Дополнительные главы алгебры

 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ АЛГЕБРЫ 

 
 

Учебное пособие 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

 

Красноярск 

СФУ 
2021

 

УДК 51(075) 
ББК 22.14я73 

Ш687 

 
 
 
 
 
 
 
Рецензенты:  
Осипов Н. Н., доктор физико-математических наук, профессор кафед-

ры прикладной математики и компьютерной безопасности Сибирского федерального 
университета; 

Кузнецов А. А., доктор физико-математических наук, профессор кафед-

ры прикладной математики Сибирского государственного университета науки 
и технологий им. М. Ф. Решетнева. 

 
 
 
 

Ш687 Дополнительные главы алгебры : учеб. пособие / А. А. Шлепкин. – 

Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2021. – 92 с. 

 

ISBN 978-5-7638-4534-1 
 
Учебное пособие содержит необходимый теоретический материал, примеры  

с решениями, а также задачи для практических занятий и самостоятельной работы студентов 
по основаниям теории групп, колец, полей.  

Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 10.05.03 «Инфор-

мационная безопасность автоматизированных систем». Будет также полезно специалистам, 
работающим в области компьютерной безопасности. 

 
 
 
УДК 51(075) 
ББК 22.14я73 

 

 
 

Электронный вариант издания  
см.: http://catalog.sfu-kras.ru 

 
 

ISBN 978-5-7638-4534-1                                                     © Сибирский федеральный 

университет, 2021 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Введение ............................................................................................................... 5 

Глава 1. Алгебраические структуры ................................................................. 7 

1.1. Отображения множеств ....................................................................... 7 

1.2. Прямое произведение множеств ........................................................ 9 

1.3. Алгебраические структуры ............................................................... 10 

1.4. Изоморфизм алгебраических структур ............................................ 12 

1.5. Группоиды, полугруппы ................................................................... 14 

1.6. Моноиды ............................................................................................. 16 

Глава 2. Группы ................................................................................................. 17 

2.1. Определение группы. Простейшие свойства .................................. 17 

2.2. Порядок элемента группы. Порядок группы .................................. 23 

2.3. Подгруппы .......................................................................................... 25 

2.4. Смежные классы................................................................................. 27 

2.5. Циклические группы .......................................................................... 29 

2.6. Нормальные подгруппы и сопряженные элементы ....................... 31 

2.7. Факторгруппы. Простые группы ...................................................... 33 

2.8. Гомоморфизмы групп ........................................................................ 35 

2.9. Прямое произведение групп ............................................................. 36 

2.10. Группы подстановок ........................................................................ 39 

Глава 3. Кольца .................................................................................................. 41 

3.1. Определение кольца ........................................................................... 41 

3.2. Определение подкольца. Основные свойства ................................. 44 

3.3. Поля и подполя ................................................................................... 46 

3.4. Характеристика кольца и поля ......................................................... 49 

3.5. Идеалы. Простые кольца ................................................................... 50 

3.6. Факторкольцо по идеалу ................................................................... 52 

3.7. Целостные кольца .............................................................................. 54 

3.8. Прямая сумма колец .......................................................................... 56 

3.9. Гомоморфизм колец ........................................................................... 58 

3.10. Простые и составные элементы кольца. Наибольший общий 

делитель. Наименьшее общее кратное .................................................... 60 

3.11. Факториальные кольца .................................................................... 63 

3.12. Евклидовы кольца и их факториальность ..................................... 66 

3.13. Кольца главных идеалов и их факториальность ........................... 71 

3.14. Кольцо многочленов ........................................................................ 73 

Глава 4. Поля...................................................................................................... 75 

4.1. Поле частных ...................................................................................... 75 

4.2. Расширения полей. Критерий подполя ............................................ 77 

4.3. Конечные расширения полей. Степень расширения ...................... 79 

4.4. Простое алгебраическое расширение поля ..................................... 81 

4.5. Поле разложения многочленов ......................................................... 83 

4.6. Конечные поля .................................................................................... 84 

4.7. Алгебраические и трансцендентные числа ..................................... 87 

Список литературы ........................................................................................... 89 

 

 

 

 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Данное учебное пособие написано на основе курса «Дополнительные 

главы алгебры», читаемого студентам второго курса Сибирского 

федерального университета, обучающимся по направлениям «Прикладная 

математика», «Компьютерная безопасность», «Информационная безопас-

ность автоматизированных систем». Учебное пособие состоит из четырех 

глав (алгебраические структуры, группы, кольца, поля) и знакомит студента 

с базовыми понятиями высшей алгебры. С целью удобства в освоении 

материала приведены необходимые теоретические сведения, примеры  

с решениями и задачи для самостоятельного решения.  

В силу того, что истоки алгебры уходят своими корнями в глубокую 

древность, уместно будет привести краткую историю зарождения  

и развития алгебры. Зарождение алгебры, как и вообще математики, можно 

проследить от первых государственных образований в Древнем Египте  

и Древнем Вавилоне, а также эпохи античности в Древней Греции. К этому 

периоду относятся появление арифметических действий над положи-

тельными целыми и рациональными числами, а также использование 

формул для геометрических и астрономических расчетов. Следующий шаг 

в развитии алгебры был сделан арабской цивилизацией средних веков, где 

исследовались уравнения первой и второй степени. Отметим также, что 

само слово «Алгебра» (как и слово «Алгоритм») восходит к имени 

арабского ученого Аль-Хорезми. Одним из центральных направлений 

усилий математиков эпохи Возрождения стал поиск формул для решения 

алгебраических уравнений третьей и четвертой степени. Здесь уместно 

будет упомянуть следующих итальянских математиков эпохи Возрождения: 

Тарталья (ему принадлежит авторство в открытии формул решения 

уравнений третьей степени), Кардано (автор трактата о решении 

алгебраических уравнений, благодаря которому метод решения уравнений 

третьей степени носит имя «формулы Кардано»), а также Феррари, 

получивший формулы для решения уравнений четвёртой степени.  

В XIX в. было доказано, что уравнения пятой степени и выше в общем 

случае не разрешимы в радикалах (т. е. не существуют формулы, 

выражающей корни уравнения через его коэффициенты). В этот период 

благодаря усилиям крупных математиков и прежде всего Эвариста Галуа 

(развившего идеи, которые использовались в доказательстве невозмож-

ности решения уравнений высоких степеней в радикалах) алгебра 

принимает современный вид. В настоящее время алгебра является бурно 

развивающейся областью математики, играющей важную роль как в самой 

математике, так и за ее пределами: в физике, криптографии, теории 

кодирования и других областях. 

 
 

 
 

ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 

 

1.1. Отображения множеств 

 

Пусть 𝐴 и 𝐵 – произвольные множества. 

Определение. Отображением 𝑓  из множества 𝐴 в множество 

𝐵 называется правило (закон), согласно которому каждому элементу 

множества 𝐴 ставится в соответствие элемент множества 𝐵. В этом случае 

говорят, что задано отображение множества 𝐴 в множество 𝐵 и используют 

обозначение 𝑓: 𝐴 → 𝐵. 

Если 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 и 𝑓(𝑥) = 𝑦, то элемент 𝑦 называют образом 

элемента x, а элемент 𝑥 называют прообразом элемента 𝑦. Пусть 

𝑀 ⸦ 𝐴, тогда множество {𝑦 ∈ 𝐵: 𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑥 ∈ 𝑀} называют образом 

множества 𝑀 и обозначают 𝑓(𝑀). Если 𝑁 ⊂ 𝐵, то множество {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑓(𝑥) 

∈ 𝑁}  называют прообразом множества N и обозначают 𝑓−1(𝑁).  

Следовательно, отображения могут быть охарактеризованы следующим 

образом:  

1. Отображение  𝑓 называется сюръекцией (или «𝐴 на 𝐵») если 

𝑓(𝐴) = 𝐵, т. е. для каждого элемента y из 𝐵 существует хотя бы один 

элемент 𝑥 из 𝐴 такой, что 𝑓(𝑥) = 𝑦. 

2. Отображение  𝑓 называется инъекцией (или «𝐴 в 𝐵»), если для 

любых элементов 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 из равенства 𝑦 = 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) следует,  

что 𝑥1 =  𝑥2 . 

3. Отображение 𝑓 называется биекцией (или взаимно однозначным 

отображением), если оно сюръекция и инъекция одновременно.  

Пример 1. Пусть 𝐴 = ℝ, 𝐵 = ℝ, где ℝ − множество действительных 

чисел. Доказать, что отображение 𝑓: 𝐴 → 𝐵, определяемое соотношением 

𝑦 =  𝑓(𝑥) = 𝑥2, – не сюръекция и не инъекция. 

 

Решение. 
Очевидно, 
что 
𝑓(ℝ) ≠ ℝ, 
так 
как 
для 
любого  

𝑥 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ≥ 0. Поэтому 𝑓(𝑥) – не сюръекция. Далее, так как каждому 

образу 
соответствует 
два 
прообраза 
(число 
положительное 
и 

отрицательное), то 𝑓(𝑥) – не инъекция. 

Пример 2. Пусть 𝐴  – множество окружностей на плоскости,  

𝐵 – множество треугольников на плоскости. Доказать, что отображение  

𝑦 = 𝑓(𝑥) – окружность, описанная около треугольника, является 

сюръекцией.  

Решение. Действительно, около каждого треугольника можно 

описать окружность, т. е. отображение 𝑦 = 𝑓(𝑥) существует. С другой 

стороны, в каждую окружность можно вписать бесконечно много 

треугольников, т. е. для каждой окружности существует хотя бы один 

треугольник, 
около 
которого 
она 
описана. 
Таким 
образом, 

𝑓(𝑥) – сюръекция. 

Пример 3. Пусть 𝐴 = ℕ множество натуральных чисел, 𝐵 = 2ℕ 

множество четных чисел, и 𝑓: 𝐴 → 𝐵, так, что 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥. Доказать, что 

это инъекция. 

Решение. Достаточно проверить, что определение инъекции для этого 

отображения верно. 

Пример 
4. 
Пусть 
𝐴 = ℝ, 𝐵 = ℝ, и 𝑓: 𝐴 → 𝐵 
такое, 
что  

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Доказать, что это биекция, т. е. взаимно однозначное 

отображение. 

Решение. 
Очевидно, 
что 
заданное 
отображение 
сюръекция  

и инъекция одновременно. 

Задачи  

1. Привести примеры отображений, которые являются сюръекциями, 

инъекциями, биекциями.  

2. Пусть 𝑀 ⊂ 𝐴, 𝑁 ⊂ 𝐴 и 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Доказать, что: 

а) 𝑓(𝑀 ∪ 𝑁) = 𝑓(𝑀) ∪ 𝑓(𝑁) 

б) 𝑓−1(𝑀 ∩ 𝑁) = 𝑓−1(𝑀) ∩ 𝑓(𝑁). 

3. Доказать, что тождественное отображение 𝑓: 𝐴 → 𝐴, определяемое 

соотношением: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥, есть биекция.  

4. Найти 
прообраз 
множества {0} 
при 
отображении 𝑓: ℝ → ℝ, 

заданном соотношением: а) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) , б) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 + 1). 

5. Укажите все сюръективные отображения множества 𝐴 = {1,2,3} 

на множество 𝐵 = {𝑐, 𝑑}. Существуют ли инъективные отображения? 

6. Чем 
являются 
отображения 𝑓: ℝ → ℝ, 
если 
они 
заданы 

соотношениями: 

а) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 5 

б) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log2(𝑥2 + 4𝑥 + 5) 

 

1.2. Прямое произведение множеств  

 

Определение. Прямым (или декартовым) произведением двух  

непустых множеств 𝐴 и 𝐵 называется множество 𝐴 × 𝐵, состоящее из всех 

упорядоченных пар 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏): 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}. Если одно из множеств 

пусто, то прямое произведение множеств не определено. 

Пример 1. Пусть 𝐴 = {1,2}, 𝐵 = {1,3}.  Найти 𝐴 × 𝐵. 

Решение. 
По 
определению 
сразу 
получаем, 
что 𝐴 × 𝐵 = 

= {(1,1), (1,3), (2,1), (2,3)}. 

Декартово произведение множества 𝐴 самого на себя называется 

декартовой степенью множества, т. е. 𝐴 × 𝐴 = 𝐴2 – декартов квадрат,  

𝐴{𝑛−1} × 𝐴 = 𝐴𝑛 − 𝑛-я декартова степень, 𝑛 = 2,3, … . 

Пример 2. Доказать, что двумерная плоскость ℝ2 – декартов квадрат 

множества действительных чисел ℝ. 

Решение. Каждая точка двумерной плоскости задается своими 

координатами, т. е. упорядоченной парой действительных чисел.  

С другой стороны, любая упорядоченная пара действительных чисел есть 

элемент из декартового произведения ℝ × ℝ. 

 

Задачи 

1. Доказать, что 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴, если 𝐴 ≠ 𝐵. 

2. Доказать, что (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 ≠ 𝐴 × (𝐵 × 𝐶), если 𝐴 ≠ 𝐵 ≠ 𝐶. 

3. Доказать, что если множество 𝐴 содержит 𝑚 различных элементов, 

множество 𝐵 содержит 𝑛 различных элементов, то 𝐴 × 𝐵 состоит из 𝑚 × 𝑛 

элементов. 

4. Доказать, что (𝐴 ∪ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ∪ (𝐵 × 𝐶).  

5. Доказать, что (𝐴 ∩ 𝐵) × 𝐶 = (𝐴 × 𝐶) ⋂ (𝐵 × 𝐶). 

6. Доказать, что 𝐴 ∖ (𝐵 × 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∖ (𝐴 × 𝐶). 

7. Пусть 𝑓: 𝐴 → 𝐵 – произвольное отображение. Доказать, что 

отображение 𝑓: 𝐴 → 𝐴 × 𝐵, определяемое соотношением 𝑥 → (𝑥, 𝑓(𝑥)), – 

инъекция. 

8. Доказать, что отображение 𝑓: (𝐴 × 𝐵) → (𝐵 × 𝐴), задаваемое 

соотношением (𝑥, 𝑦) → (𝑦, 𝑥), – биекция.  

 

1.3. Алгебраические структуры 

 

Определение. Пусть 𝐴 – непустое множество. Отображение 𝑓 

декартовой степени 𝐴𝑛 в 𝐴 (обозначается 𝑓: 𝐴𝑛 → 𝐴) называется 𝑛-арной 

алгебраической операцией. В частности, при 𝑛 = 1 операция называется 

унарной, при 𝑛 = 2 бинарной. 

То есть 𝑛-арная алгебраическая операция, заданная на множестве 𝐴, 

ставит в соответствие каждому упорядоченному набору из 𝑛 элементов 

множества 𝐴 элемент этого же множества 𝐴. 

Определение. Алгебраической структурой называется множество  

𝐴 с одной или несколькими алгебраическими операциями, определенными 

на 
этом 
множестве. 
Алгебраическую 
структуру 
называют 
также 

алгебраической системой.  

Алгебраические 
структуры 
обозначают 
символами:  

A=< 𝐴, 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑘 >, где 𝑘 = 1,2, …, множество 𝐴 называют носителем  

(или основным множеством), 𝑓1, 𝑓2, … – набор алгебраических операций.  

Определение. Пусть на множестве 𝐴 задана 𝑛-арная алгебраическая 

операция 
𝑓, 𝐵 − непустое 
подмножество 𝐴: 𝐵⸦𝐴. Если 
для 
любого 

𝑥 ∈ 𝐵𝑛, 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵, то говорят, что 𝐵 замкнуто относительно операции 𝑓. 

Очевидно, что любая алгебраическая структура замкнута относительно всех 

определённых на ней операций.  

Пример 1. Пусть 𝐴 = ℤ − множество целых чисел. Показать, что 

обычные операции сложения (обозначим её через 𝑓+) и вычитания 

(обозначим её через 𝑓−) есть бинарные алгебраические операции. 

Решение. Действительно, в результате применения этих операций к 

целым числам мы получаем снова целое число. Поэтому A=< 𝑍, 𝑓+, 𝑓− > – 

алгебраическая структура. 

Пример 2. Пусть 𝐴 = ℚ+ – множество рациональных положительных 

чисел. Показать, что унарная алгебраическая операция 𝑓(𝑥) = √𝑥,𝑥 ∈ ℚ+ – 

извлечение квадратного корня, не является алгебраической операцией.  

Решение. Действительно, например, √2 – иррациональное число,  

то есть √2 не принадлежит множеству ℚ+. Стало быть, операция 𝑓 не 

является замкнутой на ℚ+, поэтому 𝐴 – не алгебраическая система.  

Задачи 

1. Пусть 𝐴 = ℕ 
– 
множество 
натуральных 
чисел. 
Является  

ли ℕ алгебраической структурой с бинарной операцией вычитания? 

2. Пусть 2ℤ – множество четных чисел, 2ℤ + 1 – множество нечетных 

чисел. Какие операции, заданные на ℤ,  будут замкнуты на 2ℤ и 2ℤ + 1? 

3. Что нужно сделать с множеством рациональных чисел ℚ, чтобы оно 

стало алгебраической структурой с операцией деления чисел? 

4. Пусть 𝐴 – непустое произвольное множество. 𝑃(𝐴) – множество 

всех его подмножеств. Будет ли 𝑃(𝐴) алгебраической структурой  

с бинарными операциями объединения и пересечения множеств из 𝑃(𝐴)? 

5. Пусть 𝐴 = {𝑥: 𝑥 = 𝑎 + 𝑖𝑏√3}, где 𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ. Относительно каких 

операций 𝐴 будет алгебраической структурой? 

6. Пусть 𝐴 =ℝ – множество действительных чисел. Относительно 

каких операций 𝐴 будет алгебраической структурой, а относительно каких 

нет? 

 

1.4. Изоморфизм алгебраических структур 

 

Пусть заданы две алгебраические структуры: A=< 𝐴, 𝑓1, 𝑓2, … >, 

B=< 𝐵, 𝑔1, 𝑔2, … > с одним и тем же числом алгебраических операций, 

причем операции с одинаковыми индексами имеют одну и ту же арность.  

Определение. Алгебраические структуры А и B называются 

изоморфными, если существует биекция 𝜙: A → B такая, что для любого 

индекса 𝑖 и любого упорядоченного набора элементов (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛𝑖) ∈ 𝐴𝑛𝑖 

выполняется равенство: 𝜙(𝑓(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛𝑖)) = 𝑔𝑖(𝜙(𝑎1), 𝜙(𝑎2), … , 𝜙(𝑎𝑛𝑖)). 

Биекция 
𝜙 
называется 
изоморфизмом 
алгебраической 
структуры  

A на алгебраическую структуру B. Если A и B изоморфные алгебраические 

системы, то это записывают следующим образом: A≃B. С точки зрения 

алгебры, изоморфные алгебраические структуры одинаковы. 

Пример 1. Пусть 𝐴 =< 𝑍, 𝑓 > – бинарная операция, 𝑓 – обычное 

умножение. 𝐵 =< 2ℤ, 𝑔 >, 𝑔 − обычное умножение. Доказать, что 𝐴 не 

изоморфна 𝐵. 

Решение. Пусть 𝑥1 ∈ ℤ и 𝑥2 ∈ ℤ – где 𝑥1 и 𝑥2 произвольные. 

Предположим обратное, что 𝐴 ≃ 𝐵, тогда существует такая биекция,  

𝜙: ℤ → 2ℤ, что 𝜙(𝑓(𝑥1, 𝑥2)) = 𝑔(𝜙(𝑥1), 𝜙(𝑥2)), что невозможно.