Курс высшей математики. В 2 книгах. Книга 1


В.Е.ШНЕЙДЕР, А.И.СЛУЦКИЙ, А.С.ШУМОВ

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ©



Москва
Мир и Образование

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
     Ш76
Научное редактирование книги и подготовка ее к изданию выполнены А. М. Суходским
     Шнейдер, В. Е.
Ш76 Курс высшей математики. В 2 кн. Кн. 1: Учеб. пособие для вузов / В. Е. Шнейдер, А. И. Слуцкий, А. С. Шумов. — 3-е изд., перераб. и испр. — Москва : Мир и Образование, 2022. — 544 с.: ил.
        ISBN 978-5-94666-522-3
        ISBN 978-5-94666-523-0 (Книга 1)
        Эта книга является переработанным изданием учебного пособия, широко известного многим поколениям студентов. Она написана в соответствии с программой по курсу высшей математики для вузов.
        Пособие состоит из двух книг. Содержание первой книги охватывает следующие разделы: метод координат и понятие функции, элементы векторной и линейной алгебры, аналитическую геометрию на плоскости и в пространстве, теорию пределов, дифференциальное исчисление функций одной переменной, неопределенный и определенный интегралы.
        В каждом разделе курса приводится большое количество подробно решенных примеров и задач, поясняющих теоретический материал.
        Пособие адресовано студентам и преподавателям вузов.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

Учебное издание
Шнейдер Владимир Евгеньевич
Слуцкий Александр Исахарович
Шумов Александр Сергеевич

КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В двух книгах. Книга 1

   Выпускающий редактор О. А. Богатырёва. Компьютерная верстка: Т. Ю. Репина.
Подписано в печать 17.12.2021. Печать цифровая. Бумага офсетная.
Формат 60х90 ¹/₁₆. Усл. печ. л. 34,00
Общероссийский классификатор продукции ОК-034-2014 (КПЕС 2008); 58.11.1 — книги, брошюры печатные.
Произведено в Российской Федерации. Изготовлено в 2022 г.
ООО «Издательство «Мир и Образование».
117418, Российская Федерация, г. Москва, ул. Новочеремушкинская, д. 50, корп. 2, пом. IV, комн. 16. Тел.: +7 (495) 742-43-54, +7 (966) 131-85-01.
www.mio-books.ru E-mail: mail@mio-books.ru

Интернет-магазины: www.labirint.ru, www.my-shop.ru, www.wildberries.ru, www.ozon.ru
Отпечатано в АО «Т 8 Издательские Технологии» (АО «Т8»)
г. Москва, Волгоградский проспект, дом 42, корп. 5
ISBN 978-5-94666-522-3
ISBN ⁹⁷⁸⁻⁵⁻⁹⁴⁶⁶⁶⁻⁵²³⁻⁰ ⁽Книга ¹⁾     © Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И., Шумов А. С., 2022
                                     © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ



Предисловие....................................................5

Глава 1. Метод координат. Понятие функции
   § 1.1. Элементы теории множеств и математической логики. Действительные числа.......................................6
   § 1.2. Координаты на плоскости и в пространстве.......... 14
   § 1.3. Полярные координаты. Преобразование координат..... 19
   § 1.4. Понятие функции....................................25
   § 1.5. Уравнение линии..................................... 3 8

Глава 2. Элементы векторной и линейной алгебры § 2.1. Элементы теории определителей......................44
   §2.2.  Системы линейных уравнений........................ 53
   § 2.3. Векторы и линейные операции над ними.............. 60
   § 2.4. Линейная зависимость векторов. Базис ............. 69
   § 2.5. Скалярное, векторное и смешанное произведения..... 80
   § 2.6. Матрицы и действия над ними....................... 95
   § 2.7. Общая теория систем линейных уравнений............110
   § 2.8. Линейные отображения............................. 134

Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости §3.1. Прямая............................................ 152
   § 3.2. Кривые второго порядка........................... 164

Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве §4.1. Плоскость......................................... 188
   § 4.2. Прямая в пространстве............................ 196
   § 4.3. Прямая и плоскость в пространстве.................205
   § 4.4. Поверхности второго порядка.......................209

Глава 5. Теория пределов § 5.1. Предел функции....................................225
   § 5.2. Непрерывные функции...............................265

Оглавление

Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
   § 6.1. Производная.....................................285
   § 6.2. Производные высших порядков.....................311
   § 6.3. Дифференциал функции............................314
   § 6.4. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование 325
   § 6.5. Векторная функция скалярного аргумента..........332
   § 6.6. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях...341
   § 6.7. Приложение производной к исследованию функций и построению графиков..................................352
   § 6.8. Приближенное решение уравнений..................378
   § 6.9. Интерполяционные формулы. Численное дифференцирование383

Глава 7. Неопределенный интеграл
   § 7.1. Неопределенный интеграл и его свойства..........398
   § 7.2. Основные методы интегрирования..................406
   § 7.3. Интегрирование рациональных функций.............415
   § 7.4. Интегрирование тригонометрических функций ......437
   § 7.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций.445
   § 7.6. Общие замечания о методах интегрирования. Интегралы, не берущиеся в элементарных функциях....................453

Глава 8. Определенный интеграл
   § 8.1. Задачи, приводящие к определенному интегралу....455
   § 8.2. Определенный интеграл и его свойства............460
   § 8.3. Геометрические и физические приложения определенного интеграла................................480
   § 8.4. Кривизна плоской линии..........................505
   § 8.5. Несобственные интегралы.........................514
   § 8.6. Приближенные методы вычисления определенных интегралов................................525

Предметно-именной указатель...............................535

ПРЕДИСЛОВИЕ



    Настоящее учебное пособие представляет собой третье, переработанное и исправленное издание книги тех же авторов (первые два издания под названием «Краткий курс высшей математики» были выпущены в 1972 и 1978 гг). Оно в основном охватывает весь материал, предусмотренный программой по высшей математике для студентов высших учебных заведений.
    Пособие состоит из двух книг. В книге 1 рассматриваются следующие разделы: метод координат и понятие функции; аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве; теория пределов; дифференциальное исчисление функций одной переменной; неопределенный и определенный интегралы.
    В книге 2 рассматриваются следующие разделы: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные и криволинейные интегралы; ряды; дифференциальные уравнения; элементы теории вероятностей; элементы операционного исчисления.
    Авторы стремились изложить материал во возможности строго и доступно. В каждом разделе курса приводится большое количество подробно решенных примеров и задач, поясняющих теоретический материал. Вместе с тем, чтобы избежать формального введения основных понятий, предварительно рассматриваются геометрические и физические задачи, естественно приводящие к этим понятиям.
    В третьем издании были сделаны улучшения методического и редакционного характера, а также исправлены замеченные неточности и опечатки.
    В книге приняты следующие обозначения: начало и конец доказательства какого-либо утверждения обозначаются соответственно знаками □ и ■. а начало и конец решения примера — знаками Д и ▲ .
    Издательство будет благодарно всем, кто пришлет свои замечания и пожелания, связанные с этой книгой.
    Желаем Вам успехов!

МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ






                    § 1.1. Элементы теории множеств и математической логики.
                    Действительные числа

   В отдельных разделах данного курса используются некоторые понятия из теории множеств и математической логики; здесь мы приведем краткое изложение этих понятий.

   1.    Основные сведения о множествах. Понятие множества (или совокупности) является одним из основных математических понятий. Множество есть определенная совокупность каких-либо объектов. Примерами множеств могут служить совокупность студентов данного вуза, множество страниц данной книги, множество всех четных чисел и т. д. Из приведенных примеров следует, что множество может содержать конечное или бесконечное количество предметов, или, как говорят, элементов. В первом случае множество называется конечным, во втором — бесконечным.
   Обычно множества обозначаются заглавными буквами А, В, М, N, ..., а их элементы — малыми буквами а,Ъ,.... Если некоторый элемент х принадлежит множеству М, то употребляют следующую запись: x е M. Если же элементх не принадлежит множеству М, то пишут x i M.
   Пусть М и N — два множества. Если все элементы множества М принадлежат множеству TV, то говорят, что М содержится вМ; это записывают так: M с N или N ^ M. В этом случае множествоМназывается подмножеством множествам. Например, множество четных чисел есть подмножество множества целых чисел. Ясно, что если M с N, N с L, то M с L.
   К числу множеств относят и множество, не содержащее ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается 0. Например,
                                        2
множество действительных корней уравнения x + 4 = 0 пусто, поскольку это уравнение не имеет действительных корней.
   Пусть имеется конечное число множеств M 1, M2,..., Mₙ. Объединением (или суммой) этих множеств называется множество М всех элемен

§1.1. Элементы теории множеств и математ. логики. Действительные числа

7

тов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств M 1, M2,..., Мп. Это обозначают так:

М = М 1 им₂ и... UMₙ илиМ = имг.
                                            i=1
    Например, множество всех целых чисел есть объединение множеств четных и нечетных чисел; множество всех действительных чисел есть объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.
    Пусть множество М1 состоит из чисел х, удовлетворяющих неравенствам 1 < x < 5, а множество М2 — из чиселу, для которых 2 < у < 7. Тогда объединение этих множеств Мi U М2 состоит из чисел z, удовлетворяющих неравенствам 1 < z < 7.
    Пересечением (или произведением') множеств М1, М2,..., Мп называется множество М, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств М1, М2,..., Мп . Это обозначают следующим образом:
М = М 1 ПМ₂ П...ПМп илиМ = ПМ,.
                                            i=1
    Если не существует элементов, принадлежащих каждому из множеств, то их пересечение, очевидно, — пустое множество.
    Пусть М1 — множество действительных чисел, меньших 3, а М2 — множество действительных чисел, больших 2. Пересечением этих множеств М1П М2 является множество действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам 2 < x < 3.
    Пусть М1 — множество чисел, больших 3, а М2 — множество чисел, меньших 2; тогда, очевидно, М1 ПМ2 = 0. В этом случае говорят, что множества М1 и М2 не пересекаются.

    2.    Кванторы общности и существования. Логическое следствие и логическая равносильность. При изложении некоторых разделов курса мы будем пользоваться знаками V и 3, называемыми соответственно кванторами общности и существования.

ГЛАВА 1. Метод координат. Понятие функции

    Символ V или V x означает: «для всех х», «для каждого х», «для лю-x
бого х» или «каково бы ни было х». Например, запись V(x > 0) читается x
следующим образом: «для любого положительного числах», или «для всех положительных чиселх». Запись V (x е M) читается так: «для любого эле-x
мента х, принадлежащего множеству М», или «для каждого элемента х из множества М». Запись V (xi, x2 е M) означает: «каковы бы ни были эле-xi, x2
менты xi и x2 множествам», или «для любых xi и x2 из множествам».
    Символ Я или Яx означает: «существует такое х, что», или «для неко-x
торых х», или «по крайней мере для одного х», или «можно найти такое х, что ...». Например, запись Я (x > 0) читается так: «существует такое поло-x
жительное числох, что...»; Я (xе M) —«существуеттакой элементхмно-x
жества М, что...»; запись Я (xi, x2 е M) означает: «существуют такие xᵢ, x₂
элементы xi и x2 множествам, что ...».
    Нам неоднократно придется иметь дело с символами ^ и ^.
    Символ ^ означает логическое следствие. Так, если Л и В — какие-то свойства, то запись A ^ B означает, что из А следует В, или если имеет место А, то имеет место В.
    Знак ^ означает логическуюравносильность. Запись A ^ B означает, что из А следует В, и, наоборот, из В следует А.
    Рассмотрим, например, теорему Пифагора: если треугольник прямоугольный (свойствоА), то квадрат одной из его сторон равен сумме квадратов двух других сторон (свойство В), т. е. A ^ B .
    Очевидно, справедливо и обратное утверждение: если в треугольнике квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон (свойство В), то этот треугольник прямоугольный (свойство А), т. е. B ^ A.
    Таким образом, свойства А и В равносильны, т. е. A ^ B.
    Пусть Ми TV—два множества. Запись V( x е M) ^ x е N означает, что x
каков бы ни был элемент х, утверждение «х принадлежит множеству М» влечет за собой утверждение «х принадлежит множеству V». Иными словами, М содержится в V, т. е. M с N.

§1.1. Элементы теории множеств и математ. логики. Действительные числа

9

    Запись
V(£ > 0) 3 N V(x > N) ^ | f (x) - b\ <£ £          x
читается так: «каково бы ни было е > 0, существует такое число TV, что для
любого x > N имеет место неравенство \f (x) - b| < е».


    3.    Понятие действительного числа. В настоящем курсе, как правило, нам придется иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, которые мы считаем известными учащемуся из курса математики средней школы. Множество действительных чисел состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел.
Рациональным числом называется число вида —, где т и п — целые чис-n
ла, причем n Ф 0. В частности, всякое целое число т может быть представ-

           —
лено в виде — и, следовательно, является рациональным. Иррациональным числом называется действительное число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.
    К необходимости введения понятия иррационального числа приводит рассмотрение многих задач, в частности — задачи измерения длин некоторых отрезков (например, длины диагонали квадрата со стороной, равной

—
единице). Как известно, всякое рациональное число — либо является це-n
лым, либо представляется конечной или периодической бесконечной десятичной дробью. Иррациональное же число представляется непериодичес-
„ _        „          „                                    3
кой бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа — и

¹ « -
— записываются в виде десятичных дробей:


                 31
- = 0,75; - = 0,333... = 0,(3).
                 4      3
Иррациональные числа у[2 и п можно представить в виде непериодических бесконечных десятичных дробей:

2 = 1,414...; п = 3,14159... .

ГЛАВА 1. Метод координат. Понятие функции

    Запись действительных чисел с помощью десятичных дробей позволяет каждое иррациональное число заменить близким к нему рациональным числом. Это близкое рациональное число называется рациональным приближением данного иррационального числа. В качестве рационального приближения берут конечную десятичную дробь, у которой первые п цифр после запятой совпадают с первыми п цифрами после запятой данного иррационального числа, а все остальные цифры заменены нулями. Ошибка при этой
1
замене не превосходит, очевидно, —n •


   Например, рациональным приближением числа П = 3,14159..., отличаю-


щимся от него не более, чем на

у^, служит рациональное число 3,14,


т. е. п ~ 3,14. В инженерных расчетах арифметические действия над иррациональными числами заменяют соответствующими действиями над их рациональными приближениями.
    Заметим, что практически для получения приближенного результата достаточно во всех вычислениях брать на один знак больше, чем требуется, а затем округлить полученный результат до нужного числа знаков. Например, при вычислении суммы п + 3з с точностью до 0,01 получим
п + Л « 3,142 +1,732 = 4,874 « 4,87.
    Подробное изложение теории действительных чисел можно найти в более полных курсах математического анализа.


    4. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой. Действительные числа можно изображать точками координатной прямой. Координатной прямой (рис. 1.1) называется прямая, на которой выбраны начальная точка (начало), положительное направление (отмеченное на чертеже стрелкой) и отрезок, длина которого считается равной единице (единица масштаба).
    Направление, противоположное положительному направлению координатной прямой, называется отрицательным. Если действительное число x > 0, то оно изображается точкой координатной прямой, находящейся от

Рис. 1.1

§1.1. Элементы теории множеств и математ. логики. Действительные числа

11

начала на расстоянии х в положительном направлении; если x < 0, то точка координатной прямой изображающая число х, лежит в отрицательном направлении от начала на расстоянии, равном -х (при х отрицательном - x > 0); число нуль изображается начальной точкой прямой.
    Действительное числох, которое согласно указанным правилам ставится в соответствие точке М координатной прямой, называется координатой этой точки. В том случае, когдах является координатой точки М, условимся писать М(х).
                                                ( п '
    На рис. 1.2, а отмечены точки M 1(1), Mз(-2), M3I — I, M₄(lg2) коор-

динатной прямой, изображающие соответственно действительные числа 1, п , „
-2, —, lg2. Очевидно, каждому действительному числу х соответствует

единственная точка М координатной прямой, и, обратно, каждой точке М этой прямой соответствует единственное действительное число х — координата этой точки. Как говорят, между множеством всех действительных чисел и множеством точек координатной прямой сущ.ествует взаимно однозначное соответствие. Поэтому множество всех действительных чисел часто называют числовой прямой, а действительные числа — точками числовой прямой. Кроме того, точка на числовой прямой часто обозначается ее координатой.

Л/₂ О М₃
~2
а)

О
z '    '
б)
Рис. 1.2

    Множество действительных чисел являетсяупорядоченным. Это значит, что два любых не равных между собой действительных числа Xi и x2
удовлетворяют одному и только одному из двух неравенств: Xi > x2 или

Xi < x2.
    На горизонтально расположенной координатной прямой с положительным направлением слева направо точки, соответствующие большим дей

ГЛАВА 1. Метод координат. Понятие функции

ствительным числам, лежат правее точек, соответствующих меньшим числам.
    Отметим также, что множество действительных чисел является плотным, т. е. обладает следующим свойством: между любыми двумя не равными друг другу действительными числами находится бесконечно много других действительных чисел. Это значит, что если (для определенности) *1 < х2, то существует бесконечное множество чисел х, больших х^_, но
меньших х₂: х1 < х < х₂.

    5.    Абсолютная величина действительного числа. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа х называется само это число, если х > 0, или число -х, если х < 0. Абсолютная величина действительного числа х обозначается символом |х|. Таким образом,

        . . Г х при х > 0, х = 1           ..

[- х при х < 0.
    Например, |2| = 2, |п| = п, |0| = 0, |- 3| = -(-3) = 3.
    Модуль любого действительного числа либо положителен (если число не равно нулю), либо равен нулю (если само число равно нулю). Отсюда следует, что любое действительное число не больше своего модуля, т. е. х < |х|. Равенство имеет место при х > 0, а неравенство — при х < 0 (так как в последнем случае число х отрицательно, а его модуль положителен).
    Исходя из определения абсолютной величины действительного числа, легко выяснить ее геометрический смысл: абсолютная величина действительного числа х равна расстоянию точки М (х) от начала. Например, точка M1 (1) (см. рис. 1.2, а) находится от начала на расстоянии, равном |1| = 1, точкаМ2 (-2) —на расстоянии, равном |- 2| = 2, ит. д.
    Пользуясь геометрическим смыслом абсолютной величины, легко установить, что при любом е > 0 неравенство |z| < е равносильно неравенствам* -в < z < е.
    Действительно, неравенство |z| <е означает, что точка z отстоит от начала на расстоянии, меньшем е, т. е. -е < z < е (рис. 1.2, б). Обратно, если

* С помощью символов, указанных в пп. 1.и 2, это утверждение можно записать так:
У(е > 0) (|z| <е) ^ {-е < z <е}. е