Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1
Покупка
Новинка
Издательство:
Прометей
Год издания: 2024
Кол-во страниц: 374
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-00172-595-4
Артикул: 828965.01.99
Данное учебное пособие представляет собой первую часть практикумов, разработанных для обеспечения учебного процесса по дисциплинам «Математика и анализ данных» и «Цифровая математика на языке R и Excel» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Гостиничное дело», «Государственное и муниципальное управление», «Политология», «Социология», «Туризм», «Управление персоналом» по программе подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования последнего поколения.
В пособии излагаются общие характеристики MS Excel и языка R с дальнейшим применением их по мере изучения основных положений линейной алгебры и математического анализа. Каждый параграф начинается с кратного изложения теоретических сведений. Затем — большое количество решенных примеров разного уровня сложности. Для основных типов задач приводится реализация решения в MS Excel и R. В каждом разделе находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены типовые варианты контрольной и демонстрационные варианты зачетной работы.
Пособие предназначено для студентов, стремящихся освоить современные инструментальные средства. Оно может быть рекомендовано для программ прикладного бакалавриата, при обучении слушателей бизнес-школ, колледжей, для программ повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических знаний.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 38.03.04: Государственное и муниципальное управление
- 39.03.01: Социология
- 41.03.04: Политология
- 43.03.02: Туризм
- 43.03.03: Гостиничное дело
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Москва 2024 Л.Р. Борисова, И.Ю. Седых, М.Б. Хрипунова Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R Практикум Часть 1 Учебное пособие Под редакцией Седых И.Ю. Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финансовый университет)
УДК 517(073) ББК 22.161я73 Б82 Б82 Борисова Л.Р. Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1: Учебное пособие / Л.Р. Борисова, И.Ю. Седых, М.Б. Хрипунова; под ред. И.Ю. Седых — М.: Прометей, 2024. — 374 с. ISBN 978-5-00172-595-4 Данное учебное пособие представляет собой первую часть практикумов, разработанных для обеспечения учебного процесса по дисциплинам « Математика и анализ данных» и «Цифровая математика на языке R и Excel» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Гостиничное дело», «Государственное и муниципальное управление», «Политология», «Социология», «Туризм», «Управление персоналом» по программе подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования последнего поколения. В пособии излагаются общие характеристики MS Excel и языка R с дальнейшим применением их по мере изучения основных положений линейной алгебры и математического анализа. Каждый параграф начинается с кратного изложения теоретических сведений. Затем — большое количество решенных примеров разного уровня сложности. Для основных типов задач приводится реализация решения в MS Excel и R. В каждом разделе находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены типовые варианты контрольной и демонстрационные варианты зачетной работы. Пособие предназначено для студентов, стремящихся освоить современные инструментальные средства. Оно может быть рекомендовано для программ прикладного бакалавриата, при обучении слушателей бизнес- школ, колледжей, для программ повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических знаний. ISBN 978-5-00172-595-4 © Борисова Л.Р., Седых И.Ю., Хрипунова М.Б., 2024 © Издательство «Прометей», 2024 Рецензенты: Губернаторов А.М., доктор экон. наук, доцент, профессор кафедры «Бизнес-информатика и экономика» ФГБОУ ВО Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых; Жукова Г.С., доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор департамента анализа данных и машинного обучения Финансового университета при Правительстве Российской Федерации. Авторы: Борисова Людмила Робертовна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации; Седых Ирина Юрьевна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации; Хрипунова Марина Борисовна, кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации.
Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Введение в MS EXCEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Введение в язык программирования R . . . . . . . . . . . . . . . 14 Раздел I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Глава 1. Векторы, матрицы, определители 1.1. Матрицы и операции над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2. Определитель квадратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4. Векторные пространства и n-мерные векторы . . . . . . 36 1.5. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.6. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 56 Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений 2.1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2. Методы решений систем линейных уравнений . . . . . 63 2.3. Однородные системы линейных уравнений . . . . . . . . 66 2.4. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 88 Глава 3. Линейные преобразования (операторы) 3.1. Определение линейного оператора и его матрица . . . 92 3.2. Собственные векторы и собственные числа . . . . . . . . 94 3.3. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.4. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . 98 Глава 4. Задачи оптимизации. Линейное программирование 4.1. Выпуклые множества в n-мерном пространстве . . . 100 4.2. Основная задача линейного программирования . . . 104
4.3. Графический метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4. Транспортная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.5. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . 136 Линейная алгебра в R Операции с векторами в R (RStudio) . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Операции с матрицами в R (RStudio) . . . . . . . . . . . . . . . 147 Определители квадратных матриц. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы. След. Ранг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Матричные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Системы линейных алгебраических уравнений . . . . . . . 167 Решение задач линейного программирования в R . . . . . 169 Раздел II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Глава 5. Функции одной переменной 5.1. Понятие функции. Основные свойства функций . . . 178 5.2. Основные элементарные функции и их графики . . . 180 5.3 Классификация функций. Преобразование графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Глава 6. Пределы и непрерывность 6.1. Числовая последовательность и ее предел . . . . . . . . 188 6.2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины 191 6.4. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.5. Первый и второй замечательные пределы . . . . . . . . 195 6.6. Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.7. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.8. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 216 Глава 7. Дифференциальное исчисление 7.1 Определение и геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.3. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.4. Интервалы монотонности. Экстремумы функции . . 229 7.5. Производные высших порядков. Точки перегиба функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.6 Общая схема исследования функций и построения их графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.7. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.8. Экономические приложения пределов и производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.9 Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7.10. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . 258 Глава 8. Интегральное исчисление 8.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 8.2 Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . 265 8.3. Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 8.7. Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 8.8. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8.9. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.10. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . 294 Глава 9. Функции нескольких переменных 9.1. Основные понятия. Частные производные функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 9.2. Градиент функции двух переменных . . . . . . . . . . . . 307 9.3. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . 308 9.4. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 9.5. Типовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 9.6. Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . 319
Математический анализ в R Задание математических функций, исследование и построение графиков функций в R . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Вычисление производных функции одной переменной и экономические приложения производной в R . . . . . . . 337 Использование R при вычислении определенных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Функции нескольких переменных в R . . . . . . . . . . . . . . . 348 Экстремумы функции нескольких переменных . . . . . . . 355 Типовые варианты контрольной работы Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Демонстрационные варианты зачетной работы Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Предисловие Данное учебное пособие «Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R. Практикум. Часть 1» представляет собой первую часть практикумов и вторую часть учебно-методического комплекса пособий, разработанных для учебного и методического обеспечения организации и проведения учебного процесса по дисциплине «Математика и анализ данных» и «Цифровая математика на языке R и Excel» для студентов, обучающимся по направлениям подготовки «Гостиничное дело», «Государственное и муниципальное управление», «Политология», «Социология», « Туризм», «Управление персоналом» по программе подготовки бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами высшего образования последнего поколения. Преподавание дисциплины «Математика и анализ дан- ных» студентам, обучающимся по вышеперечисленным направлениям, имеет ряд особенностей. Прежде всего, это широта круга охватываемых вопросов в течение ограниченного промежутка времени. Ситуация осложняется еще и тем, что дисциплина преподается на первом курсе — то есть студентам — вчерашним школьникам. Все это требует от преподавателя больших усилий по ор- ганизации и проведению учебного процесса. И надо помнить, что цель изучения дисциплины «Математика и анализ данных» (как и других дисциплин математического цикла) — научить студентов учиться, то есть находить, воспринимать и использовать в своей будущей профессиональной деятельности необходимую информацию. А источников этой информации в современной ситуации достаточно много (как традиционных, так и новейших). В учебном пособии последовательно излагаются общие характеристики табличного процессора MS Excel и языка программирования R с дальнейшим применением их
по мере изучения основных положений линейной алгебры и математического анализа. Пособие включает в себя главы «Введение в MS Excel», «Введение в язык программирования R» и два раздела: «Линейная алгебра», «Математический анализ». Каждый раздел начинается с кратного изложения основных теоретических сведений. Затем — большое количество решенных примеров разного уровня сложности. Для основных типов задач приводится реализация решения в MS Excel и с использованием языка R. В каждом разделе находятся задачи для самостоятельного решения. Представлены типовые варианты контрольной и демонстрационные варианты зачетной работы. В основе пособия лежат курсы лекций и материалы пра- ктических занятий, разработанные авторами по дисциплинам математического цикла по соответствующим направлениям подготовки в Финансовом университете при Правительстве Российской Федерации. Пособие предназначено, в первую очередь, для студен- тов, обучающихся по программам академического бакалав- риата, изучающих вышеперечисленные разделы математики, и стремящихся освоить современные инструментальные средства и их применение при решении задач. Также оно может быть рекомендовано и для программ прикладного бакалавриата, при обучении слушателей бизнес-школ, колледжей, также для программ повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических знаний.
Введение в MS EXCEL Microsoft Excel — программа для работы с электрон- ными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. Она предоставляет возможности экономико-статисти- ческих расчетов, графические инструменты, поддерживает язык макропрограммирования VBA (Visual Basic для приложений). Microsoft Excel входит в состав Microsoft Offi ce и на сегодняшний день Excel является одной из наиболее популярных программ в мире. Открыть программу можно, например, щелкнув правой кнопкой мышки по полю Рабочего стола, Создать, Лист Microsoft Excel. Лист MS Excel — это рабочая вкладка, на которой нахо- дится двумерная таблица, состоящая из ячеек. Любой файл Excel состоит, как минимум из одного ли- ста. Лист Excel состоит из 16 384 столбцов и 1 048 576 строк (в версиях младше 2007 года их меньше), на их пересечениях находятся ячейки для ввода формул, чисел, текста, дат и т.д. Количество самих листов в Excel не ограниченно (зависит от оперативной памяти компьютера).
У каждой ячейки есть свое имя (адрес), состоящее из на- звания столбца и номера строки на пересечении которых она находится, например, желтая ячейка — A4 . В ячейки Excel можно вводить формулы, в состав кото- рых входят встроенные функции. Чтобы ячейка стала активной нужно ввести “ = “ знак равно. Рассмотрим следующие примеры. Введем в ячейку А4 “3+4”, в ней так и останется «3+4» Введем в ячейку А4 “= 3+4”, после выхода из нее, про- грамма посчитает сумму 3+4 и выдаст в ней результат 7 . А в командной строке . Под функцией в Excel понимают встроенные подпро- граммы для организации вычислений в Excel. Количество различных функций в различных версиях Excel очень велико ( больше 400), но все они распределены по основным категориям: финансовые, дата и время, математические, статистические, ссылки и массивы и т. д. Любая функция имеет свое неповторимое (уникальное) имя, один или несколько аргументов. В общем виде функция записывается следующим образом: =F (arg1, arg2, …), где F – имя функции; arg1, arg2, … - аргументы функции. Аргумент функции – это значение, с которым оперирует данная функция и которое надо задать, чтобы получить результат функции. Аргументами функции могут быть числа,
текст, логические выражения, ссылки на ячейки или диапазон ячеек. Функции можно вызывать разными способами: на- жимаем клавишу равно « = » непосредственно в ячейке и первые буквы названия функции (всплывают подсказки); или нажимаем на кнопку fx на Стандартной панели инструментов, появится Мастер функций; или через меню Вставка → Функция, также вызовется Мастер функций. После вызова Мастера функций необходимо: в поле Категории выбрать нужную категорию, в поле Функции выбрать нужную функцию. Если Excel не может правильно оценить формулу или функцию рабочего листа, он отобразит значение ошибки — например, #ИМЯ?, #ЧИСЛО!, #ЗНАЧ!, #Н/Д, #ПУСТО!, #ССЫЛКА! — в ячейке, где находится формула. Ошибка #ИМЯ появляется, когда имя, которое исполь- зуется в формуле, было удалено или не было ранее определено. Или допущена ошибка в написании имени функции.
В формуле используется текст, не заключенный в двойные кавычки. Excel выдает ошибку, так как воспринимает такой текст как имя. Ошибка #ЧИСЛО! в Excel выводится, если в формуле со- держится некорректное число. Используете отрицательное число, когда требуется положительное значение. Формула возвращает число, которое слишком велико или слишком мало, чтобы его можно было представить в Excel. Ошибка #ЗНАЧ! Данная ошибка Excel возникает в том случае, когда в формуле введён аргумент недопустимого значения. Формула содержит пробелы, символы или текст, но в ней должно быть число. В аргументе функции введен диапазон, а функция предполагается ввод одного значения. При использовании формулы массива нажимается клавиша Enter и Excel выводит ошибку, так как воспринимает ее как обычную формулу. В случае если формула содержит ссылку на ячейку, ко- торая не существует или удалена, то Excel выдает ошибку #ССЫЛКА. Ошибка #ДЕЛ/0!. Данная ошибка Excel возникает при делении на ноль, то есть когда в качестве делителя используется ссылка на ячейку, которая содержит нулевое значение, или ссылка на пустую ячейку. Ошибка #Н/Д в Excel означает, что в формуле исполь- зуется недоступное значение. Ошибки в работе с массивами: использование не соответствующих размеров диапазонов. Например, аргументы массива имеют меньший размер, чем результирующий массив. В функции не заданы один или несколько обязательных аргументов. Ошибка #ПУСТО! в Excel возникает, когда, в формуле используются непересекающиеся диапазоны. Ошибка #### возникает если ширины столбца недо- статочно, чтобы отобразить содержимое ячейки. Ячейка содержит формулу, которая возвращает отрицательное значение при расчете даты или времени. Дата и время в Excel должны быть положительными значениями. Информация об ошибках является подсказкой и позво- ляет корректировать программу для ее правильной работы.
Итак, с помощью Excel можно анализировать большие массивы данных. В Excel можно использовать математические, статистические, финансовые и другие специализированные функции, связывать разные таблицы между собой, выбирать произвольные форматы представления данных, создавать иерархические структуры. Excel включает в себя инструменты позволяющие визу- ализировать результаты обработки данных с помощью всевозможных графических представлений. Excel — программа с встроенными всплывающими под- сказками, позволяющими студенту идти к решению задачи и учиться пользоваться возможностями программы единовременно. В настоящем издании будем применять Excel для реше- ния практически всех типов представленных задач.
Введение в язык программирования R Для работы с данным (и последующими учебно-методи- ческими материалами по R) необходимо иметь установленные на компьютере два пакета: интерпретатор языка программирования R и оболочку RStudio. Процедура официального бесплатного скачивания и установки этих пакетов описана в инструкции [5]. Необходимо установить эти два пакета на своем лич- ном компьютере (ноутбуке, планшете и т. п.), так как вместе с десятками тысяч других специалистов по всему миру считаем это вычислительное средство одним из первых в линейке лидеров на данный момент времени. R (R Core Team 2021) — это язык для статистического анализа и визуализации данных. Он возник как ответвление языка S/Splus, разработанного еще в 1970-х годах в Bell Laboratories. RStudio (RStudio Team 2019) — это свободно распро- страняемая среда для разработки (integrated development environment) на языке R. RStudio была основана в 2009 году американским про- граммистом и интернет-предпринимателем Джозефом Ал- лером. Среду RStudio можно устанавливать на компьютеры с разными операционными системами (Windows, OS X, Linux). RStudio — удобный вариант среды для разработки на R. Писать программы стало гораздо удобнее благодаря появлению среды RStudio. Вторая причина роста популярности R — это появление графического пакета ggplot2, написанного Хедли Викхемом в 2016 году. Этот пакет во много раз облегчил построение сложных и красивых графиков.