Практические задания по высшей математике. Часть I. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Комплексные числа

Москва  2021

М ИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 
Кафедра математики

П.В. Макаров
И.В. Сурская

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ  
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ЧАСТЬ I  
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.  
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ  
ГЕОМЕТРИЯ. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Сборник заданий

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4312

УДК 51 
 
М15

Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат. наук, д-р техн. наук, проф. К.В. Халкечев

Макаров, Петр Витальевич.
М15  
Практические задания по высшей математике. 
Часть I. Элементы линейной алгебры. Векторная алгебра 
и аналитическая геометрия. Комплексные числа : 
сб. заданий / П.В. Макаров, И.В. Сурская. – Москва : 
Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2021. – 80 с.
ISBN 978-5-907227-85-9

Сборник содержит практические задания по трем разделам выс-
шей математики: элементы линейной алгебры, векторная алгебра 
и аналитическая геометрия, комплексные числа. Каждое задание 
представлено в 30 вариантах, приведены примеры решений. Это 
позволит преподавателям пользоваться данным пособием при вы-
полнении студентами контрольных и индивидуальных домашних 
работ, а студентам – на основе разобранного варианта качественно 
подготовиться к работе. 
Для студентов инженерных специальностей, обучающихся в 
НИТУ «МИСиС».

УДК 51

 Макаров П.В.,  
Сурская И.В., 2021
ISBN 978-5-907227-85-9
 НИТУ «МИСиС», 2021

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ..................................................................4
Раздел 1. Элементы линейной алгебры ...............................5
Раздел 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия ....37
Раздел 3. Комплексные числа .........................................74

ПРЕДИСЛОВИЕ

В сборнике приведены практические задания по следую-
щим разделам высшей математики: элементы линейной ал-
гебры, векторная алгебра и аналитическая геометрия, ком-
плексные числа. Эти разделы изучаются студентами НИТУ 
«МИСиС» в первом семестре на 1-м курсе обучения.
Разделы начинаются с перечня тем, знание которых необ-
ходимо при выполнении заданий. Каждое задание представ-
лено в сборнике в 30 вариантах. Это позволит преподавателям 
выдавать индивидуальные задания каждому студенту, а зна-
чит, можно использовать данные материалы не только для 
контрольных работ, но и для индивидуальных домашних за-
даний. Также к каждому заданию приведено решение одного 
варианта, что поможет студентам лучше разобраться в данной 
теме и подготовиться к контрольной работе. 
Сборник предназначен для студентов инженерных специ-
альностей, обучающихся в НИТУ «МИСиС». Он также может 
использоваться студентами других специальностей и вузов 
при подготовке к зачетам или экзаменам и преподавателями 
для проведения различных проверочных работ.
Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания 
и критические замечания, которые можно присылать по элек-
тронной почте: ivsurs@mail.ru Сурской И.В.

РАЗДЕЛ 1.  
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Матрицы. Действия над матрицами.
Определители. Свойства определителей. 
Обратная матрица. Ранг матрицы.
Системы линейных уравнений. Методы решения систем ли-
нейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, с помощью 
обратной матрицы.

1.1. Примеры выполнения заданий

Пример 1.1. Найти 3
5
A
B
−
, если 

2
4
3
2
5
1

A
−




=
−




−



; 

0
1
4
3
1
2
B

−




= −
−




−



.

Решение. Для того чтобы умножить матрицу на число, 
необходимо каждый элемент матрицы умножить на дан-

ное число. Найдем матрицы 

2 3
4 3
6
12
3
3 3
2 3
9
6
5 3
1 3
15
3
A
⋅
− ⋅
−








=
⋅
− ⋅
=
−








− ⋅
⋅
−





 и 

0 ( 5)
1 ( 5)
0
5
5
4 ( 5)
3 ( 5)
20
15
1 ( 5)
2 ( 5)
5
10
B
⋅ −
− ⋅ −








−
= − ⋅ −
− ⋅ −
=








⋅ −
− ⋅ −
−





. 

Складывать можно матрицы только одинаковой размерно-
сти. При сложении таких матриц складываются их соответ-
ствующие элементы:

6
12
0
5
6
0
12
5
6
7
3
5
9
6
20
15
9
20
6 15
29
9
.
15
3
5
10
15
( 5)
3 10
20
13
A
B
−
+
−
+
−
















−
=
−
+
=
+
− +
=
















−
−
−
+ −
+
−









Ответ: 

6
7
3
5
29
9
.
20
13
A
B
−




−
= 



−



Пример 1.2. Найти произведение матриц 

2
1
3
2
0
1
5
3
2
1
4
2

A

−
−




=
−




−
−



 и 

1
3
3
2
0
2 .
4
1
3
1
2
3

B

−
−




−


= 

−



−



Решение. Умножение матриц определяется только в том 
случае, когда количество столбцов матрицы А равно количе-
ству строк матрицы В и обозначается А В
С
⋅
=
. Произведе-
ние матриц не подчиняется перестановочному свойству, т.е. 
А В
В А
⋅
≠
⋅
. В данном примере количество столбцов матрицы 
А и количество строк матрицы В равно 4, значит, произведе-
ние матриц существует:

11
12
13

21
22
23

31
32
33

1
3
3
2
1
3
2
2
0
2
0
1
5
3
;
4
1
3
2
1
4
2
1
2
3

с
с
с
С
А В
с
с
с
с
с
с

−
−


−
−






−






=
⋅
=
−
⋅
=






−




−
−






−



11
12
13

21
22
23

31
32
33

1
3
3
2
1
3
2
2
0
2
0
1
5
3
;
4
1
3
2
1
4
2
1
2
3

с
с
с
С
А В
с
с
с
с
с
с



−
−


−
−






−






=
⋅
=
−
⋅
= 



−






−
−








−



11
2 ( 1) 1 2
3 ( 4)
( 2) 1 12
2
10;
с
= − ⋅ −
+ ⋅ + ⋅ −
+ −
⋅ =
−
= −

12
2 3 1 0
3 1
( 2)
2
2
3
1;
с
= − ⋅ + ⋅
+ ⋅ + −
⋅− = − +
= −

13
2 ( 3) 1 ( 2)
3 3
( 2) 3
2
9
7;
с
= − ⋅ −
+ ⋅ −
+ ⋅ + −
⋅
= − +
=

21
0 ( 1) 1 2
5 ( 4)
( 3) 1
21;
с
=
⋅ −
+ ⋅ + ⋅ −
+ −
⋅ = −

22
0 3 1 0
5 1
( 3) ( 2)
5
6
11;
с
=
⋅ + ⋅
+ ⋅ + −
⋅ −
=
+
=

23
0 ( 3) 1 ( 2)
5 3
( 3) 3
15 11
4;
с
=
⋅ −
+ ⋅ −
+ ⋅ + −
⋅
=
−
=

31
2 ( 1)
( 1) 2
( 4) ( 4)
2 1 16
2
14;
с
=
⋅ −
+ −
⋅ + −
⋅ −
+ ⋅ =
−
=

32
2 3
( 1) 0
( 4) 1 2 ( 2)
2
4
2;
с
=
⋅ + −
⋅
+ −
⋅ + ⋅ −
=
−
= −

33
2 ( 3)
( 1) ( 2)
( 4) 3
2 3
2 12
10;
с
=
⋅ −
+ −
⋅ −
+ −
⋅ + ⋅
=
−
= −

1
3
3
2
1
3
2
10
1
7
2
0
2
0
1
5
3
21
11
4
.
4
1
3
2
1
4
2
14
2
10
1
2
3

С
A B

−
−


−
−
−
−






−






=
⋅
=
−
⋅
= −






−




−
−
−
−






−



Ответ: 

10
1
7
21
11
4
.
14
2
10
A B

−
−




⋅
= −




−
−



Пример 1.3. Найти многочлен 
2
( )
3
2
4
P x
x
x
=
−
+  от матрицы 

3
1
2

6
4
1 .

1
2
0
A

−




=
−




−



Решение. Подставим в многочлен 
2
( )
3
2
4
P x
x
x
=
−
+
 матри-
цу А:

2
3
1
2
3
1
2
1
0
0

(
)
3
6
4
1
2
6
4
1
4
0
1
0 .

1
2
0
1
2
0
0
0
1
P A
−
−












=
⋅
−
− ⋅
−
+
⋅












−
−







Для того чтобы возвести матрицу в квадрат, умножим ее 
саму на себя:

2

2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
6
4
1
6
4
1
6
4
1
1
2
0
1
2
0
1
2
0
А

−
−
−



 




 

=
−
=
−
⋅
−
=



 




 

−
−
−



 

 

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)

3
3
1 6
2
1
3 1 1 4
2 2
3 2 1 ( 1)
2 0
6
3
4 6
( 1)
1
6 1
4 4
( 1) 2
6 2
4 ( 1)
( 1) 0
( 1)
3
2 6
0
1
( 1) 1 2 4
0 2
( 1) 2
2 ( 1)
0 0



− ⋅ −
+ ⋅
+ ⋅ −
− ⋅ + ⋅
+ ⋅
− ⋅ + ⋅ −
+ ⋅



=
⋅ −
+
⋅
+ −
⋅ −
⋅ +
⋅
+ −
⋅
⋅ +
⋅ −
+ −
⋅
=




−
⋅ −
+ ⋅
+
⋅ −
−
⋅ + ⋅
+
⋅
−
⋅ + ⋅ −
+
⋅

  

13
5
7
7
20
8
.
15
7
4

−




= 



−



Далее умножим на коэффициенты и сложим полученные 
матрицы: 

13
5
7
3
1
2
1
0
0
(
)
3
7
20
8
2
6
4
1
4
0
1
0
15
7
4
1
2
0
0
0
1
P A

−
−












=
⋅
− ⋅
−
+
⋅
=












−
−






 

39
15
21
6
2
4
4
0
0
21
60
24
12
8
2
0
4
0
45
21
12
2
4
0
0
0
4

−
−












=
−
−
+
=












−
−






 

39
6
4
15
2
0
21 4
0
49
13
25
21 12
0
60
8
0
24
2
0
9
52
26
.
45
2
0
21 4
0
12
0
0
47
17
12

+
+
−
+
−
−
+
−








=
−
+
−
+
+
+
=








+
+
−
+
−
−
+
−





Ответ: 
(
)

49
13
25
9
52
26
.
47
17
12
P A
−




= 



−



Пример 1.4. Вычислить определитель четвертого порядка: 

1
1
0
2
0
1
1
1 .
2
1
1
2
1
2
3
4

−
−
∆ =
−
−

Решение. Выполним следующие действия: из элементов 
третьей строки вычтем соответствующие элементы первой 
строки, умноженные на 2, а из четвертой строки вычтем пер-
вую строку. Первая строка останется неизменной. Далее раз-
ложим определитель по первому столбцу:

1
1
0
2
1
1
1
0
1
1
1
1 3
1
6
0
3
1
6
3
3
6
0
3
3
6

−
−
−
∆ =
= ⋅
−
=
−
−
−

Элементы третьей строки кратны 3, а третьего столбца (–1), 
поэтому, согласно свойству определителей, вынесем (–3) за 
знак определителя:

1
1
1
1
1
1
3 3
1
6
3 3
1
6
1
1
2
1
1
2

−

=
⋅
−
= − ⋅
=

−

Далее, вычитая из второй строки утроенную первую, а из 
третьей первую, определитель третьего порядка можно свести 
к определителю второго порядка:

(
)
(
)

1
1
1
1
1
3 0
2
3
3 1
3 1
2
0 1
6.
0
2
0
0
1
= − ⋅
−
= − ⋅ ⋅
= − ⋅
⋅ −
−
⋅
=
−

Ответ: 
6.
∆ =

Пример 
1.5. 
Найти 
обратную 
матрицу 
А–1, 
если 

1
1
1
2
0
3
1
4
0
А
−




=
−




−



, и выполнить проверку.

Решение. Если определитель квадратной матрицы не ра-
вен нулю, тогда обратную матрицу можно найти по формуле 

11
21
31
1
12
22
32

13
23
33

1
.
А
А
А
А
А
А
А
А
А
А

−





=
⋅

∆ 




Вычислим определитель матрицы: 

1
1
1
2
0
3
3
8 12
17
0.
1
4
0

−

∆ =
−
= − +
+
=
≠
−

Значит, обратная матрица к данной матрице существует. 
Далее найдем алгебраические дополнения:

1 1
11
0
3
( 1)
12;
4
0
А
+
−
= −
⋅
=

 

2 3
23
1
1
( 1)
3;
1
4
А
+
−
= −
⋅
= −
−

1 2
12
2
3
( 1)
3;
1
0
А
+
−
= −
⋅
=
−
 

3 1
31
1
1
( 1)
3;
0
3
А
+
−
= −
⋅
=
−

1 3
13
2
0
( 1)
8;
1
4
А
+
= −
⋅
=
−
 

3 2
32
1
1
( 1)
5;
2
3
А
+
= −
⋅
=
−

2 1
21
1
1
( 1)
4;
4
0
А
+
−
= −
⋅
=

 

3 3
33
1
1
( 1)
2.
2
0
А
+
−
= −
⋅
=

2 2
22
1
1
( 1)
1;
1
0
А
+
= −
⋅
=
−

Согласно формуле получаем обратную матрицу:

1

3
12
4
17
17
17
12
4
3
1
3
5
1
3
1
5
.
17
17
17
17
8
3
2
8
3
2
17
17
17

А−











=
⋅
=








−


−





Выполним проверку, для этого необходимо матрицу А ум-
ножить на полученную обратную матрицу А–1:

1

3
12
4
17
17
17
1
1
1
1
0
0
3
5
1
2
0
3
0
1
0
;
17
17
17
1
4
0
0
0
1
8
3
2
17
17
17

А А
Е
−



−












⋅
=
−
⋅
=












−




−





11
12
3
8
1;
17
17
17
e
=
−
+
=

 

21
24
24
0;
17
17
e
=
−
=

 

31
12
12
0;
17
17
e
= −
+
=

12
4
1
3
0;
17
17
17
e
=
−
−
=

 

22
8
9
1;
17
17
e
=
+
=

 

32
4
4
0;
17
17
e
= −
+
=

13
3
5
2
0;
17
17
17
e
=
−
+
=

 

23
6
6
0;
17
17
e
=
−
=

 

33
3
20
1.
17
17
e
= −
+
=

Выполнив проверку, мы получили единичную матрицу E, 
значит, обратная матрица была найдена верно.

Ответ: 
1

3
12
4
17
17
17

3
5
1
.
17
17
17
8
3
2
17
17
17

А−







= 



−





Пример 1.6. Найти матрицу Х из заданного уравнения и 

выполнить проверку: 

1
0
1
2
1
1
3
0
2
0 .

1
1
2
1
1
Х

−








⋅
= −








−
−





Решение. Рассмотрим матричное уравнение: 
А Х
В
⋅
=
. 
Чтобы найти матрицу Х, необходимо умножить обе части 
уравнения А Х
В
⋅
=
 слева на обратную матрицу А–1, тогда получим 

1
1
А
А X
А
В
−
−
⋅
⋅
=
⋅
. Так как 
1
А
А
Е
− ⋅
=
 и Е X
Х
⋅
=
, то 

1
X
A
B
−
=
⋅
. Значит, для решения данного матричного уравнения 
необходимо найти обратную матрицу к матрице А и умножить 
ее на матрицу B:

1
0
1
1
3
0 ,

1
1
2
А

−




= 



−

  

2
1
2
0 .

1
1
В





= −




−



Для нахождения обратной матрицы к матрице А найдем 
определитель матрицы и ее алгебраические дополнения:

1
0
1

1
3
0
6
0
4
2;

1
1
2

−

∆ =
=
−
−
=
−

A11 = 6; 
A12 = –2; 
A13 = 4;

A21 = –1; 
A22 = 1; 
A23 = –1;

A31 = 3; 
A32 = –1; 
A33 = 3.