Сферическая астрономия

Сферическая
АСТРОНОМИЯ

Сферическая 
АСТРОНОМИЯ

Государственный астрономический институт
им. П. К. Штернберга

В. Е. Жаров

Рекомендовано Учебно-методическим объединением 
по классическому университетскому образованию 
в качестве учебника для студентов вузов, 
обучающихся по специальности 010702 – астрономия

Электронное издание

Москва, 2022

УДК 52
ББК 22.6
Ж35

Ж35
Жаров, Владимир Евгеньевич.

Сферическая астрономия : учебник / В. Е. Жаров ; Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга. —  Эл. изд. —  1 файл pdf : 481 с. — 
Москва : ДМК Пресс, 2022. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe 
Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.

ISBN 978-5-89818-209-0

В учебнике последовательно изложены основы фундаментальной астрономии. Формулируется рекомендуемый Международным астрономическим 
союзом (МАС) математический аппарат интерпретации и анализа астрометрических наблюдений.

Учебник может быть использован как справочник рекомендованных МАС и 
Международной службой вращения Земли и систем отсчета (МСВЗ) формул редукции оптических и радионаблюдений.

УДК 52 
ББК 22.6

Электронное издание на основе печатного издания: Сферическая астрономия  :  учебник / 
В. Е. Жаров ; Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга. — Москва : ДМК 
Пресс, 2022. — 480 с. — ISBN 978-5-89818-109-3. — Текст : непосредственный.

На обложке:  астрономический глобус с изображениями 67 созвездий. 
Сконструирован К. Пфлигером (1665–1730) в 1725 г. 
и установлен в Клементинуме (Прага) в 1727 г.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-89818-209-0
© Век 2, 2006
© Переиздание. ДМК Пресс, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие
9

Введение
13

0.1. Основные задачи, решаемые сферической астрономией
13

0.2. Краткий исторический обзор . . . . . . . . . . . . . . . .
21

Глава 1. Основы сферической геометрии
39

1.1. Основные понятия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

1.2. Скаляры, векторы, тензоры и системы координат . . . .
44

1.3. Сферическая система координат . . . . . . . . . . . . . .
56

1.4. Основные формулы сферической геометрии . . . . . . .
63

Глава 2. Астрономические системы координат
70

2.1. Горизонтальная система координат . . . . . . . . . . . .
72

2.2. Экваториальная система координат . . . . . . . . . . . .
74

2.3. Эклиптическая система координат . . . . . . . . . . . . .
79

2.4. Галактическая система координат . . . . . . . . . . . . .
80

2.5. Преобразование координат из одной системы в другую
83

2.6. Суточное вращение небесной сферы . . . . . . . . . . . .
94

2.7. Восход и заход небесных тел
. . . . . . . . . . . . . . . .
96

2.8. Определение систем координат
в современной астрометрии . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

2.9. Эпоха каталога, эпоха равноденствия,
динамическое равноденствие . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5

2.10. Основы небесной механики . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.10.1. Законы Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.10.2. Параметры и аномалии кеплеровской орбиты . . 116

2.11. Барицентрическая система координат . . . . . . . . . . . 123

Глава 3. Системы координат на Земле
126

3.1. Основные параметры Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.2. Уравнение геоида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.3. Геоцентрическая и геодезическая системы координат . 142

3.4. Земная система координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.5. Приливы и определение земной системы координат . . 159

Глава 4. Шкалы времени
163

4.1. Солнечное время
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.1.1.
Системы всемирного времени
и неравномерность вращения Земли
. . . . . . . 170

4.1.2.
Всемирное координированное время UTC . . . . 178

4.1.3.
Местное, поясное и декретное время . . . . . . . 184

4.2. Звездное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.3. Эфемеридное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.4. Атомное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.5. Динамические шкалы времени . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.5.1.
Координатное и собственное время . . . . . . . . 200

4.5.2.
Связь между динамическими шкалами времени 209

4.5.3.
Барицентрическая и геоцентрическая небесные
системы отсчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.6. Пульсарная шкала времени . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

4.7. Системы счета дней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

4.7.1.
Юлианские даты и юлианская эпоха . . . . . . . 234

4.7.2.
Тропический и звездный год . . . . . . . . . . . . 236

4.8. Летосчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

4.9. Связь всемирного и звездного времени . . . . . . . . . . 245

Глава 5. Эффекты, искажающие положение звезд
на небесной сфере
251

6

5.1. Рефракция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

5.1.1.
Учет рефракции в оптическом диапазоне
. . . . 252

5.1.2.
Формула Лапласа для вычисления рефракции . 258

5.1.3.
Восход и заход светил с учетом рефракции
. . . 262

5.1.4.
Влияние рефракции на прямое восхождение и
склонение звезды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.1.5.
Рефракция при наблюдениях в радиодиапазоне 265

5.1.6.
Рефракция и задержка радиосигнала
в тропосфере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

5.1.7.
Задержка оптического сигнала в тропосфере . . 296

5.2. Аберрация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

5.2.1.
Изменение координат звезды из-за рефракции
или аберрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

5.2.2.
Суточная аберрация . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

5.2.3.
Формулы учета годичной аберрации низкой
точности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

5.2.4.
Точные формулы учета годичной аберрации
. . 308

5.2.5.
Планетная аберрация
. . . . . . . . . . . . . . . . 315

5.3. Параллакс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

5.3.1.
Оценка расстояния до звезд Ньютоном . . . . . . 319

5.3.2.
Изменение координат звезды
из-за параллактического смещения . . . . . . . . 320

5.3.3.
Суточный параллакс . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

5.3.4.
Суточный параллакс Солнца . . . . . . . . . . . . 323

5.3.5.
Влияние суточного параллакса
на экваториальные координаты
. . . . . . . . . . 325

5.4. Собственное движение звезд
. . . . . . . . . . . . . . . . 326

5.5. Измерение параллаксов и собственных движений звезд 333

5.6. Отклонение луча света в гравитационном поле . . . . . 334

5.7. Изменение координат опорного источника
в поле Солнца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

Глава 6. Прецессия и нутация
349

6.1. Причины прецессии и нутации . . . . . . . . . . . . . . . 351

7

6.2. Определение матрицы прецессии
. . . . . . . . . . . . . 359

6.3. Прецессионные параметры в теории IAU2000 . . . . . . 365

6.4. Математическое описание прецессии . . . . . . . . . . . 366

6.5. Точные формулы учета нутации . . . . . . . . . . . . . . 375

6.6. Преобразование из земной
к небесной системе координат . . . . . . . . . . . . . . . . 379

6.6.1.
Определение небесного эфемеридного полюса . 380

6.6.2.
Гринвичское истинное звездное время . . . . . . 385

6.6.3.
Классическое преобразование из ЗСК в НСК . . 388

6.6.4.
Концепция «невращающегося начала отсчета» . 390

6.7. Процедура редукции оптических наблюдений . . . . . . 402

Глава 7. Редукция наблюдений на РСДБ
407

7.1. Основные этапы редукции наблюдений на РСДБ . . . . 411

7.2. Вычисление гравитационной задержки . . . . . . . . . . 412

7.3. Вычисление геометрической задержки . . . . . . . . . . 415

7.4. Вычисление частных производных по нутации . . . . . 421

Глава 8. Астрономические постоянные
424

Приложение A. Юлианские и календарные даты
435

Приложение B. Резолюции
XXVI Генеральной Ассамблеи МАС
439

Приложение C. Основные математические определения
443

C.1. Матричная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

C.2. Линейная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

C.3. Декартовы прямоугольные и сферические
координаты вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

C.4. Элементы дифференциального и интегрального
исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

C.5. Криволинейные координаты
. . . . . . . . . . . . . . . . 449

C.6. Сферические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

Приложение D. Основные термины
454

Литература
469

Предметный указатель
473

8

ПРЕДИСЛОВИЕ

Астрометрия — это область астрономии, занимающаяся установлением системы координат на небесной сфере. Ее раздел — сферическая астрономия, одной из задач которой является строгое математическое определение этой системы. В последние два десятилетия
XX века в развитии астрометрии наступил новый этап. В связи с появлением и использованием в астрометрии новых инструментов, таких как радиоинтерферометры со сверхдлинными базами (РСДБ),
дальномеры для лазерной локации Луны и спутников, космический
телескоп ГИППАРКОС, а также развитием космических навигационных систем GPS и ГЛОНАСС, точность получаемых астрометрических данных повысилась на три порядка. Для корректной обработки результатов наблюдений (редукции) были разработаны новые алгоритмы, ориентированные на использование компьютеров.
В связи с ростом точности при обработке наблюдений учитываются
эффекты общей теории относительности (ОТО), используются точные формулы прецессии, нутации, аберрации и других эффектов.

В отличие от традиционного подхода, в котором использовался
аппарат сферической тригонометрии, все новые алгоритмы редукции астрометрических наблюдений построены на основе векторного
и тензорного исчисления с применением матричной алгебры, чтобы
в максимальной степени оптимизировать время вычислений и сэкономить машинную память. Автор старался использовать стандартные (принятые или рекомендованные Международным астрономическим союзом) определения величин.

Увеличение точности наблюдений, широкое использование радиоинтерферометров и космических навигационных систем для ре
Предисловие
9

шения задач астрометрии и геодинамики, повсеместное применение
компьютеров для обработки данных требуют изменения содержания курса «Сферическая астрономия». Несмотря на то, что решение
задач сферической астрономии выполняется на основе методов матричной и векторной алгебры, автор предпочел сохранить традиционное название «Сферическая астрономия».

Трудность создания нового курса заключается в сложности современных алгоритмов редукции наблюдений и необходимости доступного для студентов изложения. «Сферическая астрономия» читается в МГУ им. М. В. Ломоносова для студентов первого курса,
когда общая подготовка по математике и физике еще не завершена.
Поэтому некоторые вопросы приходится излагать без строгих доказательств. Это касается, главным образом, решений задач в рамках специальной и общей теории относительности. Строгие решения можно найти в учебнике М. В. Сажина «Общая теория относительности для астрономов».

В учебнике последовательно изложены основы фундаментальной астрономии, целью которой является определение инерциальной системы координат в пространстве — основы для изучения Вселенной. Для этого формулируется рекомендуемый Международным
Астрономическим Союзом (МАС) математический аппарат интерпретации и анализа астрометрических наблюдений. Поэтому учебник, по мнению автора, может быть использован как справочник рекомендованных МАС и Международной службой вращения Земли
и систем отсчета (МСВЗ) формул редукции оптических и радионаблюдений (см. IERS Conventions (2003), которые в тексте называются как «Стандарты МСВЗ»).

В соответствии с основными задачами сферической астрономии
содержание учебника следующее.

Первая часть посвящена определению систем координат на небесной сфере и преобразованию координат вектора из одной системы в
другую с использованием как формул сферической тригонометрии,
так и матриц вращения.

Во второй части рассматриваются различные шкалы времени,
используемые в современной астрономии. Координаты небесных
объектов меняются со временем из-за различных причин. Поэтому
для изучения их движения необходимо задать единицы измерения
времени и, кроме того, определить промежуток времени между на
10
Предисловие

блюдениями. Принципы исчисления времени также рассматриваются во второй части. Определяются понятия: юлианская дата, юлианский год, эпоха каталога, эпоха равноденствия, стандартная эпоха, даются основы построения календаря. Здесь же рассматриваются причины неравномерности шкалы всемирного времени, связанные с неравномерностью вращения Земли.

Третья часть учебника посвящена определению топоцентрической, геоцентрической, гелиоцентрической и барицентрической систем координат. Особое внимание уделяется определению земной
системы координат на основе современных наблюдений на радиоинтерферометрах со сверхдлинными базами и с помощью космических навигационных систем. Определяются геодезические, геоцентрические и астрономические координаты и устанавливается связь
между ними.

В четвертой части рассматриваются явления рефракции, аберрации, причины параллактического смещения небесных объектов.
В связи с широким использованием в настоящее время наблюдений в радиодиапазоне подробно рассматривается вопрос о радиорефракции. В отличие от прежних курсов по сферической астрономии, в данной части приводятся формулы точного учета аберрации и параллактического смещения. После исправления координат
объекта из-за влияния рефракции, аберрации и параллакса получают его координаты, относящиеся к истинному экватору и равноденствию даты. Это означает, что положение небесного экватора и точки весеннего равноденствия вычисляются на момент наблюдения.
Исправление наблюдаемых координат объекта (введение поправок
за рефракцию, аберрацию и параллакс) т. е. приведение их к барицентрической системе отсчета является одним из этапов редукции.
Учет нутации Земли позволяет определить координаты, отнесенные
к среднему экватору и равноденствию даты.

Учет собственного движения небесного объекта и прецессии земной оси в пространстве позволяет преобразовать координаты объекта к системе, связанной со средним экватором и равноденствием
стандартной эпохи. Положение небесных тел в этой системе координат является средним стандартным местом.

Основы теории прецессии и нутации даются в пятой части учебника. Здесь также рассматривается преобразование координат из-за
этих явлений от одного равноденствия к другому.

Предисловие
11

В связи с широким использованием РСДБ в астрометрии в шестой части учебника кратко излагаются основы радионаблюдений
и принципы обработки наблюдений. Также рассматриваются основы метода РСДБ, дается характеристика небесной и земной систем
координат, которые задаются координатами радиоисточников и радиотелескопов, соответственно. Рассматриваются также особенности редукции наблюдений на радиоинтерферометрах со сверхдлинными базами. Обсуждаются проблемы, связанные со стабильностью
реализованной и будущей небесных систем координат.

В приложениях приводятся определения основных астрометрических и математических терминов.

Автор выражает глубокую признательность К. В. Куимову, который прочитал рукопись и дал ценные советы и рекомендации, а также благодарит М. В. Сажина и О. А. Титова, обсуждения с которыми
помогли значительно улучшить изложение материала, В. Н. Семенцова за помощь при редактировании текста.

Автор надеется, что предлагаемый учебник окажется полезным
не только студентам-астрономам, но и студентам и аспирантам смежных с астрономией наук, и будет рад, если он поможет правильному пониманию основ сферической астрономии и астрометрии
коллегами-астрофизиками.

Автор благодарен РФФИ за поддержку (гранты 01-02-16529, 0205-39004, 05-02-17091). Полученные результаты частично были использованы при подготовке учебника.

ГАИШ МГУ
В. Е. Жаров
2002–2005

ВВЕДЕНИЕ

Звуча в гармонии вселенной
И в хоре сфер гремя, как гром,
Златое солнце неизменно
Течет предписанным путем.
Непостижимость мирозданья
Дает нам веру и оплот,
И, словно в первый день созданья,
Торжественен вселенной ход!

И. В. Гете «Фауст»

0.1. Основные задачи,
решаемые сферической астрономией

За тридцать лет, прошедших после выхода прекрасного учебника профессора МГУ К. А. Куликова «Курс сферической астрономии», астрометрия изменилась коренным образом. Точность позиционных наблюдений возросла примерно в тысячу раз. Такой прогресс обусловлен вводом в строй и непрерывным совершенствованием радиоинтерферометров со сверхдлинными базами (РСДБ),
инструментов для лазерной локации Луны и спутников, вводом в
действие систем глобального определения местоположения (GPS
и ГЛОНАСС), разработкой специальных спутников для проведения астрометрических наблюдений, а также разработкой новых методов обработки результатов. Успешное завершение космического
проекта HIPPARCOS (аббревиатура от английского HIgh Precision
PARallax COllecting Satellite или «спутник для высокоточного измерения параллаксов») позволило создать высокоточный каталог
∼ 120000 звезд. Измерение параллаксов дало ценнейшую информацию о пространственном распределении этих звезд около Солнца не

Введение
13

только для астрометристов, но и для астрофизиков, специалистов по
звездной динамике и небесной механике.

Каковы основные задачи астрометрии и сферической астрономии, о которой далее пойдет речь? Астрометрия является частью
астрономии. Ее главной задачей является определение из наблюдений векторов положений и скоростей различных небесных тел,
а также формы тел. Но положение или координаты тела могут
быть определены лишь относительно другого тела или какой-то выбранной точки. В астрономии координаты измеряются в выбранной
системе отсчета. Система отсчета (английский термин «reference
system») — это условное понятие; на основе официальных соглашений определяются основные плоскости и точки, а также координатные оси системы. Ни оси, ни основные точки системы на небе не выделены. Поэтому в виде практической реализации системы отсчета («reference frame») принимается список координат и скоростей
некоторого числа выбранных объектов (например, звезд или радиоисточников). Такой список называется каталогом. Отдельный каталог является одной из реализаций системы отсчета.

Таким образом, на основе наблюдений астрометрия определяет
системы координат. Две таких системы имеют особую важность. Это
небесная система координат, необходимая для определения движения небесных тел, и земная система координат, в которой измеряется положение наблюдателя. Желательно, чтобы небесная система
координат была инерциальной. В этом случае уравнения движения
записываются самым простым образом, т. к. в них отсутствуют силы
инерции, обусловленные вращением системы отсчета.

Другой задачей астрометрии является определение моментов
астрономических событий и промежутков времени между ними, т. е.
определение и хранение времени.

Задачи, которые решает сферическая астрономия, связаны, главным образом, с математическими методами редукции1 астрономических наблюдений.

Возникла сферическая астрономия в Древней Греции, хотя древнегреческие ученые многому научились у вавилонян. Это связано с
необычайным расцветом математики в IV–II в. до н. э., и исполь
1Редукция наблюдений — приведение координат и скоростей небесных тел от системы координат, в которой они непосредственно измерены, к стандартной системе.

14
Введение