Численные методы. Практикум


    ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 996 г.




А.В. ПАНТЕЛЕЕВ
И.А. КУДРЯВЦЕВА





                ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ




            ПРАКТИКУМ


УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ




Рекомендовано
                                               Редакционно-издательским советом Московского авиационного института (национального исследовательского университета) в качестве учебного пособия




znanium.com

Москва
ИНФРА-М

2023

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73

    П16



     Рецензенты:
        кафедра прикладной информатики Московского государственного психолого-педагогического университета (заведующий кафедрой доктор технических наук, профессор Куравский Л.С.);
        кафедра прикладной математики Московского государственного психологопедагогического университета (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук Яшин А.Д.);
        Синицын В.И., доктор физико-математических наук (Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук)


     Пантелеев А.В.
П16 Численные методы. Практикум : учебное пособие / А.В. Пантелеев, И.А. Кудрявцева. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 512 с. — (Высшее образование).


         ISBN 978-5-16-018445-6 (print)
         ISBN 978-5-16-105242-6 (online)

         В учебном пособии изложены классические численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, нелинейных уравнений и систем, нахождения собственных значений и векторов, методы теории приближения функций, численного дифференцирования, интегрирования и решения дифференциальных уравнений. В каждом разделе изложены постановка задачи, пошаговые алгоритмы решения, подробные решения типовых примеров. Приведены способы реализации описанных алгоритмов в системах компьютерной математики.
         Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
         Для студентов, аспирантов технических вузов и университетов, изучающих численные методы и их приложения.


УДК 519.6(075.8)
ББК 22.193я73
















ISBN 978-5-16-018445-6 (print)
ISBN 978-5-16-105242-6 (online)



© Пантелеев А.В., Кудрявцева И.А., 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ



Предисловие................................................................7
Введение...................................................................8
Глава 1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений..........18
        1.1. Постановка задачи............................................18
        1.2. Прямые методы................................................20
            1.2.1. Метод Гаусса...........................................20
            1.2.2. Метод прогонки.........................................27
            1.2.3. Метод на основе LU-разложения..........................31
            1.2.4. Метод квадратных корней................................37
            1.2.5. Метод на основе QR-разложения..........................40
        1.3. Итерационные методы..........................................48
            1.3.1. Метод простых итераций.................................48
            1.3.2. Метод Зейделя..........................................53
            1.3.3. Метод релаксации.......................................62
            1.3.4. Метод Шульца...........................................65
        1.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений в системах компьютерной математики...........................................68
            1.4.1. Решение в системе MATLAB...............................68
            1.4.2. Решение в системе MathCAD..............................73

Глава 2. Методы решения задач о собственных значениях и собственных векторах матриц.............................................85
        2.1. Постановка задачи............................................85
        2.2. Метод непосредственного развертывания........................86
        2.3. Метод итераций...............................................90
        2.4. Метод вращений ..............................................93
        2.5. Метод на основе LU-разложения...............................100
        2.6. Метод на основе QR -разложения..............................101
        2.7. Решение задач о собственных значениях и собственных векторах матриц в системах компьютерной математики........................108
            2.7.1. Решение в системе MATLAB..............................108
            2.7.2. Решение в системе MathCAD.............................109

Глава 3. Методы решения нелинейных уравнений.............................115
        3.1. Постановка задачи...........................................115
        3.2. Отделение корней............................................116

3

        3.3. Метод половинного деления................................118
        3.4. Метод хорд...............................................122
        3.5. Метод простых итераций...................................125
        3.6. Метод Ньютона............................................131
        3.7. Модификации метода Ньютона...............................136
       3.8. Решение нелинейных уравнений в системах компьютерной математики.....................................................140
           3.8.1. Решение в системе MATLAB............................140
           3.8.2. Решение в системе MathCAD...........................145

Глава 4. Методы решения систем нелинейных уравнений...................155
        4.1. Постановка задачи........................................155
        4.2. Метод простых итераций...................................156
        4.3. Метод Зейделя............................................159
        4.4. Метод Ньютона............................................161
        4.5. Модификации метода Ньютона...............................167
       4.6. Решение систем нелинейных уравнений в системах компьютерной математики.....................................................172
           4.6.1. Решение в системе MATLAB............................172
           4.6.2. Решение в системе MathCAD...........................175

Глава 5. Методы приближения функций...................................182
        5.1. Постановка задачи........................................182
        5.2. Методы интерполяции......................................184
           5.2.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа.................184
           5.2.2. Интерполяционные многочлены Ньютона.................192
           5.2.3. Интерполяционные кубические сплайны.................203
        5.3. Методы интегрального сглаживания.........................211
           5.3.1. Точечный метод наименьших квадратов.................211
           5.3.2. Интегральный метод наименьших квадратов.............226
       5.4. Методы приближения функций в системах компьютерной математики.....................................................242
           5.4.1. Решение в системе MATLAB............................242
           5.4.2. Решение в системе MathCAD...........................249

Глава 6. Методы численного дифференцирования..........................257
        6.1. Постановка задачи........................................257
        6.2. Формулы численного дифференцирования.....................257
           6.2.1. Применение двухточечного шаблона....................257
           6.2.2. Применение трехточечного шаблона....................258

4

           6.2.3. Применение четырехточечного шаблона....................261
           6.2.4. Применение пятиточечного шаблона.......................264
           6.2.5. Метод Рунге уточнения результатов численного дифференцирования ...........................................266
        6.3. Методы численного дифференцирования в системах компьютерной математики......................................................269
           6.3.1. Решение в системе MATLAB..............................269
           6.3.2. Решение в системе MathCAD.............................271

Глава 7. Методы численного интегрирования ..............................278
        7.1. Постановка задачи..........................................278
        7.2. Формулы численного интегрирования..........................279
           7.2.1. Применение двухточечного шаблона......................279
           7.2.2. Применение трехточечного шаблона......................282
           7.2.3. Применение многоточечных шаблонов.....................283
        7.3. Методы численного интегрирования в системах компьютерной математики......................................................290
           7.3.1. Решение в системе MATLAB..............................290
           7.3.2. Решение в системе MathCAD.............................292

Глава 8. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений..........299
        8.1. Постановка задачи..........................................299
        8.2. Явные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.... 308
           8.2.1. Явный метод Эйлера....................................308
           8.2.2. Метод Эйлера-Коши.....................................311
           8.2.3. Модифицированный метод Эйлера.........................311
           8.2.4. Методы Рунге-Кутты....................................311
           8.2.5. Методы Адамса-Бэшфорта................................318
           8.2.6. Методы Фельберга......................................320
           8.2.7. Методы Ингленда.......................................321
           8.2.8. Методы Нюстрема.......................................322
           8.2.9. Явные методы Милна....................................323
           8.2.10. Явные методы Хемминга................................323
           8.2.11. Методы предсказания и коррекции......................324
           8.2.12. Экстраполяционные методы.............................327
        8.3. Неявные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 334
           8.3.1. Неявный метод Эйлера..................................334
           8.3.2. Метод трапеций........................................335
           8.3.3. Методы Адамса-Мултона.................................335
           8.3.4. Методы Гира...........................................340

5

           8.3.5. Неявные методы Милна.....................................342
           8.3.6. Неявные методы Хемминга..................................342
           8.3.7. Неявные методы Рунге-Кутты...............................342
        8.4. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений в системах компьютерной математики.................................344
           8.4.1. Решение в системе MATLAB.................................344
           8.4.2. Решение в системе MathCAD................................350

Глава 9. Методы решения краевых задач......................................364
        9.1. Постановка задачи и основные положения........................364
        9.2. Метод сеток...................................................367
        9.3. Методы минимизации невязки....................................373
        9.4. Метод стрельбы................................................381
        9.5. Метод конечных элементов......................................386
        9.6. Методы решения краевых задач в системах компьютерной математики... 395
           9.6.1. Решение в системе MATLAB.................................395
           9.6.2. Решение в системе MathCAD................................398

Глава 10. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.....................................................410
      10.1. Постановка задачи и основные положения........................410
      10.2. Принципы построения разностных схем............................425
      10.3. Разностные схемы решения уравнений первого порядка.............433
     10.4. Разностные схемы решения уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными......................................440
          10.4.1. Разностные схемы решения уравнений параболического типа.440
          10.4.2. Разностные схемы решения уравнений гиперболического типа.448
          10.4.3. Разностные схемы решения уравнений эллиптического типа..454
      10.5. Метод прямых...................................................458
     10.6. Разностные схемы решения уравнений с тремя независимыми переменными...........................................................462
     10.7. Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных в системах компьютерной математики....................................470
          10.7.1. Решение в системе MATLAB.................................470
          10.7.2. Решение в системе MathCAD................................483

Приложение. Краткое описание работы в системах компьютерной математики MATLAB и MathCAD................................................491

Литература.................................................................507

Предметный указатель.......................................................510


6

ПРЕДИСЛОВИЕ



      Книга предназначена для студентов технических специальностей и представляет собой учебное пособие по курсу «Численные методы». Предполагается, что читатель владеет основными понятиями математического анализа и линейной алгебры. Книга состоит из десяти разделов, которые охватывают основной материал курсов лекций, читаемых авторами на различных факультетах Московского авиационного института (национального исследовательского университета).
      Книга включает описание классических численных методов, применяемых в инженерных расчетах. Она написана на основе учебных пособий [23, 24], предназначенных для студентов специальности «Прикладная математика» и содержащих помимо стандартных методов изложение новых экономичных, устойчивых и простых в реализации процедур, позволяющих решать прикладные задачи с переменной величиной шага, которые были предложены в работах д.ф.-м.н., проф. В.И. Киреева.
      Изложение построено по единой схеме, включающей постановку задачи, пошаговую методику решения, характеристику точности метода, демонстрационные примеры.
      Каждая глава книги содержит раздел, в котором продемонстрированы возможные пути реализации изложенных методов в системах компьютерной математики MathCAD и MATLAB. Авторы ставили перед собой задачу, не претендуя на полноту, показать применение встроенных в системы компьютерной математики операторов. Для иллюстрации описанных подходов выбраны типовые модельные примеры из основного содержания книги.
      Для изучения возможностей систем MathCAD и MATLAB авторы рекомендуют [15-18, 27, 32, 37, 41-42, 57].
      В конце каждой главы предлагаются задачи для самостоятельного решения. Кроме того, имеются задачи для расчетно-графических работ, в том числе зависящие от параметров m - порядкового номера учебной группы в лекционном потоке и n - номера студента по списку группы. Это может позволить студентам выработать навыки решения типовых задач.
      Книга может быть использована для самостоятельного изучения курса, так как содержит весь необходимый теоретический материал и большое количество детально разобранных примеров.

7

ВВЕДЕНИЕ


В.1. Понятие о численных методах

      Большинство прикладных задач анализа, синтеза и оптимизации современных технических систем связаны с использованием компьютеров и вычислительных методов. При этом обычно выполняются следующие этапы.
      1.       Физическая постановка задачи. Результатом этого этапа является общая формулировка задачи в содержательных терминах, т.е. что дано и что требуется определить. Как правило, этот этап выполняется специалистом в конкретной предметной области.
      2.       Поиск, выбор или модификация некоторой математической модели, адекватной физической постановке задачи. На этом этапе осуществляются:
      -       выделение (запись) основных математических уравнений, соотношений, аппроксимационных формул, описывающих задачу;
      -       выделение (запись) дополнительных математических уравнений, связей, граничных или краевых условий;
      -       предварительное (априорное) обоснование математической модели.
      Этот этап является очень важным, так как ошибочная или неудачная модель, неадекватная физической, сводит «на нет» все дальнейшие усилия по реализации проекта. Заметим, что при решении многих задач выбираются, как правило, общепринятые математические модели.
      3.       Разработка, выбор или модификация математического (аналитического, приближенно-аналитического или численного) метода, наиболее целесообразного и экономичного. Этот этап осуществляется на основе имеющихся у исследователей знаний (субъективный подход), а также исходя из ресурсов компьютера - оперативной и внешней памяти, быстродействия, возможностей представления информации (объективный подход).
      4.      Составление алгоритма.
      5.      Разработка программного обеспечения.
      6.       Решение задачи: апостериорное обоснование модели и метода путем их методических и параметрических компьютерных исследований в привязке к реальному объекту.
      В результате анализа полученного решения задачи может осуществляться переход к любому из описанных этапов для внесения соответствующих изменений. Изложенные этапы исследования прикладных задач схематически показаны на рис. В. 1.
      Классическим средством изучения математических моделей и исследований на их основе свойств реальных объектов являются аналитические методы, позволяющие получать точные решения в виде математических формул. Эти методы дают наиболее полную информацию о решении задачи, и они до настоящего времени не утратили своего значения. Однако, к сожалению, класс задач, для которого они могут использоваться, весьма ограничен. Поэтому решение широкого класса задач при отработке современных технических систем, как правило, осуществляется численными методами.
      Численные методы - это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям. Наука, изучающая численные методы, называется также численным анализом, или вычислительной математикой.

8

Рис. В.1

      Решения, получаемые численными методами, в силу их приближенности содержат некоторые погрешности. Рассмотрим их источники и типы.

В.2. Погрешности вычислений

      Один из типов погрешностей обусловлен неадекватностью выбранной математической модели исходной физической. Эта неадекватность в большей или меньшей степени присуща всем приближенно решаемым задачам. Данная погрешность является неустранимой, и она определяется апостериорным путем (на шестом этапе решения задачи (см. рис. В.1)). Остальные три типа погрешностей являются сугубо вычислительными и обусловлены следующими причинами.
      Неточность (неопределенность) задания исходных данных приводит также к неустранимым погрешностям, связанным с точностью измерений или вычислений, или округлением данных.


9

      Если устранить неопределенность в исходных данных, например, путем их фиксирования, и найти решение с помощью какого-либо численного метода, то получится результат, не в точности соответствующий исходным данным. Это есть погрешность численного метода или какого-либо другого приближенного метода (например, приближенно-аналитического); именно такие погрешности будут оцениваться при рассмотрении численных методов. Эти оценки могут получаться до выполнения вычислений (априорные оценки) и после них (апостериорные оценки).
      В компьютере все числа представляются в конечном виде, и поэтому при использовании вычислительного алгоритма реализуются ошибки арифметических и других операций над числами, а также ошибки округления.

      Дадим некоторые понятия из теории погрешностей вычислительных действий над приближенными величинами.

     Пусть x - точное, но, как правило, неизвестное значение величины, а x - ее известное приближенное значение.


     Абсолютной погрешностью приближения X называется разность AX = | x - x (в общем случае AX имеет размерность величины x).

     Относительная погрешность приближения x обозначается 8 и выражается

             , Ax _                          - л ,,
отношением 8 = ■:—г (8 - безразмерная величина, x ^ 0). Часто величина 8 вычисляется 1x1

в процентах, и тогда она умножается на сто.
      Так как величина x, как правило, неизвестна, а погрешность необходимо определять, то в рассмотрение вводится предельная абсолютная погрешность A(x) :


Ax = x - x < A(x).


Раскрывая в этом неравенстве модуль, получаем соотношение, задающее отрезок, которому принадлежит точное значение: x - A(x) < x < x + A(x).
      Таким образом, величина x находится в A -окрестности (дельта-окрестности), определяемой величинами x и А(.2) и составляющей отрезок [a, b] (рис. В.2).



a = x - A(х)   x                b = x + A(x)
-I-------------1----------------H
A( x)          A( x)


Рис. В.2


     Предельная относительная погрешность приближения x определяется отноше-


ₓzᵢ    A( x)
нием 8( x) = -j—тт-x

Отсюда получается часто используемое соотношение



A(x) = 8(x) • | x |.


10

      В дальнейшем рассматриваются только предельные погрешности, и поэтому в тексте при указании на абсолютную и относительную погрешности для сокращения слово «предельная» будет опускаться.
      Значащими цифрами приближенного числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
      Первые n значащих цифр приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, соответствующего n-й значащей цифре, считая слева направо. Излишние сохраненные цифры, помимо верных, называются сомнительными.
      Вычислить приближенное число с точностью е = 10⁻ⁿ означает, что необходимо сохранить верной значащую цифру, стоящую в n-м разряде после запятой.
      На практике возникает надобность в округлении приближенного числа, т.е. замене его числом с меньшим количеством значащих цифр.
      Для округления числа до n значащих цифр следует отбросить все его цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры. При этом:
      а)       если первая из отброшенных цифр меньше 5 , то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;
      б)       если первая из отброшенных цифр больше 5 либо равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;
      в)       если первая из отброшенных цифр равна 5 и остальные отброшенные цифры нулевые, то последняя оставшаяся цифра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.
      Пример В.1. Найти абсолютные и относительные погрешности числа л = 3,141592654..., заданного двумя и тремя цифрами после запятой.
      □ 1. Пусть x = 3,14. Тогда справедливо
|л - 3,14| < 0,002 = д(3,14); 8(3,14) = (0,002 / 3,14) • 100% « 0,064%.

      2. Если X = 3,141, то
|л - 3,141 < 0,0006 = д(3,141); 8(3,141) = (0,0006 /3,141) • 100% « 0,02%. ■

      Абсолютная и относительная погрешности записываются в виде чисел с одной или двумя значащими цифрами, и они округляются с избытком. В записи приближенных чисел они указываются так:
x = x ± Д;  x = X(1 ±8).

      Например, л = 3,141 ± 0,0006; л = 3,141 (1 ± 0,02%).
      Если Д в записи числа не указано, то подразумевается, что x имеет точность половины единицы ( 1/2 ед.) младшего разряда. Так, для x = 5,63 абсолютная погрешность Д = 0,005.

11

      Пример В.2. Округлить число x = 3,928525750 до семи, шести, пяти и т.д. десятичных знаков и до единиц.
      □         Пользуясь правилом округления (см.пп.”а”-“в”), получаем x = 3,9285258 (согласно п.”в”, так как первая из отброшенных цифр равна 5 , остальные отброшенные цифры нулевые, последняя оставшаяся цифра нечетная); x = 3,928526 (согласно п.”б”,так как первая из отброшенных цифр больше 5); x = 3,92853 (согласно п.”б”, так как первая из отброшенных цифр равна 5 и среди отброшенных цифр есть ненулевые); x = 3,9285 (см. п.”а”); x = 3,929 (см. п.”б”); x = 3,93 (см. п.”б”); x = 3,9 (см. п.”а”); x = 4 (см. п.”б”). ■
      Пример В.3. Выделить значащие цифры следующих чисел:


2,396037; 0,00167; 3250000; 0,00005.

      □        Поскольку значащими являются все цифры в записи ненулевой слева, то получаем: 2,396037; 0,00167; 3250000;


числа, начиная с первой 0,00005. ■

     Пример В.4. Выделить верные значащие цифры чисел:

      a) x = 0,004507;    А =   0,00001 ;  б) x = 0,004507;  А = 0,00006 ;
      в) x = 0,0208700;   А =   0,0000005; г) x = 12,396;    А = 0,03 ;
      д) x = 0,037862;    А =   0,007;     е) x = 9,999785;    А = 0,0004.


      □ В записи рассматриваемых чисел подчеркнем верные значащие цифры:
      а)  0,004507 ± 0,00001, так как А = 0,00001 < 0,5 • 10 ⁴ ;
      б)  0,004507 ± 0,00006, так как 0,5 • 10 ⁴ <А = 0,00006 < 0,5 • 10³;
      в)  0,0208700 ± 0,0000005, поскольку А = 0,0000005 = 0,5 • 10 ⁶;
      г) 12,396 ± 0,03, так как А = 0,03 < 0,5 • 10-¹;
      д)       0,037862 ± 0,007, поскольку 0,5 • 10 ² <А = 0,007 < 0,5 • 10 ¹ (все цифры сомнительные);
      е)  9,999785 ± 0,0004, так как А = 0,0004 < 0,5 • 10 ³ ■

      Оценка погрешностей округлений при решении многих задач на компьютере может быть найдена апостериорным путем с помощью двух повторных расчетов в арифметике одинарной и двойной точности и составления разности полученных результатов. Этот прием используется также и для оценки погрешностей численного метода (модели).


В.3. Некоторые понятия математического анализа и линейной алгебры, использующиеся в численных методах

     Для получения оценок погрешностей аппроксимационных формул в книге используются понятия « O большое от hk » (h - шаг сетки), класс функций Cₖ [a, b] , разложение функции по формуле Тейлора. Рассмотрим эти понятия.

12

      1.        Пусть R(h) - некоторая функция переменной h (как правило, R(h) - остаточное слагаемое некоторой аппроксимационной формулы) с конечной областью определения Dr на полуоси h > 0, причем h е Dr .
      Тогда, если при некотором h < hо справедливо неравенство |R (h )| < chk, где c = const, не зависящая от h, к - целое число, ho > 0 , то пишут R(h) = O(hk) и говорят, что R(h) есть « O большое от hk » при h ^ 0 .
      В этом случае значение к соответствует порядку аппроксимации аппроксимационной формулы (оператора).
      2.        Пусть функция f (x) определена на отрезке [a, b ] = G и имеет на нем непрерывные производные до порядка к включительно. Тогда считается, что f (x) принадлежит классу Ck[G], и для обозначения этого используется запись f е Ck[G]. При к = 0 вместо C0[G] будет использоваться обозначение C[G] (функция непрерывна на отрезке [a, b ]).

      3.        Пусть задана функция f (x) е Ck₊1[a, b]. Тогда в точке x0 е [a, b] справедлива формула Тейлора:

   f ⁽x) = f ⁽x0⁾ ⁺ f ⁽x0⁾⁽x - x0⁾ ⁺ ( 0)⁽x - x0⁾² ⁺ ••• ⁺ ——/ 0)⁽x - x0⁾к ⁺
2!                    к!
(В.1)
           + ZV'x - x0)к+' 1' Т)(x - x0Т+ Rk+1(x),
              (к + 1)!               j=0 J!


где x е [a, b], x Ф x0; £, - некоторая точка, лежащая строго между точками x и x0 ;
           f ⁽к⁺¹⁾(£)      к 1
Rk₊i (x) =---------(x - x 0) ⁺ - остаточный член в форме Лагранжа. Индексы, указан-
           (к +1)!

ные в круглых скобках вверху, здесь и далее означают порядки производных.
      Так как по предположению производная f⁽к⁺¹⁾( x) непрерывна на отрезке [a, b ], то
она ограничена на этом отрезке, т.е. величина Мк₊1 = max f⁽к⁺¹⁾(x) < +<» . Поэтому [ a, b ]¹                                                     ¹

справедлива оценка остаточного члена

R+1 (x)| < MlXf Ix - x0Iк *’ ⁽/V ⁺ 1).

      Это неравенство свидетельствует о том, что

|Rk+1 (x)| = O(|x - x0|к⁺¹ ) = O(hk⁺¹),


где h = |x - x0I. Тогда формула (В.1) может быть записана в виде


f (x) = f f ⁽J⁾⁽x⁰) (x - x0)J + O(hk⁺¹).           (В.2)
                            D0 J !

13

      При k = 1 формулу Тейлора можно записать в виде


                        f (x о + h) = f (x о) + f'(x о) h + O (h ²),

                        f (xо - h) = f (xо) - f'(xо)h + O(h ²),
а при k = 2 - в форме
                                                 h²
f (x о + h) = f (x о) + f (x о) h + — f (x о) + O (h³),
(B.3)
                                                 h²
f (x о - h) = f (x о) - f (x о) h + — f (x о) + O (h³).


      Рассмотрим частный случай формулы (В.2). Положим x = xj₊i, xо = xi, hi₊i = xi₊i - xi, где значения xi, xi₊i задают отрезок [xi, xi₊i ] c [a, b]. Тогда получаем
      f (xₜ+i) = f (xi) + f'(xi) hi+i + f^x)hi²+i +... + f ⁽k⁾⁽xi) hk+i + O(hk++). (В.4)
                                      2!              k!

      Обозначая ₊₁ = f (xₜ+i),    = f (xₜ), ⁽p) = f⁽p)(xₜ), p = i,2,..., и учитывая, что
                                                 f⁽k)(£) ₖ 1
остаточный член в форме Лагранжа имеет вид -----------“h/+i , 4 е (xi, xₜ₊i), формулу
                                                 (k +1)!
(В.4) можно записать в форме
                     f." .        f.⁽k)     hk +ⁱ
  fi+i = fi ⁺ fi hi+i ⁺ ~hi + i ⁺ ... ⁺ , . hi+i ⁺ T} 7Г7 f (0, ?e ⁽xi, xi+i) •    ⁽В.⁵⁾
                     2!           k!        (k +1)!

      4. При изложении будет использовано следующее утверждение [6].
      Утверждение В.1. Пусть f (x) е C[a, b], £i- е [a, b], (i = 1,...,n) - произвольные точки, принадлежащие отрезку [a, b]. Тогда существует такая точка S, е [a, b], что
f (^i) + ... + f Й ₙ )_
                                                f ⁽^) .
                                    n

      5.        При решении многих практических задач необходимо как-то «измерять» матрицы. Правило, по которому матрице (в частности, матрице-столбцу) ставится в соответст-

вие некоторое неотрицательное число, имеющее смысл меры, определяет понятие норма. f x 11

     Нормой матрицы-столбца (или просто столбца) x = :
                                                    Чxn у

называется функция

||x| |, удовлетворяющая следующим аксиомам:
      1. ||х|| > 0 для любого столбца x, причем ||х|| = 0 в том и только в том случае, если

x - нулевой столбец;
       2. ||a x|| = |а| • | |x|| для любого действительного числа а;
       3. ||x + у||<||x|| + ||у|| для любых двух столбцов x и у размеров (nх1).

i4