Сборник задач по математике для поступающих в вузы (с решениями). В двух книгах. Книга 2. Геометрия


Под редакцией М. И. СКАНАВИ





                по математике





Для поступающих в вузы


В дВух книгах

к нига 2

УДК 51(076.2)
ББК 22.1я72
     С23



Все права защищены. Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.

Авторы
В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский, Т. Н. Маслова,
И. Ф. Орловская, Р. И. Позойский, Г. С. Ряховская, М. И. Сканави, А. М. Суходский, Н. М. Фёдорова

Научное редактирование книги и подготовка ее к изданию выполнены А. М. Суходским




        Сборник задач по математике для поступающих в вузы С23 (с решениями). В 2 кн. Кн. 2. Геометрия / В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; Под ред. М. И. Сканави. — 10-е изд., испр. — Москва : Мир и Образование, 2022. — 512 с.: ил.
        ISBN 978-5-94666-951-1
        ISBN 978-5-94666-947-4 (Книга 2)
        Классический сборник задач под редакцией М. И. Сканави содержит расширенные теоретические сведения справочного характера по курсу геометрии и примеры решения задач с объяснениями применяемых методов. В сборник также вошли дополнительные главы «Комбинаторика и бином Ньютона» и «Комплексные числа».
        Задачи в сборнике разбиты на три группы по уровню сложности и объединены по типам и методам решения. Ко всем задачам даны ответы, указания или решения.
        Пособие поможет при подготовке к выпускным экзаменам в школе — сдаче ОГЭ и ЕГЭ, а также к поступлению в вуз.
        Книга адресована учащимся старших классов, абитуриентам, репетиторам и преподавателям.
УДК 51(076.2)
ББК 22.1я72



ISBN 978-5-94666-951-1
ISBN 978-5-94666-947-4 (Книга 2)
                         © Голубева М. А., Егерева В. С., Зайцев В. В., Луковцева А. К., Лунаци Э. Д., Маслова Т. Н., Сканави А. М., Суходская В. А., Фохт О. Б., 2022
                         © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2022

ГЛАВА 11

ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ




ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

   1°. Произвольный треугольник (а, Ъ,с — стороны; а, р, у— противолежащие им углы;р — полупериметр; R— радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности; 5 — площадь; hₐ — высота, проведенная к стороне а):

5 = 2 aha;                                      (11.1)
с ч ■                                                 
5 = Ъс sin а;                                   (11.2)
2                                                     
5 = д/р (Р - а)(р - Ъ)(р - с) (формула Герона); (11.3)

5

г =---;                                        (11.4)
р                                                    
аЪс                                                  
R =---;                                        (11.5)
45                                                   
               а 2 sin В sin С                 (11.6)
                   2sin А ;                          
а 2 = Ъ2 + с2 - 2Ъс cos а (теорема косинусов); (11.7)
                а      Ъ     с                       
----=----=----= 2R (теорема синусов).          (11.8)
sin а sin р sin у                                    

    2°. Прямоугольный треугольник (а, Ъ — катеты; с — гипотенуза; ас, Ъс — проекции катетов на гипотенузу):

с 1 к                  
5 = ---аЪ;       (11.9)
2                      
5 = 2 с^;       (11.10)
а + Ъ - с              
г =___________' (11.11)

2

3

ГЛАВА 11. Задачи по планиметрии

   R=-1;                                                            (11.12)
             а2 + b2 = с2 (теорема Пифагора);                       (11.13)
   ас _ hc .                                                        (11.14)
   hc    bc ;                                                              
   ас   а                                                           (11.15)
   ~ = ~;                                                                  
   bc b                                                             (11.16)
   ~b = ~с ;                                                               
   а = с sin а = с cos Р = b tg а = b etg р.                        (11.17)
   3°. Равносторонний треугольник-.                                        
   .сО-Б.                                                           (11.18)
   5 = 4 ;                                                                 
   а V-                                                             (11.19)
   Г =                                                                     
   R = SS#.                                                                
   3                                                                (11.20)
   4°. Произвольный выпуклый четырехугольник (dx        и d2 --- диагонали;
ф- --- угол между ними; 5 --- площадь):                                    
   5 = --- djd2 sin ф.                                              (11.21)
   5°. Параллелограмм (а и b --- смежные стороны; а ---  - угол между ними;
ha --- высота, проведенная к стороне а):                                   
   5 = aha = ab sin а = --- d]d- sin ф.                             (11.22)
   6°. Ромб-                                                               
   2 ■          1                                                   (11.23)
               5 = ahS = а sinа = --- did-.                                
   7°. Прямоугольник (d --- диагональ):                                    
   „    ,    1,2-..                                                        
                  5 = ab = --- d sin ф.                             (11.24)
                            2                                              
   8°. Квадрат:                                                            
   5 = а 2 = - d 2.                                                 (11.25)
   2                                                                       

4

Элементы теории, примеры

     9°. Трапеция (а иЬ — основания; h — расстояние между ними; l— средняя линия):


а + Ь
= ~1Г;

(11.26)


5 = ^1^. h = lh.
2

(11.27)


10°. Описанный многоугольник (р — полупериметр; г—радиус вписанной

окружности): 5 = рг.                            (11.28)

    11°. Правильныймногоугольник (ап — сторона правильного п-угольника; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности):

аЗ = RТЗ; а₄ = RЛ; а₆ = R;

(11.29)

 5 = Па2пг.                         (11.З0)

12°. Окружность, круг (г — радиус; С — длина окружности; 5 — площадь

круга): С = 2дг;                          (11.З1)

5 = пг².                       (11.З2)
     1З°. Сектор (l — длина дуги, ограничивающей сектор; п° — градусная мера центрального угла; а — радианная мера центрального угла):

 , пгп°                                           
 l =-----= га;                          (11.ЗЗ)   
 180°                                             
                      ___2,.°                     
 5 =------= --- г2 а.                      (11.З4)
                     З60°    2                    

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ФИГУР


     1°. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
     □ Пусть медианы AD и BE пересекаются в точке О (рис. 11.1). Построим четырехугольник MNDE, где Ми А—середины отрезков АО и ВО. Тогда МАЦАВ и MN = 0,5АВ как средняя линия ААОВ; ED||AB и ED = 0,5АВ как средняя


Рис. 11.1

5

ГЛАВА 11. Задачи по планиметрии

Рис. 11.2                                 Рис. 11.3

линия ААВС. Поэтому MN || ED и MN = ED, т. е. фигура MNDE — параллелограмм с диагоналями MD и NE. Значит, MO = OD и так как MO = АМ, то АМ = MO = = OD. Итак, точка О делит медиану AD в отношенииАО : OD = 2 : 1 и в таком же отношении эта точка делит медиану BE.
     Очевидно, что в том же отношении должна делить и третью медиану точка ее пересечения как с первой, так и со второй медианами. При этом третья медиана не может пересечь их в точках, отличных от О, поскольку тогда на каждой медиане имелись бы две различные точки, делящие ее в отношении 2:1, считая от вершины, что невозможно. ■
     2°. Длина медианы треугольника выражается формулой

та = ^(Ъ² + с²) - а² ,

(11.35)

где а,Ъ, с — длины сторон треугольника.
     □ Продолжим медиану AD (рис.11.2) на расстояние DE = AD и построим отрезки BE и EC. В полученном четырехугольнике ABEC точка D пересечения диагоналейAE=2та иВС=а делит каждую из них пополам; следовательно,ABEC — параллелограмм. Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. Составив уравнение и решив его относительно та, получим искомое соотношение.^
     3°. Длина стороны треугольника выражается формулой

а =

-|7²⁽mi + т²⁾ ⁻ та ,

(11.36)

где та, т& тс — длины медиан треугольника.
     □       Отметим на медиане AD точку О пересечения медиан ЛАВС (рис.11.3); согласно свойству 1°, она делит,AD в отношении-AO : OD = 2:1. Продолжим OD


на расстояние DF = OD = 3 та и соединим точку FcB и С.

    Теперь составим уравнение, связывающее длины сторон
__2      _ 2                 „ 2. 2
BO = 3тъ, CO = 3тс и диагоналей OF = — та, ВС = а параллелограмма OBFC. Решив это уравнение относительно а, получим искомое соотношение.■


6

Элементы теории, примеры

Рис. 11.4

Рис. 11.5

     4°. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам, т. е.

а «1 b "

(11.37)

где а, Ь — стороны треугольника, а^^ — прилегающие к ним отрезки стороны с.
     □       I способ. Пусть CD — биссектриса ЛАБС (рис. 11.4). Треугольники BCD и ACD с основаниями ь₁ и -₁ имеют общую высоту. Пусть их площади равны соответственно 51 и S₂; тогда S₁ : S₂ ь₁ : -₁. С другой стороны, в силу формулы

(11.2) имеем

1         С 1                С
S₁ = -а ■ CD sin—, S₂ = —b ■ CD sin—, ¹ 2           2    ² 2           2

откуда S1 : S2

a : b.

Сравнивая полученные пропорции, заключаем, что Ь1: -1 = а : -.
     II способ. Пусть ZBDC = Р (рис.11.4); тогда ZiDC = л-р. Согласно


                                           . С . п , , теореме синусов (11.8), имеем Ь1: а = sm—: sm Р (из Л BCD)    и


, ,    .С . , c ■ С
—1 : b = sm—: sm(n-P) = sm—: sin Р (из Л ACD). Сравнивая эти пропорции,

заключаем, что Ь1 : а = -1 : b, откуда Ь1 : -1 = а : b.
     III способ. Продолжим биссектрису CD до пересечения в точке Е с прямой AE^CB (рис.11.5). Имеем Za = Zp (по условию) и Za = Zy (углы при парал

лельных CB и АЕ и секущей СЕ). Сопоставив эти равенства, получим Zp = Zy. Следовательно, Л АСЕ — равнобедренный и АЕ = АС = b; Л AED ~Л BCD (вследствие равенства углов), откуда Ь1 : -1 = а : -.■
     5°. Длина биссектрисы треугольника выражается формулой
                            !с = «ь- - a₁b₁,                       (11.38)

7

ГЛАВА 11. Задачи по планиметрии

                           где а иЪ — длины двух сторон треугольника ABC; a^ub^ — отрезки третьей стороны (см. рис.11.4).
     □       I способ. Применив теорему косинусов (11.7) к ABDC и AADC с равными углами BCD иACD, составим уравнение

1с + а² - а² 2а1с

ic² + ъ² - Ъ² 2Ъ1с

откуда Ъ (ll + а² - а²) = а (1^ + Ъ² - bf), или 1^2 (Ъ - а) - аЪ (Ъ - а) =
= (а1Ъ)а1 -(аЪ1)Ъ]. Используя равенство аЪ1 = аД, вытекающее из формулы (11.37), имеем
              2                              2
(Ъ - а)(1с - аЪ) = аЪуц - а1ЪЪ1, или (Ъ - а)(1с - аЪ) = -а1Ъ1(Ъ - а).
     Полагая Ъ Ф а, разделим обе части последнего равенства на Ъ - а, откуда

Рис. 11.6

рон а, Ъ и с по формуле

     II способ. Опишем около AABC окружность, продолжим биссектрису CD = 1с до пересечения с окружностью в точке Е (рис.11.6) и соединим B с Е. Так как A ADC ~

                 1с _  а
~ A EBC , то — = -------ТГТТ’ или
                 Ъ 1с + DE

аЪ = 1с (1с + DE). Учитывая, что 1с ■ DE = аД\, запишем последнее равенство в виде аЪ = l^ + а|Ъ|. откуда
1с = а - аф^. ■
6°. Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сто-

lC = аЪ - аД^.

1с

ЪъЬ (а + Ъ + с)(а + Ъ - с)

(11.39)

а + Ъ

.

     □      Запишем соотношение (11.38) в виде l^ = аЪ - а1 (с - а1). Далее, исполь-


                                     а а                      ас „
зуя формулу (11.37), получаем — = !—, т. е. а1 =------------------. Отсюда находим
                                     Ъ с - а1                 а + Ъ


,2   ..,  ас I .    ас I
1с = аЪ-------1 с--------I и требуемое значение 1сМ
          а + Ъ I а + Ъ )


8

Элементы теории, примеры

Рис. 11.7

                                                         Рис. 11.8



     7°. Для всякого треугольника зависимость между его высотами hₐ, hb, hc и радиусом г вписанной окружности выра'ж.ается формулой


1111 -1-1-— —. hₐ h^ hc г

(11.40)

     □ Используя формулы (11.4) и (11.1), имеем 5 = гр, 2S = ahₐ = bhb = chc. Отсюда находим

      1 1 1  a b c   a + b + c 1          11
         1  1 —  1 1 — — — р — — —. ■ hₐ---------------hb-hc-25-25-25-2-5 5г


     8°. Площадь 5равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно пер-пендикулярны,равна квадрату ее высоты, т.е.5 = h².
     □       В равнобедренной трапеции осью симметрии является перпендикуляр MN к ее основаниям, проходящий через точку О пересечения диагоналей (рис.11.7).Так как ZAOD — 90°, то AD = 2ON и ВС = 2OM. Следовательно,


          5abcd — AD ⁺₂ ВС ' MN — (ON + OM) MN — MN² — h². ■
     9°. Высотаравнобедренной трапеции, в которуюможно вписать окружность, является средним геометрическим ее оснований.
     □     Так как в четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин

противоположных сторон равны, то a + b = 2c (рис.11.8), откуда АВ — a * .


                 a - b                                              ₂
Далее имеем АЕ — —2— и из прямоугольного треугольника ВЕА находим ВЕ² =


2 /      , \2
                    ₂ ( a + b )    ( a - b )
= АВ² -АЕ², т. е. h² — I------I -I-------I — ab. ■
                        I 2 J ^ 2 J

9

ГЛАВА 11. Задачи по планиметрии

Рис. 11.9                                   Рис. 11.10

     Пример 1. Площадь треугольника АВС равна 30 см². На стороне АС взята точка D так, что AD : DC =2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного к стороне ВС, равна 9 см. Найти ВС.
     □      ПроведемBD (рис.11.9); треугольники АВС и BDCимеют общую высоту BF, следовательно, их площади относятся как длины оснований, т. е.

⁵А.',В1) : $ABDC - AD : DC - ² : ³

откуда

с _ ³ с -1S ,...2 ⁵АВОС ⁻ ~⁵ААВС ⁻ I⁸ см .

С другой

стороны, согласно формуле (11.1), 5aBDc - 0,5ВС ■ DE, т. е. 18 = 0,5 ВС ■ 9, откуда ВС = 4 см.И
     Пример 2. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны соответственно 10 и 12 см. Найти длину основания.
     □      В А АВС имеем АВ = ВС, BD 1 AC, АЕ 1 ВС, BD = 10 см и AE = 12 см (рис.11.10). Пусть АС а, АВ = ВС = у. Прямоугольные треугольникиАЕС иBDC подобны (угол С—общий); следовательно, ВС :АС = BD :АЕ, илиу:а = 10: 12 = = 5:6.ПрименяятеоремуПифагора(11.13)к АBDC, имеем ВС² = BD² + DC²,

т. е. у²

  _ а² „
-100 + —. Решив систему уравнений <

У_
х

  5
= —,
  6
       а ²
-100 + —, 4

получим а = 15.

у²

Итак,АС= 15 см.И

Рис. 11.11

     Пример 3. Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. Расстояние от точки касания до центра второй окружности равно утроенному радиусу этой окружности. Во сколько раз длина первой окружности больше длины второй окружности?
     □ Пусть О1 и О2 — центры окружностей, А — точка касания (рис.11.11). Тогда О^А = Яр О1О2 = Я + + Я₂, О2А = ЗЯ2 (по условию). Требуется найти отноше-

10