Высшая математика


Полный конспект лекций



   С. Н. Дорофеев

   Высшая математика










    Москва
    Мир и Образование

УДК 51(075.8) ББК 22.1я73
     Д69




Рецензенты:
Мантуров О. В. — докт физ.-мат. наук, проф., зав. каф. геометрии Московскогогосударственногообластногоуниверситета;
   Данилов А. М. — докт. техн. наук, Соросовскийпроф. в областиточныхнаук, зав. каф. высшейматематикиПензенскогоуниверситетаархитектурыи строительства;
Смирнов Ю. Г. — докт физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математики и математическогсмоделированияПензенскогогосударственногоуниверситета.







    Дорофеев С. Н.
Д69    Высшая математика/ С. Н. Дорофеев.— М.: ООО «Изда-
    тельство«Мир и Образование»,2011. — 592 с.: ил. — (Полный конспектлекций).
       ISBN 978-5-94666-622-0
       В данномпособиив формелекцийизложеныосновныетеоретиче-ские сведения, определения, факты и теоремы линейной алгебры, аналитическойгеометриии математическогоанализа.Теоретический материаллекции закрепляетсябольшимколичествомпримеров.
       Конспектлекций предназначенная студентовинженерныхи эко-номическихспециальностейвузов, преподавателейи учителей математики^ также учащихсястаршихклассовс углубленнымизучением математики.

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73







ISBN 978-5-94666-622-0

                   © Дорофеев С. Н., 2011
                   © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2011

Содержание




    Предисловие.......................................... 11
Лекция 1. Комплексные числа
    1. Понятие комплексного числа. Сложение комплексных чисел .... 14
    2.  Умножение комплексных чисел...................... 16
    3. Понятие группы. Примеры групп..................... 17
    4.  Деление комплексных чисел........................ 19
    5. Понятие поля. Примеры полей........................20
    6. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме..22
    7.  Извлечение корня и-й степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме..................24
Лекции 2, 3. Матрицы. Действия над матрицами
    1. Понятие матрицы. Сложение матриц...................27
    2.  Умножение матрицы на число........................34
    3. Умножение матриц.................................. 35
    4.  Понятие кольца. Примеры колец.................... 38
Лекция 4. Определители
    1. Понятие определителя второго порядка...............41
    2.  Понятие определителя третьего порядка.............43
    3. Понятие определителя и-го порядка..................45
    4. Характеристическое уравнение и собственные числа матрицы.... 48
Лекция 5. Системы линейных уравнений
    1. Правило Крамера....................................50
    2.  Матричный способ решения системы линейных уравнений. 53
    3. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений......56
Лекция 6. Векторные пространства
    1. Понятие векторного пространства................... 63
    2.  Линейная зависимость векторов.................... 64
    3. Понятие базиса. Координаты вектора.................66
    4.  Линейные операторы в векторном пространстве. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные
    ве  кторы линейного оператора........................ 71

3

Лекции 7, 8. Системы координат на плоскости и в пространстве
    1. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве.
    Координаты точки ......................................76
    2.  Деление отрезка в данном отношении.................79
    3.  Преобразование координат точки при переходе от одной АСК к другой..................................80
    4.  Ориентация плоскости (пространства)................84
Лекция 9. Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве
    1.  Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве.......................................89
    2.  Формулы преобразования координат точки при переходе от одной ПДСК к другой................................ 90
    3.  Скалярное произведение векторов ...................94
    4.  Выражение скалярного произведения на плоскости через координаты векторов..............................99
Лекция 10. Векторное и смешанное произведения векторов
    1. Векторное произведение векторов....................103
    2.  Смешанное произведение векторов...................106
Лекция 11. Полярная система координат на плоскости. Сферические и цилиндрические координаты точек в пространстве
    1. Полярная система координат на плоскости............112
    2.  Сферические координаты точки в пространстве.......113
    3.  Цилиндрические координаты точки в пространстве.....115
Лекции 12, 13. Прямая на плоскости
    1. Различные способы задания прямой на плоскости......118
    2.  Общее уравнение прямой............................121
    3.  Расположение прямой относительно АСК..............122
    4.  Геометрический смысл знака трехчлена Ах + By + С...124
    5.  Взаимное расположение двух прямых на плоскости.....124
    6.  Угол между двумя прямыми..........................126
    7.  Направленный угол между двумя векторами............127
    8.  Направленный угол между двумя прямыми .............128
    9.  Расстояние от точки до прямой на плоскости........130
    10. Пучок прямых......................................131
Лекции 14, 15. Плоскость в пространстве
    1. Различные способы задания плоскости в пространстве..133
    2.  Общее уравнение плоскости. Условие параллельности вектора и плоскости...................................136
    3. Расположение плоскости относительно системы координат .... 138
    4.  Геометрический смысл знака многочлена Ах + Бх + Cz + D.... 140
    5.  Взаимное расположение двух плоскостей.............141
    6.  Угол между двумя плоскостями......................142
    7.  Пучок плоскостей..................................144

4

    8. Расстояние от точки до плоскости...................146
    9. Связка плоскостей..................................147
Лекция 16. Прямая в пространстве
    1. Различные способы задания прямой в пространстве....150
    2. Взаимное расположение прямой и плоскости..........153
    3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве .153
    4. Угол между двумя прямыми..........................155
    5. Угол между прямой и плоскостью....................156
    6. Расстояние от точки до прямой в пространстве......157
    7. Расстояние между скрещивающимися прямыми..........158
Лекция 17. Преобразования плоскости и пространства

     1.  Понятие преобразования множества. Группа преобразований.... 161

    2.  Понятие движения плоскости (пространства). Примеры движений.....................................162
Лекция 18. Эллипс и эллипсоид
    1. Эллипс и его свойства.............................170
    2.  Эллипсоид и его свойства.........................174
Лекции 19, 20. Гипербола и гиперболоиды
    1. Гипербола и ее свойства...........................180
    2.  Однополостный гиперболоид и его свойства.........186
    3. Двуполостный гиперболоид и его свойства...........193
Лекция 21. Парабола и параболоиды
    1. Парабола и ее свойства............................198
    2.  Эллиптический параболоид и его свойства..........200
    3. Гиперболический параболоид и его свойства..........203
    4.  Поверхности вращения..............................208
Лекция 22. Линейчатые поверхности
    1. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида
    и гиперболического параболоида.......................211
    2.  Цилиндрические поверхности.......................213
Лекция 23. Конические поверхности
    1. Понятие конической поверхности....................216
    2.  Конические поверхности второго порядка...........218
    3. Конусы вращения...................................220
Лекция 24. Аффинные пространства
    1. Понятие «-мерного аффинного пространства Ап. Координаты
    точки. Деление отрезка в данном отношении ...........224
    2.  Понятие ^-мерной плоскости в и-мерном аффинном пространстве Аи. Гиперплоскости в Аи..................227
Лекция 25. Квадратичные формы
    1.  Понятие квадратичной формы. Положительно-определенные квадратичные формы....................................229
    2.  Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду..................................230

5

    3. Квадрики в и-мерном аффинном пространстве Аи. Классификация квадрик в Аи............................237
Лекция 26. Евклидовы «-мерные пространства
    1. Понятие евклидова и-мерного векторного пространства. Ортонормированный базис. Длина вектора. Угол между векторами.............................................244
    2. Евклидовы и-мерные пространства....................247
Лекция 27. Квадрики в «-мерном евклидовом пространстве Е«. Классификация квадрик в Е«
    1. Собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы...............................252
    2. Классификация квадрик в Еи........................254
    3. Приведение общего уравнения линии второго порядка на евклидовой плоскости к каноническому виду............258
    4. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка
    в  евклидовом пространстве Е₃ к каноническому виду....261
Лекции 28—30. Числовые последовательности
    1.  Понятие числовой последовательности. Способы задания числовых последовательностей.........................270
    2. Ограниченные числовые последовательности..........271
    3. Бесконечно малые числовые последовательности......273
    4. Предел числовой последовательности при и ^ ~......275
    5.  Возрастающие и убывающие числовые последовательности. Число е..............................................278
    6. Бесконечно большие числовые последовательности.....283
Лекции 31, 32. Числовые функции
    1. Понятие числовой функции. Способы задания числовых функций..............................................287
    2. Четные и нечетные функции.........................291
    3. Монотонность функции .............................292
    4. Периодические функции.............................294
    5. Обратимые функции.................................294
Лекции 33, 34. Предел функции при х ^ + ~ (х ^ -~; х ^ ~)
    1. Бесконечно малые функции при х ^ +~; (х ^ — ~; х ^ ~)..........................298
    2. Предел функции при х ^ +~ (х ^ — ~; х ^ ~).........302
    3. Бесконечно большие функции при при х ^ +~
    (х ^ — ~; х ^ ~) .....................................307
    4. Асимптоты.........................................308
Лекции 35, 36. Предел функции при х ^ а
    1. Бесконечно малые функции при х ^ а................311
    2. Предел функции при х ^ а..........................313
    3. Бесконечно большие функции при х ^ а..............316
    4. Односторонние пределы.............................317

6

Лекция 37. Непрерывность функции
    1. Непрерывность функции в точке.....................319
    2. Непрерывность функции на промежутке...............320
    3. Первый замечательный предел.......................322
    4. Второй замечательный предел.......................323
    5. Точки разрыва функции.............................324
Лекции 38—40. Производная функции
    1. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной....................................327
    2.  Производные функций у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х, у = logₐx, у = хп, у = ах.................329
    3. Производная сложной и обратной функции............332
    4. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых на отрезке функциях..................................337
    5. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.....................339
    6. Правило Лопиталя..................................341
    7. Применение производной к исследованию функции на монотонность. Экстремум функции...................344
    8. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.......................................348
Лекции 41—44. Неопределенный интеграл
    1. Понятие неопределенного интеграла. Таблица простейших интегралов...........................................351
    2. Интегрирование методом замены переменной и методом подстановки..........................................356
    3. Интегрирование по частям..........................358
    4. Интегрирование дробно-рациональных функций........360
    5. Интегрирование функций, рационально зависящих от sin х и cos х.....................................364
Лекции 45, 46. Определенный интеграл
    1. Понятие определенного интеграла. Геометрический и физический смысл определенного интеграла...........367
    2. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона —
    Лейбница.............................................371
    3. Методы вычисления определенного интеграла.........373
Лекции 47, 48. Применение определенного интеграла к решению некоторых геометрических и физических задач
    1. Вычисление длин дуг................................378
    2. Вычисление объемов геометрических тел..............380
    3. Вычисление площадей поверхностей вращения.........382
    4. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести..............................................384
Лекция 49. Несобственные интегралы
    1. Несобственные интегралы первого рода..............388
    2. Несобственные интегралы второго рода..............393

7

Лекции 50—53. Числовые и функциональные ряды
    1. Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда..397
    2.  Признаки сходимости числовых рядов...............398
    3.  Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости ряда.................................................405
    4.  Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда.................................407
    5.  Степенные ряды. Ряд Тейлора. Представление элементарных функций в виде степенных рядов.......................409
    6. Ряды Фурье........................................412
Лекция 54. Метрические пространства
    1. Понятие метрического пространства. Примеры........418
    2.  Окружности на плоскости с метрикой d₁ ...........421
    3. Полнота метрических пространств...................425
Лекции 55, 56. Элементы топологии
    1. Понятие «-мерного арифметического пространства Rⁿ..428
    2.  Открытые и замкнутые подмножества................431
    3.  Понятие топологического пространства. Топологические пространства со счетной базой и многообразия.........432
Лекции 57, 58. Функции нескольких переменных
    1. Понятие функции нескольких переменных.............437
    2.  Бесконечно малые функции нескольких переменных....438
    3. Предел функции нескольких переменных..............442
    4.  Бесконечно большие функции нескольких переменных..447
    5. Непрерывность функции нескольких переменных. Теоремы
    Вейерштрасса.........................................448
Лекция 59. Дифференцирование функций нескольких переменных
    1. Частные производные...............................451
    2.  Дифференциал функции нескольких переменных.......456
    3. Производная сложной функции.......................460
Лекция 60. Экстремум функции нескольких переменных
    1. Экстремум функции двух переменных.................462
    2. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных...........................................465
    3. Производная по направлению. Градиент функции .....467
Лекции 61, 62. Двойной интеграл
    1. Понятие двойного интеграла........................472
    2. Вычисление двойного интеграла сведением его к повторным 476
    3. Вычисление двойного интеграла методом подстановки..478
    4. Применение двойного интеграла к решению физических задач 482
Лекции 63, 64. Тройной интеграл
    1. Понятие тройного интеграла.........................486
    2.  Способы вычисления тройных интегралов.............488

8

    3. Применение тройного интеграла к решению физических задач.............................499
Лекция 65. Криволинейные интегралы
    1. Криволинейный интеграл первого рода.................504
    2. Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина..507
    3. Поверхностный интеграл первого рода......................509
    4. Поверхностный интеграл второго рода. Формула Стокса ...510
Лекции 66—68. Дифференциальные уравнения первого порядка
    1. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения.....................................................512
    2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными............................................514
    3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка........................................517

    4. Дифференциальные уравнения вида y' = f I ax⁺b¹ y ⁺ c¹ I .520
I a 2 x⁺ b2 У ⁺ c 2 I
    5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.523
    6. Уравнение Бернулли.......................................527
    7. Уравнение в полных дифференциалах........................529
    8. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно /..............................................531
Лекция 69. Дифференциальные уравнения второго порядка
    1. Простейшие дифференциальные уравнения и-го порядка... 533
    2. Дифференциальные уравнения второго порядка, правая часть которых не содержит искомой функции ...........535
    3. Дифференциальные уравнения второго порядка, правая часть которых не содержит независимой переменной.......536
    4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами................538
    5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами................540
Лекция 70. Системы дифференциальных уравнений
    1. Системы линейных дифференциальных уравнений.........549
    2. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.....554
Лекции 71, 72. Функции комплексного переменного.
Понятие производной
    1. Множества на комплексной плоскости.......................558
    2. Понятие функций комплексного переменного. Предел и непрерывность...............................................559
    3. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши — Римана. Аналитические функции........................566

9

Лекции 73, 74. Интегрирование функций комплексного переменного
    1. Понятие интеграла от функции комплексного переменного.... 571
    2.  Основные теоремы интегрального исчисления..........574
Лекции 75, 76. Ряды в комплексной области. Ряды Тейлора и Лорана
    1. Понятие ряда с комплексными членами. Сходимость ряда.
    Ряды Тейлора и Лорана..................................580
    2.  Особые точки функции комплексного  переменного.....585
Литература.................................................589

ПРЕДИСЛОВИЕ









   В данном учебном пособии в форме лекций изложены основные теоретические сведения, определения, факты и теоремы линейной алгебры, аналитической геометрии и математического анализа. Теоретический материал лекции закрепляется достаточно большим количеством примеров. Некоторые из них можно использовать непосредственно в ходе лекции, другие — для самостоятельной работы студентов.
   В пособии раскрывается суть таких основополагающих математических методов, как векторный, координатный, метод прямых на плоскости и в пространстве, метод плоскостей в пространстве, теория кривых и поверхностей в пространстве, теория многомерных пространств, теория числовых последовательностей, основы дифференциального и интегрального исчислений, теория числовых и функциональных рядов, теория дифференциальных уравнений, основы ТФКП.
   На современном этапе развития образовательного пространства изучение многих математических понятий актуально для студентов не только естественно-научных, но и технических специальностей. В связи с этим обостряется проблема реализации фундаментального подхода к математическому образованию студентов вузов технического и экономического профиля. Выпускник высшего учебного заведения должен не столько помнить математические формулы и факты, сколько владеть различными приемами их выведения и обоснования.
   В данной книге значительно расширены рамки изучения геометрических понятий и методов. Связано это, прежде всего, с тем, что именно из потребностей в разработке новых методов решения геометрических задач возникли такие самостоятельные математические дисциплины, как линейная алгебра, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения и др.

11

    Для реализации принципа преемственности в обучении следует первые лекции по высшей математике начать с изучения комплексных чисел, продолжив тем самым развитие числовой линии школьного курса математики. Посредством комплексных чисел вводятся мнимые точки, мнимые кривые и поверхности второго порядка. Отличительная особенность пособия заключается в том, что теория кривых и поверхностей второго порядка излагается не последовательно, а параллельно. Это значит, что эллипс и эллипсоид изучают в одной теме и на одной лекции, так же, как гиперболу и гиперболоиды, параболу и параболоиды. Изучение кривых и поверхностей второго порядка завершается изложением алгоритмов приведения общего уравнения кривой второго порядка и поверхности второго порядка к каноническому виду на евклидовой плоскости и в евклидовом пространстве.
    Основополагающим фактором теории дифференциального и интегрального исчислений является теория числовых последовательностей. Классическое определение числовой последовательности дается на языке £-окрестностей. На основании этого определения обосновываются свойства пределов числовых последовательностей, в том числе доказывается теорема, что всякая возрастающая (убывающая) числовая последовательность, ограниченная сверху (снизу), имеет предел. Методическая значимость этой теоремы состоит в том, что на ее основании вводится понятие определенного интеграла, строится теория двойных и тройных интегралов. На языке £, 5-окрестностей вводится понятие предела числовой функции одного аргумента, производной функции, предлагается решение задач общего вида на отыскание промежутков возрастания и убывания функции, наименьших и наибольших значений функции на заданном отрезке и т.д.
    После изучения определенного и несобственных интегралов следует перейти к изучению числовых и функциональных рядов. Изучение числовых последовательностей и несобственных интегралов способствует формированию в сознании студентов представления о бесконечных суммах. Тем более, что интегральный признак исследования числового ряда на сходимость базируется именно на несобственном интеграле.
    Изучение топологических пространств из раздела геометрии перенесено в раздел математического анализа, что способствует повышению эффективности в усвоении многомерного арифметического пространства, функций нескольких переменных, двойных и тройных интегралов.

12

   Представленные в учебном пособии разделы математики — алгебра, геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения и теория функций комплексной переменной — соответствуют Государственным общеобразовательным стандартам высшего профессионального образования по математике.
   Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических специальностей университетов, технологических и педагогических вузов, преподавателей и учителей математики.

* * *
   Автор выражает глубокую благодарность кафедре математики Пензенской государственной технологической академии, а также доктору физико-математических наук, профессору, зав. кафедрой геометрии Московского государственного областного университета О.В. Мантурову, доктору физико-математических наук, профессору, зав. кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета Ю.Г. Смирнову, доктору технических наук, профессору, зав. кафедрой математики Пензенского государственного университета архитектуры и строительства А.М. Данилову за помощь в работе над рукописью учебного пособия.

   В книге приняты следующие обозначения:
   О и И — начало и конец доказательства;
   △ и L — начало и конец решения примера.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА


              1. Понятие комплексного числа. Сложение комплексных чисел

   Как известно, уравнение х² -1 = 0 имеет два решения: х₁>₂ = ±1. Рассмотрим уравнение х² + 1² = 0. Перенеся единицу из левой части в правую со знаком «минус», получим уравнение х² = —1. Из школьного курса математики мы знаем, что это уравнение на множестве вещественных чисел не имеет решений. Расширим множество вещественных чисел добавлением «нового» числа i такого, что i² = -1. Тогда данное уравнение примет вид х² = i², откуда находим х₁>₂ = ±i. Число i называют мнимой единицей.
   Теперь рассмотрим уравнение х² + а² = 0 . Оно равносильно уравнению х² = -а² или, с учетом того, что i² = -1, уравнению х² = a²i². Чтобы это уравнение было разрешимо на некотором множестве чисел, необходимо расширить множество вещественных чисел добавлением к нему не только мнимой единицы, но и чисел вида ai, где а — любое вещественное число, а i — мнимая единица. Отсюда получаем, что в расширенном множестве вещественных чисел это уравнение имеет два корня: х₁₂ = ±ai.
   Далее рассмотрим какое-нибудь квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом, например х² + 2х + 2 = 0 . Нетрудно показать, что для данного уравнения D = 4i², откуда VD = ±2i. Следовательно, корнями этого уравнения являются числа х₁,₂ = —1 ± i.


14

   Итак, для того чтобы любое квадратное уравнение ах² + Ьх + + с = 0 было разрешимо на некотором множестве чисел, необходимо расширить поле вещественных чисел добавлением чисел вида а + Ы, где а и Ь — любые вещественные числа, а i — мнимая единица.
   Определение 1. Числа вида а + bi, где а и Ь — вещественные числа, а i — мнимая единица, называют комплексными числами. При этом а называют вещественной частью, а Ь — мнимой частью.
   Заметим, что все вещественные числа представляют частный случай комплексных чисел.
   Пример. Решить уравнениех² + 3х + 9 = 0.
   △ По формуле D = Ь² — 4ас найдем дискриминант данного квадратного уравнения. Имеем D = 3² — 4*1*9 = —25 = 25i². Следовательно,


-3 + л/25/²  -3 + 5i          -3 - л/25/²  -3 - 5i
-----------=---------, х, =--------------=---------
2            2   , ²          2            2


    Итак, корнями данного квадратного уравнения являются ком-
     л - -         -3 + 5i    -3 - 5i
плексные числа х. =----- их, =------. ▲
                 ¹   2       ²    2
    Возьмем произвольно два комплексных числа и = а + Ы и v = с + di.
    Определение 2. Суммой и + v двух комплексных чисел и и v называют комплексное число (а + с) + (Ь + d)i, действительная и мнимая части которого равны суммам действительных и мнимых частей чисел и и v.
    Свойства сложения комплексных чисел

    1°. Коммутативность, т.е. для любых комплексных чисел и, v справедливо равенство и + v = v + и.
    2°. Ассоциативность, т.е. для любых комплексных чисел и, v, w справедливо равенство (и + v) + w = и + (v + w).
    3°. Любое комплексное число и не изменится, если к нему прибавить число 0, т.е. и + 0 = и.
    4°. Для любого комплексного числа и найдется единственное число (—и) такое, что и + (—и) = 0.

15

                 2.  Умножение комплексных чисел

   Возьмем произвольно два комплексных числа u = а + bi и v = с + di.
   Определение 3. Произведением uv двух комплексных чисел и и v называют число ас — bd + (ad + bc)i.
   Пример 1. Найти произведение двух комплексных чисел и = 3 + 4i и v = 5 — 6i.
   △ Имеем
   uv = (3 + 4i)(5 — 6i) = 15 + 24 + (—18 + 20)i = 39 + 2i.
   Таким образом, uv= 39 + 2i. A
   Свойства умножения комплексных чисел
   1°. Коммутативность, т.е. для любых комплексных чисел и, v справедливо равенство uv = vu.
   О Пусть u = а + bi и v = с + di. Тогда uv = ас — bd + (ad + + be) i и vu = са — db + (da + cb)i. Так как умножение вещественных чисел коммутативно, то uv = vu. ■
   2°. Ассоциативность, т.е. для любых комплексных чисел u, v, w справедливо равенство (uv)w = u(vw).
   О Пусть u = а + bi, v = с + di, w = m + ni. Тогда
     (uv)w = [(ас — bd)m — (аб + Ьс)п] + [(ас — bd)n + (аб +
    + bd)m]i, u(vw) = [а(ст — dn) — Ь(сп + dm)] + [а(сп + md) + b(om — — dn)]i.
   Поскольку
(ас —  bd)m — (ad + bd)n  = а(ст — dn) — Ь(сп + dm),
(ас —  bd)n + (ad + b(')m = а(™ + md) +  b(cm — dn),
имеем (uv)w = u(vw). ■
   3°. Дистрибутивность умножения комплексных чисел относительно сложения, т.е. для любых комплексных чисел u, v, w справедливо равенство (u + v)w = uw + vw.
   О Пусть u = а + bi, v = с + di, w = m + ni. Тогда
   uw + vw = (om — bn) + (ан + bm)i + (^m — dn) + (сп + dm)i =
= [(а + (')m — (b + d)n] + [(а + с)п + (b + d)m]i.
   Так как (u + v)w = [(а + (')m — (b + d)n| + [(а + с)п + (b +
+ d)m]i, то (u + v)w = uw + vw.

16

   Пример 2. Выполнить действия:
   а)  (3 + 7z) (-5 + 9i); б) (2 - 3i)³; в) (7 -11z)² (3z + 5).
   △ а) Используя правило uv = ас — bd + (ad + bc)z умножения комплексных чисел, находим (3 + 7z)(-5 + 9z) = -78-8z.
   б)     Применяя формулу (а - b)³ = а³ - За²b + 3ab² - b³ куба разности двух выражений и учитывая, что z² = -1, z³ = -z, получаем
(2 - 3z)³ = 8 - 36z + 54z² - 27z³ = - 46 - 9z.
   в)     Согласно формуле квадрата разности двух выражений, получаем (7 - 11z)² = 49 - 154z + 121z². Так как квадрат мнимой единицы равен (—1), то (7 - 11z)² = -72 - 154z. Далее, используя правило умножения комплексных чисел, находим
(7 - 11z)² (3z + 5) = (-154/ - 72)(3z + 5) = = 462 - 216z - 770z - 360 = 102 - 986z. A

                3.  Понятие группы. Примеры групп

   Определение 4. Непустое множество G, состоящее из элементов произвольной природы, называют груииой, если на этом множестве можно определить внутреннюю бинарную алгебраическую операцию *, удовлетворяющую следующим условиям:
   1)     для любых элементов a, b, с, принадлежащих множеству G, выполняется равенство (а * b) * с = а * (b * с);
   2)     в множестве G существует нейтральный элемент е такой, что для любого элемента a е G имеет место равенство а * е = е * а = а;
   3)     для любого элемента а из множества G в этом множестве всегда найдется элемент а' такой, что а * а' = а' * а = е.

   Пусть внутренняя бинарная алгебраическая операция, определенная на множестве G, удовлетворяет еще одному условию:
   4)     для любых элементов а, b, принадлежащих группе G, выполняется равенство а * b = b * а (коммутативность).

17

   Тогда группу G называют коммутативной.
   Примерами коммутативных групп служат: множество комплексных чисел относительно сложения; множество ненулевых комплексных чисел относительно умножения; множество чисел вида а + b -75 , где а и b — произвольные вещественные числа, относительно сложения; множество направленных отрезков (векторов) плоскости или пространства относительно сложения векторов; множество многочленов от одной переменной степени не выше чем п относительно операции сложения многочленов. Можно показать, что в любой группе существует только один нейтральный элемент и для любого элемента а из группы в ней имеется один и только один ему противоположный (обратный). Если множество G является группой по сложению, то обычно такую группу называют аддитивной; если множество G является группой по умножению, то такую группу называют мультипликативной.
   Нетрудно показать, что в аддитивной группе G однозначно разрешимо уравнение вида а + х = b, где а и b — произвольные элементы из G, а в мультипликативной группе G однозначно разрешимо уравнение вида ах = b для любых элементов а и b из группы G.
   Свойства группы_______________________________________
   1°. В группе G существует один и только один нейтральный элемент.
   О Предположим противное. Пусть в группе G имеются два нейтральных элемента е и е'. Так как е' — нейтральный элемент, то е * е' = е. Далее, по предположению, элемент е также нейтральный, значит, е * е' = е'. Таким образом, е * е = е * е', откуда следует, что е = ё. ■
   2°. В группе G для любого элемента а существует только один элемент а' такой, что а * а' = е.
   О Предположим противное. Пусть в группе G для некоторого ее элемента а существуют два элемента b и b' таких, что а * b = = b * а = е, b' * а = а * b' = е. Поэтому
         b = е * b = (а * b') * b = b' * (а * b) = b' * е = b', откуда следует, что b = b'. ■

18