300
0,6
,
2
4
I
P
I
P









из которого можно найти, что P = 1800.

Задача 1.3. Предприниматель получил на 1,5 года кредит 
в размере 40 тыс. руб. с условием возврата 50 тыс. руб. Определите 
процентную ставку, учетную ставку и дисконт фактор 
за 1,5 года. Чему равен индекс роста суммы кредита?

Решение
Определим величину процентной ставки за 1,5 года:

1,5
50
40
0,25
40
i



 или, что равносильно, 1,5
25 %.
i


Аналогичным образом учетную ставку и дисконт-фактор 
находим соответственно по формулам

1,5
0,2, или 20 %;
50
40
50
d




1,5
40
0,8, или 80 %.
50
v



Индекс роста 
B1,5
 суммы кредита показывает, во сколько 
раз возвращаемая сумма больше выданной:

1,5
25
1,25.
20
B



Задача 1.4. Известно, что капитал, помещенный в банк, 
вырос за первый год в 1,4 раза, а за второй год вся сумма увеличилась 
в 1,2 раза. Определите индекс роста вклада и процентную 
ставку за 2 года. На сколько процентов увеличился 
капитал за все время?

Решение
Индекс роста капитала 
2
B  за 2 года находим перемножением 
индексов роста за каждый год:

2
1,4 1,2
1,68.
B 



Следовательно, двухгодовая процентная ставка, показывающая, 
на сколько процентов увеличится капитал, составит

2
2
1 1,68 1
0,68.
i
 B
 
 

Таким образом, капитал за 2 года увеличится на 68 %.

Задача 1.5. На какой срок необходимо поместить денежную 
сумму под простую процентную ставку 28 % годовых, 
чтобы она увеличилась в 1,5 раза?

Решение
Искомый срок определяем из равенства множителя наращения 
величине 1,5:

1
0,28
1,5.
 n



Решая это уравнение относительно n , получим 

0,5
1,786
n  0,28

года.

Таким образом, если в году 365 дней, то необходимый срок 
составит 1 год и 287 дней.

Задача 1.6. Платежи в 6 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 10 тыс. 
руб. должны быть погашены соответственно через 90, 165 и 
270 дней. Кредитор и должник согласились заменить три платежа 
одним через 120 дней. Найдите величину консолидированного 
платежа, если используется простая процентная ставка 38 % 
годовых и в расчет принимаются обыкновенные проценты.

Решение
При решении задач такого типа пользуются уравнением эквивалентности, 
согласно которому сумма заменяемых платежей, 
приведенных к одному моменту времени, приравнивается 
к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к той 
же дате. Причем приведение осуществляется путем дисконтирования 
к более ранней дате или путем наращения величины соответствующего 
платежа, если эта дата относится к будущему.
В данном случае платежи в 6 тыс. руб., 4 тыс. руб. и 10 тыс. 
руб. заменяются единым платежом 
0
P , величину которого 
обычно определяют путем приведения всех платежей к дате 
погашения платежа 
0
P .
Так как срок погашения платежа в 6 тыс. руб. меньше 
120 дней, то процесс приведения для этого платежа будет осуществляться 
в виде процесса наращения в течение 30 дней 
(120 – 90) по простой процентной ставке 38 % годовых.
Так как срок погашения платежа в 4 тыс. руб. больше 
120 дней, то процесс приведения для этого платежа будет осуществляться 
в виде процесса дисконтирования по простой процентной 
ставке 38 % годовых за 45 дней (165 – 120). По той же причине 
сумма 10 тыс. руб. дисконтируется за 150 дней (270 – 120).
Складывая приведенные суммы платежей, получим величину 
консолидированного платежа 
0
P :

0
30
4
6 1
0,38
45
360
1
360 0,38
10
18,624 тыс.руб.
150
1
0,38
360

P



















Если бы за дату приведения выбрали, например, время 
платежа в 6 тыс. руб., то, рассуждая, как и выше, получили 
бы такое уравнение:

0
4
10
6
.
30
75
180
1
0,38
1
0,38
1
0,38
360
360
360

P










Откуда 
0
18,683 тыс.руб.
P 

При выборе в качестве даты приведения момент отсчета 
всех сроков получим уравнение

0
6
120
90
1
0,38
1
0,38
360
360
4
10
,
165
270
1
0,38
1
0,38
360
360

P














из которого находим, что 
0
18,780 тыс.руб.
P 

Отличие результатов из-за выбора даты приведения обусловлено 

правилами 
наращения 
и 
дисконтирования 
по простым процентам. Поэтому при изменении финансового 
соглашения необходимо оговорить дату, на которую будет осуществляться 
приведение всех сумм.

1.4. Вопросы для обсуждения

1. В чем заключается временная ценность денег?
2. С помощью каких показателей (абсолютных и относительных) 
можно характеризовать результативность финансовой 
операции?
3. Как определяется процентная ставка и в каких границах, 
согласно определению, она может меняться?
4. Как определяется учетная ставка и в каких границах, 
согласно определению, она может меняться?
5. Каким образом связаны между собой процентная ставка, 
учетная ставка и дисконт-фактор? В каких единицах могут 
выражаться эти показатели?
6. Какими ставками пользуются, как правило, в прогнозных 
расчетах?

7. Прокомментируйте с финансовой точки зрения ситуацию, 
когда: а) процентная или учетная ставка равна нулю; 
б) учетная ставка равна единице.
8. Что показывает индекс роста вклада за некоторый промежуток 
времени? Приведите формулы, связывающие индекс 
роста с дисконт-фактором и ставками.
9. Как определяется индекс роста за несколько промежутков 
времени, расположенных последовательно друг за другом?
10. Что называется процессом наращения? Какая ставка 
может являться ставкой наращения?
11. Что называется процессом дисконтирования? Какая 
ставка может являться ставкой дисконтирования?
12. О каком направлении во времени денежного потока 
идет речь при наращении? А при дисконтировании?
13. Как, используя процентную или учетную ставку, показать, 
что время в определенном смысле генерирует деньги?
14. Чем отличается экономическое понятие «процент» 
от математического понятия «процент»?
15. Связана ли доходность финансовой операции с риском 
при проведении этой операции?
16. В чем заключается экономический смысл дисконтирования?

17. Как происходит начисление простых процентов на капитал 
в течение всего срока?
18. Что показывает множитель наращения в формуле наращения 
простыми процентами? Как он связан с индексом роста 
первоначальной суммы?
19. Если вклад в банке увеличился на 300 %, то во сколько 
раз увеличился вклад?
20. Какова зависимость наращенной суммы от времени 
при начислении простых процентов по процентной ставке 
на инвестируемый капитал? Каков вид ее графика?
21. Как связаны между собой наращение по простой процентной 
ставке и арифметическая прогрессия?
22. За какой период происходит удвоение первоначальной 
суммы в результате наращения по простой процентной 
ставке?
23. Изменится ли величина наращенной суммы за несколько 
лет, если начисление простых процентов по данной про-