Алгебра. 9 класс. Новые дидактические материалы для углублённого изучения математики

Н.И. Фирстова 

АЛГЕБРА 

9 класс 

Новые дидактические материалы  
для углубл¸нного изучения  
математики 

Москва 
Издательство «Интеллект-Центр» 

2023 

2-е издание, электронное

УДК 373.167.1:51+51(075.3)
ББК 22.1я721
Ф62

Рецензент:
Е. В. Лукьянова — кандидат педагогических наук, 
учитель высшей категории ГБОУ «Школа Марьина Роща им. В. Ф. Орлова»

Ф62
Фирстова, Н. И.
Алгебра. 9 класс. Новые дидактические материалы для углублённого 
изучения математики / Н. И. Фирстова. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 
67 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2023. — Систем. требования: 
Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — 
Текст : электронный.
ISBN 978-5-907528-97-0

Дидактические материалы представляют собой сочетание элементов теоретической 
информации с набором заданий для учащихся 9 класса с углублённым изучением 
математики, которые помогут организовать разнообразные способы работы 
в классе и дома.
Данная книга будет полезна учащимся школ, которые занимаются по программе «
Математическая вертикаль», учителям математики, студентам педагогических 
специальностей и всем, кто интересуется математикой.

УДК 373.167.1:51+51(075.3) 
ББК 22.1я721

Электронное издание на основе печатного издания: Алгебра. 9 класс. Новые дидактические 
материалы для углублённого изучения математики / Н. И. Фирстова. — Москва : Издательство 
«Интеллект-Центр», 2020. — 64 с. — ISBN 978-5-907339-09-5. — Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами 
защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.


ISBN 978-5-907528-97-0
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2020
© Н. И. Фирстова, 2020

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Введение ............................................................................................................................ 4 
1. Изображение фигур на плоскости ................................................................ 6 
2. Нахождение площадей фигур ......................................................................... 7 
3. Применение координатного метода ............................................................. 9 
4. Решение неравенств ............................................................................................. 12 
4.1. Дробно-рациональные неравенства ................................................... 12 
4.2. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля ...13 
5. Решение уравнений .............................................................................................. 16 
5.1. Целые и дробные уравнения .................................................................. 16 
5.2. Метод замены переменной .................................................................... 16 
5.2.1. Применение основного свойства дроби ................................... 16 
5.2.2. Переход к системе .............................................................................. 17 
5.2.3. Явная замена ......................................................................................... 17 
5.2.4. Однородные уравнения ...................................................................... 18 
5.3. Метод разложения на множители .................................................. 19 
5.4. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля ....19 
5.5. Функциональные уравнения .................................................................. 20 
6. Системы нелинейных уравнений .................................................................. 21 
6.1. Метод сложения .......................................................................................... 21 
6.2. Метод подстановки .................................................................................. 22 
6.3. Метод замены переменной .................................................................... 23 
6.3.1. Явная замена ......................................................................................... 23 
6.3.2. Симметрическая система ............................................................... 24 
6.3.3. Однородная система  
или сведение к однородным уравнениям ................................. 26 
6.4. Метод разложения на множители .................................................. 28 
6.5. Функциональный метод .......................................................................... 29 
6.6. Применение векторно-координатного метода .......................... 31 
6.7. Методы алгебраических преобразований ...................................... 33 
6.7.1. Умножение уравнений ....................................................................... 33 
6.7.2. Деление уравнений .............................................................................. 33 
6.8. Решение систем уравнений при помощи неравенств ............35 
6.9. Решение систем уравнений в целых числах ............................... 36 
6.10. Системы, содержащие переменную под знаком модуля ....37 
7. Функции и графики ............................................................................................. 38 
7.1. Построение графиков ............................................................................... 38 
7.2. Нахождение значений функций 
(наибольшее и (или) наименьшее) ................................................... 39 
7.3. Задание функций формулой .................................................................. 40 
8. Задачи на прогрессии .......................................................................................... 41 
9. Сюжетные задачи ................................................................................................... 43 
10. Системы неравенств ........................................................................................... 45 
Ответы ................................................................................................................................47 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 

Важнейшими проблемами образования, в частности — математиче-

ского, являются проблемы заинтересованности обучающихся в изучении 
того или иного материала и возможности его эффективного усвоения. 


Дифференцированное обучение и классы различной профильной 

направленности дают возможность по-новому посмотреть на цели, содержание, 
формы и методы обучения математике. 

В рамках предпрофильной подготовки школьников особенно ак-

туально вста¸т вопрос о совершенствовании образовательного пространства 
школы, о появлении системных новообразований в работе с 
одар¸нными учащимися. 

Одним из важнейших видов учебной деятельности является ре-

шение задач. В данных дидактических материалах для 9 класса 
представлены различные виды задач по основным темам школьного 
курса алгебры. 

Среди учащихся бытует мнение, что знание теории носит второ-

степенный характер. Этому в какой-то степени способствует господствующая 
в последнее время письменная форма экзаменационных 
работ. 

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составля-

ет значительную часть школьного курса математики. Уравнения и 
неравенства уже сами по себе представляют интерес для изучения, 
т.к. в известном смысле именно с их помощью на символическом 
языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной 
действительности. 

Формируя у учащихся, в процессе обучения, специальные мето-

ды и способы реализации решения уравнений и неравенств, осуществляется 
этап закрепления основных понятий и теоретических положений, 
связанных с изучением входящих в них функций. В этой ситуации 
у учащихся можно формировать умение анализировать, обобщать, 
конкретизировать. 

Настоящая книга предназначена для работы в классах с углуб-

л¸нным изучением математики, классах с профилем, рассчитанным 
на расширенное изучение математики, образовательных классов с 
подготовленным составом учащихся, интересующихся математикой. 
Материалы, предложенные в книге, служат хорошим дополнением к 
задачам учебника для углубл¸нного изучения алгебры 9 класса авторского 
коллектива под руководством Ю.Н. Макарычева. Безусловно, 
они будут полезны для классов, занимающихся по программе 
«Математическая вертикаль». 

Цель данного пособия — помочь учащимся научиться основным 

математическим методам решения задач. Для этого в книге приведе-

ны необходимые теоретические сведения. Способы решения уравнений 
носят авторские названия. 
В дидактические материалы включены системы нелинейных 
уравнений, изображение фигур на плоскости, нахождение площадей 
фигур, применение координатного метода и др. 
Решение привед¸нных сюжетных задач потребует применения 
знаний по геометрии. 

Привед¸нные текстовые задачи отличаются от заданий, предла-

гаемых в школьных учебниках, например, задачи на относительное 
движение. 

Набор заданий, представленный в дидактических материалах, 

стимулирует ученика к мыслительной деятельности, а решение задач 
обеспечивает развитие личности. 

Дидактические материалы ориентированы на учащихся 9 класса 

с углубл¸нным изучением математики, а также послужат неплохим 
подспорьем учителям математики. 

Предложенные задачи прошли апробацию в ГБОУ «Школа ¹ 2007 

ФМШ» г. Москвы в 2019/2020 учебном году. 
 
 
 

1. Изображение фигур на плоскости  
 
Изобразите множество точек, удовлетворяющих условию:  
 
1. 
−
=
+
2
2
y
x
y
x ; 
 
2. 
+
=
−
2
2
y
x
y
x ; 
 
3. 
=
−
−
+
2
2
y
y
x
x
x ; 

 
4. 
=
−
+
2
x
x
y
y ; 

 

5. ⎧
+
=
+
⎪⎨
+
≤
⎪⎩

2
2
,

1;

x
y
x
y

x
y
 

 

6. ⎧
−
=
−
⎪⎨
+
≥ −
⎪⎩

2
2

1;

x
y
x
y,

x
y
 

 

7. 
−
+
+
+
=
4
2
1
2
1
4
3
y
y
x
;  

 
8. 
=
2
2
x
y . 
 

2. Нахождение площадей фигур 
 
Найдите площадь фигуры, которая зада¸тся на координатной 
плоскости следующим выражением: 
 

1. 

⎧
≤
−
⎪⎨
≥
+
⎪⎩

6
2
,

2
2
;

y
x

y
x
 

 

2. 

⎧
≤
−
⎪⎨
≥
−
⎪⎩

5
2

2
0 5
;

y
x ,

y
,
x
 

 

3. 

⎧
≤
−
⎪⎨
≥
+
⎪⎩

4
,

1
0 5
;

y
x

y
,
x
 

 

4. 

⎧
≤
+
⎪⎨
≥
+
⎪⎩

5
2
,

3
4
;

y
x

y
x
 

 

5. 

(
)
(
)

⎧
−
−
−
=
−
+
⎪⎨
−
+
−
≤
⎪⎩
2
2
1
2
1,

1
1
1;

x
y
y
x
y

x
y
 

 

6. 

(
)
(
)

⎧
−
−
+
=
−
+
⎪⎨
+
+
+
≤
⎪⎩
2
2
1
2
1,

1
1
2;

x
y
y
y
x

x
y
 

 

7. 

(
)
(
)

⎧
−
−
−
=
−
+
⎪⎨
−
+
−
≤
⎪⎩
2
2
2
2
2,

2
2
3;

x
y
y
x
y

x
y
 

 

8. 

(
)
(
)

⎧
−
−
−
=
−
+
⎪⎨
−
+
−
≤
⎪⎩
2
2
1
2
1,

1
1
4;

x
y
y
y
x

x
y
 

 
9. 
−
+
+
≤
−
2
2
0 5
0 5
2
y
, x
y
, x
x ; 

 
10. (
)
−
≥
−
+
+
2
2
2 2
x
y
x
y
x
; 

 

11. 
(
)
−
+
+
≤
+
2
2
2
2
4 2
y
x
y
x
x ; 

 
12. (
)
−
≥
−
+
+
2
2
2 3
2x
y
x
y
x
; 

 

13. 

⎧
−
≥ −
⎪⎨−
−
+
≥
⎪⎩

2
4
,

1
3
;

x
y

x
y
 

 

14. 

⎧
−
≥ −
⎪⎨
−
+
+
≥
⎪⎩

2
1
,

2
1
3
2 ;

y
x

y
x
 

 

15. 

⎧
−
≥
⎪⎨
+
−
≤
⎪⎩

2
4
,

1
4
;

x
y

x
y
 

 

16. 

⎧
−
≥
⎪⎨
−
+
+
≥ −
⎪⎩

2
1
,

2
1
4
2 ;

y
x

y
x
 

 

17. 

⎧
>
⎪⎨
<
−
−
⎪⎩

,

3
1 ;

y
x

y
x
 

 

18. 
(
)(
)

⎧
+
≥
⎪⎪
−
−
≤
⎨
⎪
−
−
+
≥
⎪⎩

2
2

2
10,

3
4
32
0,

3
2
3
10
0;

x
y

x
x

x
y
y
x

 

 

19. 

⎧
+
−
≥
+
⎪⎨
+
≥
⎪⎩

2
2
3
3
3
2
1,

4
2 3
;

x
y
y

y
x
 

 

20. 
(
)(
)

⎧
−
≤
⎪⎪
+
≥
⎨
⎪
+
+
+
≤
⎪⎩

2

2
2
4
25
0,

5,

3
2
5
0.

y

x
y

x
y
x
y

 

 
 

3. Применение координатного метода 
 
Теорема 1 
Расстояние между двумя точками на плоскости равно корню квадратному 
из суммы квадратов разностей одноименных координат этих 
точек. Расстояние между точками 
(
)
1
1
;
A x y
 и 
(
)
2
2
;
B x y
 равно: 

(
)
(
)
=
−
+
−
2
2
2
1
2
1
AB
x
x
y
y
. 

 
Определение 1 
Тангенс угла наклона прямой к оси Ox  называется угловым коэффициентом 
прямой.  
 
Теорема 2 
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: 

=
+
y
kx
b , где 
ϕ
=
k
tg
. 

 
Теорема 3 
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны тангенсы углов 
наклона прямых к оси Ox , то есть: 
ϕ
ϕ
=
2
1
tg
tg
 или 
=
2
1
k
k . 
Таким образом, условие параллельности прямых заключается в равенстве 
угловых коэффициентов. 
 
Теорема 4 
Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение 
тангенсов углов наклона прямых к оси Ox равно —1, то есть: 

ϕ
ϕ = −
2
1
1
tg
tg
 или 
= −
2 1
1
k k
. 
Таким образом, условие перпендикулярности прямых заключается в 
том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1.  
 
Теорема 5 
Взаимное расположение двух прямых. Пусть прямые заданы уравнениями 

+
+
=

1
1
1
0
A x
B y
C
, 

+
+
=
2
2
2
0
A x
B y
C
. 
1) Если 
−
≠
1
2
2
1
0
A B
A B
, то прямые пересекаются; 

2) Если 
−
=
1
2
2
1
0
A B
A B
 и 
=
≠
1
1
1

2
2
2

A
B
C

A
B
C , то прямые параллельны; 

3) Если 
−
=
1
2
2
1
0
A B
A B
 и 
=
=
1
1
1

2
2
2

A
B
C

A
B
C , то прямые совпадают. 

 
Теорема 6 
Окружность с центром в точке 
(
)
;
O a b  и радиусом R имеет уравнение 

(
)
(
)
−
+
−
=
2
2
2
x
a
y
b
R . 

1. Решите систему уравнений: 
 

(
)
(
)

(
)
(
)

⎧
+
−
+
−
+
=
⎪⎨
⎪
−
+
+
+
−
=
⎩

2
2
2
2

2
2
2
2

8
6
10,

5
12
13.

x
y
x
y

x
y
x
y
 

 
2. Решите систему: 
 

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

⎧
+
−
−
+
−
≥
⎪⎨
⎪
+
−
+
−
+
−
≤
⎩

2
2
2
2

2
2
2
2

2
4
2 5,

8
6
4
2 13.

x
y
x
y

x
y
x
y
 

 
3. Найдите наименьшее значение функции: 
 

(
)
(
)
(
)
(
)
=
−
+
−
+
−
+
−
2
2
2
2
1
6
4
2
y
x
x
x
x
. 

 
4. Найдите наименьшее значение функции: 
 

=
−
+
+
−
+
2
2
2
5
16
89
y
x
x
x
x
. 
 
5. Найдите наименьшее значение выражения: 
 

(
)
(
)
+
−
+
−
+
2
2
2
2
1
1
x
y
x
y . 

 
6. Решите систему уравнений: 
 

(
)
(
)
(
)
(
)
⎧⎪
−
+
−
+
−
+
−
=
⎨
⎪
−
=
⎩

2
2
2
2
2
4
5
8
5,

3
10
3.

x
y
x
y

xy
y
 

 
7. При каких значениях параметра а система имеет ровно одно решение?  
 

(
)
(
)

⎧
+
=
⎪⎨

−
+
−
=
⎪⎩


2
2

2
2
4,

1.

x
y

x
a
y
a
 

 
8. При каких значениях параметра а разность корней квадратного 
уравнения 
−
+
+
−
=
2
2
6
12
4
0
x
x
a
a
 принимает наибольшее значение? 
 

9. Решите уравнение: 
 

(
)
(
)
(
)
(
)
+
+
+
+
+
−
+
−
+
=
2
2
2
2
2
2
1
5
3
2
8
x
y
x
y
x
y
. 

10. Найдите наименьшее значение функции: 
 

=
+
+
−
+
2
2
9
8
20
y
x
x
x
. 
 
11. Решите систему уравнений: 
 
⎧
+
+
+
=
⎪⎨
+
+
=
⎪⎩

2
2
6
2
0,

8
0

x
y
x
y

x
y
.