Теория автоматического управления

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина





Е. Э. Страшинин, А. Д. Заколяпин, С. П. Трофимов, А. А. Юрлова





                Теория авТомаТического управления





Учебник

              Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета для студентов вуза, обучающихся по направлению подготовки 27.03.04 — Управление в технических системах








Екатеринбург
Издательство Уральского университета 2019

УДК 681.5.011(075.8)
ББК 32.965-01я73
     Т33
Серия «Учебник УрФУ» основана в 2017 году
   Редакционная коллегия серии:
   доц., канд. техн. наук Е. В. Вострецова; доц., канд. техн. наук В. Г. Ко-берниченко; И. Ю. Плотникова (ответственный редактор серии)
   Авторы: Е. Э. Страшинин, А. Д. Заколяпин, С. П. Трофимов, А. А. Юрлова
   Рецензенты:
   кафедра информатики Уральского государственного горного университета (завкафедрой канд. техн. наук, доц. А. В. Дружинин);
   проф., д-р техн. наук В. В. Побединский (кафедра сервиса и технической эксплуатации транспортных технологических машин Уральского государственного лесотехнического университета
   Научный редактор — канд. техн. наук А. В. Цветков

   На обложке используется изображение с сайта https://www.insys-icom.com/

      Теория автоматического управления : учебник / Е. Э. Страшинин, Т33 А. Д. Заколяпин, С. П. Трофимов, А. А. Юрлова ; Мин-во науки
      и высш. образования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019. — 456 с. — (Учебник УрФУ).
     ISBN 978-5-7996-2788-1
   Предлагаемый учебник основан на лекциях двухсеместрового курса «Теория автоматического управления», читаемого в Департаменте автоматики и информационных технологий Уральского федерального университета. Первая часть посвящена линейным непрерывным системам управления, вторая — нелинейным системам управления, третья — цифровым системам управления.
   Для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению подготовки 27.03.04 — Управление в технических системах.
                                              УДК 681.5.011(075.8)
                                              ББК 32.965-01я73

ISBN 978-5-7996-2788-1                © Уральский федеральный
университет, 2019

             Оглавление




  Предисловие .......................................... 9
  Введение в теорию автоматического управления......... 14


  I Линейные непрерывные системы управления                                                   33
  Глава 1. Методы анализа непрерывных систем........... 35
     § 1.1. Понятие пространства состояний.............. 35
     § 1.2. Линеаризация исходных уравнений............. 37
     § 1.3. Линейные системы, заданные обыкновенными дифференциальными уравнениями в нормальной форме
     Коши.............................................. 47
         1.3.1 Однородные дифференциальные уравнения ... 47
         1.3.2 Решение неоднородных векторно-матричных дифференциальных уравнений.................... 52
     § 1.4. Некоторые сведения из теории матриц........ 53
         1.4.1 Собственные числа, характеристический полином, присоединенная матрица............... 53
         1.4.2 Собственные значения и собственные векторы транспонированной матрицы............. 58
         1.4.3 Определение функции от матрицы через ее левые и правые собственные векторы......... 62
     § 1.5. Свойства движений линейных систем.......... 67
         1.5.1 Матричная весовая и переходная функции ... 67
         1.5.2 Модальная (спектральная) интерпретация решения векторно-матричных дифференциальных
               линейных стационарных уравнений......... 73

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

     §1.6.  Модели стационарных линейных систем
     в комплексной плоскости на основе преобразования Лапласа 75
          1.6.1 Матрица передаточных функций.............. 75
          1.6.2 Основные свойства передаточных функций ... 81
     §1.7.  Комплексный передаточный коэффициент.......... 85
          1.7.1 Способы определения понятия «комплексный передаточный коэффициент» . . 85
          1.7.2 Реакция динамических звеньев на гармонические воздействия ................... 87
          1.7.3 Частотные характеристики ................. 89
     §1.8. Графическое представление объектов и систем управления........................................... 91
          1.8.1 Соглашение об обозначениях ............... 91
          1.8.2 Структурные схемы и графы стационарных систем ........................................... 93
     § 1.9. Устойчивость систем............................107
          1.9.1 Асимптотические свойства собственного движения
                и весовой матрицы линейной системы........107
          1.9.2 Необходимое условие устойчивости..........111
          1.9.3 Критерий устойчивости Гурвица.............112
          1.9.4 Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста) ...........................116
     § ЫО.Качество процессов управления...................129
          1.10.1 Основные показатели качества.............129
          1.10.2 Ошибки системы регулирования в установившихся режимах. Статические и астатические системы ..........................................132
          1.10.3 Точность систем при отработке гармонических сигналов........................................138
          1.10.4 Связь между логарифмическими амплитудно- частотными характеристиками
                и качеством переходных процессов в САУ .... 140
          1.10.5 Соотношение масштабов во временной и частотной областях............................142

4

ОГЛАВЛЕНИЕ

     § 1.11. Интегральные критерии качества с позиций общности задач оптимального и модального синтеза....145
  Глава 2. Методы синтеза непрерывных систем.............151
     § 2.1. Выбор корректирующих звеньев. Метод желаемых ЛЧХ   151
     § 2.2. Управляемость линейных стационарных систем...155
     § 2.3. Наблюдаемость линейных стационарных систем...159
     § 2.4. Замена базиса в линейном конечномерном пространстве ...................................... 164
     § 2.5. Линейные операторы и матрицы линейных операторов..........................................168
     § 2.6. Замена базиса в пространстве состояний динамической системы................................173
     § 2.7. Вычисление матрицы преобразования базиса
     в пространстве состояний динамической системы с помощью матриц управляемости и наблюдаемости......176
     § 2.8. Канонические представления систем............179
          2.8.1 Управляемое каноническое представление системы со скалярным входом..........................179
          2.8.2 Передаточная функция и структурная схема для системы в У КП..............................185
          2.8.3 Идентификационное каноническое представление
               системы с одним (скалярным) выходом.......187
          2.8.4 Передаточная функция и структура для системы в ИКП...............................188
     § 2.9. Обратная связь по состоянию, обеспечивающая заданное (желаемое) расположение собственных чисел
     в замкнутой системе с одним (скалярным) входом......189
     § 2.10. Синтез управления в многомерной системе. Задача разделения каналов..................................193
          2.10.1 Разделение исходного объекта на подсистемы интеграторов .................................. 194
          2.10.2 Преобразование базиса в пространстве Rп . . . . 198
          2.10.3 Формирование управления ................204
          2.10.4 Итоговый алгоритм.......................207

5

ОГЛАВЛЕНИЕ

   § 2.11 .Основы построения идентификаторов состояния (наблюдателей)....................................210
       2.11. 1 Наблюдатель Люенбергера полного порядка . . 210
       2.11. 2 Наблюдатель пониженного порядка.......217
       2.11. 3 Наблюдатель Люенбергера минимального порядка ...........................................221
   § 2.12. Синтез реализуемого управления, обеспечивающий заданные динамические и статические свойства системы управления........................................224
       2.12.1 Динамические свойства системы с обратной связью и наблюдателем полного порядка............224
       2.12.2 Динамические свойства системы с обратной связью и наблюдателем минимального порядка..........................226
       2.12.3 Результирующий алгоритм синтеза для системы
             с одним входом и одним выходом..........227
       2.12.4 Итоговые примеры полного синтеза систем управления ............................229
       2.12.5 Система со скалярными входом и выходом и наблюдателем минимального порядка...........233
       2.12.6 Многомерная система с разделением каналов и наблюдателем минимального порядка...........238


II  Нелинейные системы управления                    249
Глава 3. Элементы теории нелинейных      систем......251
   § 3.1. Метод фазовой плоскости....................252
       3.1.1 Фазовая плоскость. Основые понятия......253
       3.1.2 Ф азовые портреты линейного звена второго порядка ........................................256
       3.1.3 Особые траектории на фазовой плоскости . . . 267
       3.1.4 Методы построения фазовых траекторий .... 275
       3.1.5 Методы определения основных показателей переходного процесса по фазовым траекториям системы.......................................281

6

ОГЛАВЛЕНИЕ

       3.1.6 Фазовые портреты релейных схем. Многолистная фазовая плоскость..........................284
       3.1.7 Понятие о системах с переменной структурой . 289
   § 3.2. Анализ нелинейных систем методом гармонического баланса............................................295
       3.2.1 Гармоническая линеаризация нелинейных звеньев. Эквивалентный комплексный передаточный коэффициент................................296
       3.2.2 Математические модели нелинейных звеньев . 305
       3.2.3 Построение областей устойчивости методом Д-разбиений......................................307
       3.2.4 Построение области устойчивости в плоскости одного комплексного параметра методом Д-разбиений308
       3.2.5 Определение устойчивости и параметров периодических режимов..........................313
       3.2.6 Режим вынужденных колебаний..............323


III Цифровые (импульсные) системы управления                                                 327
Глава 4. Основы теории импульсных систем автоматического управления............................329
   § 4.1. Исходные понятия............................329
   § 4.2. Идеальный импульсный элемент и формирующее звено 330
   § 4.3. Уравнения движения ИСАУ.....................338
       4.3.1 Аналитическое решение разностных уравнений .....................................343
       4.3.2 Прямой метод решения разностных уравнений в реальном времени.............................347
       4.3.3 Алгоритмические схемы. Векторно-матричные разностные уравнения...........................348
   § 4.4. Дискретное преобразование Лапласа...........350
       4.4.1 Основные определения.....................350
       4.4.2 Модифицированное z-преобразование........355
       4.4.3 Основные свойства дискретного преобразования Лапласа и z-преобразования.....................355

7

ОГЛАВЛЕНИЕ

       4.4.4  Передаточная функция импульсной системы (Дискретная передаточная функция) ...............357
   § 4.5. Особенности структурных преобразований в импульсных системах.................................361
       4.5.1  Основные определения.......................361
       4.5.2  Система с единичной отрицательной обратной связью .................................362
       4.5.3  Наличие последовательно соединенных непрерывных звеньев..............................363
       4.5.4  Последовательно соединенные дискретные звенья...........................................364
       4.5.5  Встречно-параллельное соединение динамических звеньев ............................365
   § 4.6. Частотные характеристики импульсных систем.....367
       4.6.1  Понятие об амплитудно-фазовых характеристиках
              импульсных систем (годографы z-преобразований) 367
       4.6.2  Основные особенности частотных функций импульсных систем................................372
       4.6.3  Расчет частотных характеристик импульсной системы на основании частотных характеристик приведенной непрерывной части................................374
       4.6.4  Особенности спектров сигналов в ИСАУ .... 376
   § 4.7. Анализ устойчивости импульсных систем..........381
       4.7.1  Характеристический полином дискретной замкнутой системы......................................381
       4.7.2  Исследование устойчивости импульсных систем по корням характеристического уравнения . . . 383
       4.7.3  Частотный критерий устойчивости............393
   § 4.8. Билинейное преобразование......................397
       4.8.1  Сопоставление плоскостей комплексных переменных р, z, р...............................397
       4.8.2  Псевдочастотные характеристики. Псевдочастот-ный синтез ИСАУ..................................401

8

ОГЛАВЛЕНИЕ

   § 4.9. Синтез линейной ИСАУ с максимальным быстродействием......................................407
       4.9.1 Система со всеми нулевыми полюсами как фильтр с конечной памятью....................408
       4.9.2 Синтез системы с максимальным быстродействием .................................410
   § 4.10 .Векторно-матричное описание непрерывных объектов с дискретным управлением....................416
       4.10. 1 Системы с цифроаналоговым преобразователем нулевого порядка................416
       4.10. 2 Импульсный элемент с укороченным импульсом 418
       4.10. 3 Система с цифроаналоговым преобразователем нулевого порядка с задержкой в выдаче управления (относительно момента измерения).................420
       4.10. 4 Импульсные системы с кратными частотами квантования......................................423
   § 4.11. Дополнительная информация....................433
       4.11.1 Дискретный аналог формулы Коши............433
       4.11.2 Обеспечение единичной статики при синтезе дискретной системы без введения дополнительного интегратора......................................435
   § 4.12. Применение теории импульсных систем к построению алгоритма ДПФ...........................437
       4.12.1 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) . . . 437
       4.12.2 Понятие о ДПФ на скользящем интервале времени ............................................441
       4.12.3 Рекуррентные соотношения для вычисления коэффициентов ДПФ в реальном масштабе времени ............................................443
       4.12.4 Реализация рекуррентного алгоритма........445
   § 4.13. Основные соотношения между спектральными характеристиками непрерывных и дискретных сигналов . . . 448
       4.13.1 Исходные выражения........................448
       4.13.2 Связи (соотношения).......................449
   Библиографический список.............................453

9

ОГЛАВЛЕНИЕ

10

ПРЕДИСЛОВИЕ





   В издании излагаются основы теории управления техническими объектами различной природы и назначения. Книга содержит три части: непрерывное управление линейными, или линеаризованными, объектами, нелинейные системы автоматического управления и цифровые системы управления линейными динамическими объектами.
   В первой части в основном рассматривается теория в рамках методов пространства состояния. Почти все изложение ведется с использованием векторно-матричного аппарата. Частотным методам здесь уделяется лишь малое внимание, так как им посвящено большое число учебников и учебных пособий. В основу положены модальные методы анализа и синтеза систем управления. Показана связь между оптимальным линейно-квадратичным синтезом и модальным синтезом, позволяющим осмысленно сформировать матрицу штрафов оптимальной системы и существенно упростить алгоритмы синтеза. Авторы книги на лекционных, практических и лабораторных занятиях апробируют универсальность и эффективность методов модального синтеза применительно к объектам различной физической природы с математическим описанием, использующим методы механики, гидравлики, аэродинамики, электродинамики. Для реализации модального управления требуются алгоритмы оценки координат вектора состояния объекта. В связи с этим в книге излагается теория наблюдателей Люенбергера полного, пониженного и минимального порядков. Для простоты изложения рассматриваются системы со скалярными входом и выходом и многомерные системы с полной или частичной развязкой каналов.
   Вторая часть посвящена простейшим методам расчета нелинейных систем. Методы фазовой плоскости излагаются, чтобы позна

11

Предисловие

комить читателя со специфическими особенностями нелинейных систем - зависимостью качества процессов от начальных условий, с автоколебательными процессами, со скользящими режимами. Излагаются также методы гармонической линеаризации и гармонического баланса. Доказывается, что метод гармонического баланса применим и для неустойчивых объектов. Вводится понятие вынужденного режима. Приводятся показательные примеры.
   Третья часть этой книги на данный момент наиболее актуальна. Она полностью базируется на математической основе первой части книги. Третья часть посвящена цифровым системам автоматического управления (САУ). Показывается место цифровых САУ в теории и практике современных систем управления. На протяжении всего изложения здесь параллельно обсуждается как специфика цифровых систем, так и общность используемого математического инструмента с методологией систем непрерывных. Теория цифровых САУ начинается с обсуждения импульсного элемента, нарушающего непрерывность передачи информации в цепи системы управления. Возможно существование многих вариантов импульсных элементов различной аппаратной реализации. В основе построения общей теории импульсных, цифровых систем лежит подход, при котором импульсный элемент представляется в виде последовательно соединенных идеального импульсного элемента (ИИЭ) и линейного динамического формирующего звена.
   В третьей части книги вводятся понятия конечных разностей и разностных уравнений (РУ), излагаются аналитические методы их решения. Определяются дискретное преобразование Лапласа (ДПФ), Z-преобразование, передаточная функция и комплексный передаточный коэффициент цифровой (импульсной) системы, а также доказываются их свойства. Обсуждаются методы эквивалентного преобразования структурных схем, отмечаются аналогии с соответствующими преобразованиями в непрерывных системах и указывается принципиальное отличие непрерывных и импульсных систем. Показывается, как с помощью алгоритмических схем в реальном времени можно решить РУ. С позиций базиса объясняется многовариантность алгоритмических схем в задаче решения РУ.
   Как теоретически, так и на конкретных простых примерах читатель знакомится с совершенно неожиданными с позиций непрерывных систем и чрезвычайно интересными специфическими осо

12

Предисловие

бенностями частотных характеристик цифровых динамических систем. Попутно с изложением теории импульсных систем в книге выводятся результаты теоремы Котельникова о соотношении между верхней существенной частотой входного сигнала и частотой квантования сигналов по времени. Формулируется частотный критерий устойчивости, аналогичный критерию Найквиста, и приводится лаконичное доказательство.
   Дальнейшему развитию методологии работы с цифровыми системами в направлении преемственности методов непрерывных систем способствовало билинейное преобразование. Это позволило перейти от комплексной переменной z к новой комплексной переменной. Исчезла периодичность дискретных дробно-рациональных передаточных функций, восстановивших все наработанные в теории непрерывных систем методы построения и использования псевдочастотных логарифмических характеристик. Еще одна особенность «цифры» -это возможность синтеза систем с конечной памятью, то есть линейных цифровых систем с максимальным быстродействием. На этом заканчивается излагаемая в книге классическая часть теории цифровых систем автоматического управления.
   Использование векторно-матричного аппарата, методов пространства состояний открывает новые горизонты в синтезе совершенных цифровых САУ. В практических задачах (летательные аппараты, системы подчиненного регулирования в электроприводе) часто встречаются системы с несколькими различными частотами квантования сигналов по времени. Этим вопросам и посвящена заключительная часть настоящей книги.
   Учебник предназначен для студентов технических вузов и инженерно-технических специалистов в области управления технологическими процессами. Такого рода книга немыслима без изложения необходимого математического инструмента. Естественно, авторы понимают необходимость такого подхода. Особенно это важно в задачах обучения. Нужно не изложение перечня алгоритмов в области анализа и синтеза систем, а воспитание в будущих разработчиках научного мышления, совершенно необходимого в связи с ускоряющимися процессами развития научно-технических решений все новых и новых задач, которые ставит перед нами жизнь. Авторы выстроили повествование в книге таким образом, чтобы по мере изложения материала в полную силу начинали работать изученные с

13

Предисловие

помощью математического инструмента, вполне конкретные, практические методы синтеза реализуемых алгоритмов управления. И все это подтверждается примерами.

14

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ





   На рубеже XVIII XIX вв., в эпоху промышленного переворота, в Европе начинается новый этап развития автоматики, связанный с внедрением ее в промышленность. 1765 г. знаменуется постройкой регулятора уровня котла паровой машины И. И. Ползунова. В 1784 г. появляется центробежный регулятор скорости паровой машины Дж. Уатта.
   В это время формируется ряд важных принципов автоматики: принцип регулирования по отклонению Ползунова - Уатта и принцип регулирования по нагрузке Понселе. Первый из них развился в концепцию обратной связи, второй - в теорию инвариантности (Г. В. Щипанов, Н. Н. Лузин, Б. Н. Петров). Идея регулирования по нагрузке может быть проиллюстрирована на примере генератора с последовательным (сериесным) возбуждением (рис. 1).



Ub 1

15

Введение в теорию автоматического управления

   При изменении нагрузки меняется ток возбуждения в обмотке возбуждения, который соответствующим изменением магнитного потока компенсирует дополнительное падение напряжения на внутреннем сопротивлении якоря генератора. Однако если при этом по каким-либо причинам изменяется скорость вращения якоря генератора, то стабилизировать напряжение на нагрузке в этой схеме уже не удается.
   От этого недостатка свободна схема, приведенная на рис. 2, именно вследствие использования принципа обратной связи. В данной схеме входной потенциометр служит для задания (коэффициент а1) величины стабилизируемого напряжения; потенциометр, подключенный к якорю генератора, позволяет регулировать коэффициент обратной связи а2. В этом случае, в отличие от систем регулирования по возмущению, неважно, какая именно причина вызвала изменение регулируемой величины.

R <

U

Рис. 2. Стабилизация напряжения генератора с использованием обратной связи


   При изменении напряжения на щетках генератора в соответствии с электрической схемой изменяется напряжение на обмотке возбуждения. При отрицательном знаке обратной связи знак приращения напряжения возбуждения противоположен знаку изменения напряжения якоря генератора. В итоге результирующая величина отклонения напряжения генератора уменьшается по сравнению с соответствующим уходом напряжения в системе без обратной связи.
   На этом же принципе построена приведенная на рис. 3 система стабилизации скорости паровой машины Уатта. На рис. 4 представлена ее функциональная схема. В данной системе с увеличением нагрузочного момента Мц падают обороты турбины ш, что приводит к уменьшению расстояния 2r между грузиками центробежного






16

регулятора. Вследствие этого заслонка поднимается (увеличивается расстояние S) и растет расход пара Q. подаваемого в турбину. Это приводит к росту числа оборотов турбины ш, а следовательно, к компенсации нагрузочного момента Мц-







Нагрузка

Раскрытие заслонки

Рис. 3. Система стабилизации скорости паровой машины

17