Цифровые системы управления. Сборник задач для индивидуальных заданий

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
Г.В. САБЛИНА 
 
 
 
 
ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ  
УПРАВЛЕНИЯ 
 
СБОРНИК ЗАДАЧ  
ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ  
ЗАДАНИЙ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

 

УДК 681.51.01(075.8) 
         С 122 
 
 
 
 

Рецензенты: 

д-р техн. наук Г.А. Французова 
канд. техн. наук Е.В. Прохоренко 
 
 
 
 
Саблина Г.В. 
С 122   
Цифровые системы управления. Сборник задач для индивидуальных заданий: учебное пособие / Г.В. Саблина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 70 с. 
 
ISBN 978-5-7782-4192-3 
 
B учебном пособии приводятся: теоретический материал, рекомендации и задачи для выполнения индивидуальных заданий по курсу 
«Цифровые системы управления». Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 27.03.04 – «Управление в технических системах». 
 
 
 
 
 
УДК 681.51.01 (075.8) 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-4192-3  
 
 
 
 
 
© Саблина Г.В., 2020 
© Новосибирский государственный 
    технический университет, 2020 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Теория импульсных систем получила бурное развитие в связи с достижениями цифровой электроники и, в частности с развитием вычислительной техники, которая проникает во все сферы деятельности человека и используется повсеместно. В настоящее время традиционные непрерывные регуляторы (контроллеры) интенсивно заменяются цифровыми, которые имеют неоспоримые преимущества: компактность, стабильность работы, малое энергопотребление, высокую точность, а 
также гибкость реализации алгоритмов контроля и управления. Последняя достигается простой заменой программного обеспечения. 
Для того чтобы обсуждать свойства импульсных систем автоматического управления, будем рассматривать функциональную схему 
(рис. В1). 
Основными элементами цифровой системы автоматического управления (ЦСАУ) являются: 
О – объект управления; 
контроллер – (микропроцессор, микроконтроллер); 
АЦП и ЦАП – аналого-цифровой и цифроаналоговый преобразователи, к которым предъявляются требования синхронности и синфазности их работы; 
таймер – предназначен для синхронизации работы всей системы. 
Назначение контроллера – формировать управляющее воздействие, 
обеспечивающее заданное качество работы системы. 
В дальнейшем будем рассматривать как одноканальные объекты 
управления, так и многоканальные, для которых 

(v, u, y)
m
R

, 

где v – входные задающие сигналы; u – управляющие воздействия;  
y – выходные, контролируемые переменные объекта управления, доступные измерению; m – число каналов управления в объекте. 

u

О
Контроллер
ЦАП

Таймер

АЦП

y
v

Рис. В1. Функциональная схема импульсной системы автоматического 
управления 

Главная особенность ЦСАУ состоит в том, что управляющие воздействия, формируемые с помощью ЭВМ, принимают дискретные значения в дискретные моменты, т. е. они квантованы как по уровню, так и 
по времени. В дальнейшем мы не будем учитывать квантование управляющих воздействий по уровню, так как современные контроллеры 
имеют достаточно высокую разрядность АЦП и ЦАП и «вес» одного 
разряда сопоставим с точностью измерения контролируемых переменных объекта управления. 
Управляющие воздействия вычисляются по заданному алгоритму с 
помощью контроллера и передаются на ЦАП, который фиксирует значения воздействий на время, равное шагу квантования Т, т. е. представляют собой последовательность импульсов, появляющихся в фиксированные моменты. 

Решётчатые функции 
Отличительная особенность импульсных систем заключается в 
квантовании управляющего воздействия по времени, и это позволяет 
вводить в рассмотрение новые характеристики, в частности решётчатые 
функции (рис. В2). 
Если длительность импульсов управления h
T

, то приближенно 
можно прямоугольные импульсы управления заменить на эквивалентные им дельта-функции той же площади. Это представление управляющего воздействия будем называть решётчатым (рис. В3). 
Такая замена возможна потому, что, как правило, темп процессов в 
объектах управления много медленнее темпа процессов нарастания и 
спада прямоугольного импульса, и реакция динамических объектов на 
прямоугольный импульс и на эквивалентную ему дельта-функцию будет практически одинаковой. 

u
( )
u t

( )
u t

0
2T
T
3T
kT  
Рис. В2. Пример квантованного по времени управляющего 
 воздействия 

u
( )
u t

*( )
u t

0
2T
T
3T
kT  
Рис. В3. Пример решетчатого управляющего воздействия 

Дельта-функция (функция Дирака) имеет следующие свойства: 

,
0,
( )
( )
1,
( )
1( )
0,
0,
0,

t
t
t
t dt
t dt
t
t
t





















. 

Управляющее воздействие после обсуждаемой замены можно представить в следующем виде: 

*

0
0

( )
( )
( )
(
)
(
) (
)
1c
1c
k
k

u t h
h
u t
u t
t
kT
u kT
t
kT














, 

где 
*( )
u t  – решётчатая функция; k – дискретный момент. 

Если ЦАП и АЦП в системе работают синхронно и синфазно, то величина h может быть любой, поэтому ее можно принять равной 1 с: 

*

0
( )
(
) (
)
( )
k
u t
u kT
t
kT
u t








. 

Последнее выражение есть управляющее воздействие, представленное в виде решётчатой функции. Такой вид представления упрощает 
анализ процессов в линейных импульсных системах. 

Экстраполятор нулевого порядка 
Управляющее воздействие в большинстве цифровых систем формируется на выходе ЦА и имеет ступенчатый вид. На рис. В4 пунктиром 
показано непрерывное управляющее воздействие u(t). 

u
( )
u t

( )
u t

0
2T
T
3T
kT  
Рис. В4. Пример ступенчатого управления 

Экстраполятором нулевого порядка называют устройство, преобразующее непрерывный сигнал в реальное ступенчатое управление. 
На рис. В5 ИИЭ – идеальный импульсный элемент, преобразующий 
непрерывное управляющее воздействие в решётчатую функцию; ФФ – 
формирующий фильтр, преобразующий решётчатую функцию в последовательность прямоугольных импульсов. 

ИИЭ
ФФ
( )
u t
*( )
u t
( )
u t

 

Рис. В5. Функциональная схема экстраполятора нулевого порядка 

На рис. В6 ИИЭ реализован при помощи звена умножения, на один 
вход которого подаётся непрерывное управление, а на другой – последовательность дельта-функций. 

Умножение

( )
u t
*
*
(
)
( )
u kT
u t


(
)
t
kT


 

Рис. В6. Структурное представление идеального 
 импульсного элемента 

Для получения аналитической модели формирующего фильтра графически представим прямоугольный импульс в виде суммы двух ступенчатых импульсов (рис. В7). Напомним, что единичная ступенчатая 
функция – это интеграл от дельта-функции. 

kT

kT
T


t

t

( )
u t

(
)
u
kT


(
)
u
kT

 

Рис. В7. Пример прямоугольного импульса управления 

Модель ФФ можно предоставить следующим образом (рис. В8). 

p
1

-pT
e
1 p

( )
( )
u t
t

( )
(
)
u t
u kT


 

Рис. В8. Структурная схема модели формирующего фильтра 

Передаточная функция ФФ имеет вид 

ФФ
1
1
1
( )

pT
pT
e
W
p
e
p
p
p







. 

Аналогичный результат можно получить, используя преобразование 

Лапласа: 

0
( )
( )
st
x s
x t e
dt


 
, 

где s =  + j – оператор Лапласа. 

Найдём преобразование Лапласа решётчатого управляющего воз
действия: 

*

0
( )
(
) (
)
k
u t
u kT
t
kT







,  
*

0
( )
(
)
k
kTs
u
s
u kT e




 
. 

Проделаем эту процедуру для ступенчатого управляющего воздействия: 

ФФ

0

*
ФФ
0
( )

( )
(
)(1(
) 1(
(
1) )),

1
( )
(
)
(1
)
 
( )
( ).

k

kTs
sT

k
s
W

u t
u kT
t
kT
t
k
T

u s
u kT e
e
u
s W
s
s


























 

Как видим, результаты двух выводов совпадают, отличаясь только 

оператором. 
На рис. В9 приведено структурное представление формирующего 
фильтра, а на рис. В10 – структурная схема системы с экстраполятором 
нулевого порядка. 

ФФ( )
W
s
( )
*
u t
( )
u t

 

Рис. В9. Структурная схема формирующего  
фильтра 

ИИЭ
ИИЭ
ФФ( )
W
s
О( )
W
s
( )
u t
*( )
u t
( )
u t
( )
y t
*( )
y t

ПНЧ

                                               
( )
W
s


 
Рис. В10. Система с экстраполятором нулевого порядка 

Последовательное соединение формирующего фильтра и объекта 
называют приведённой непрерывной частью (ПНЧ), ее передаточная 
функция 

ПНЧ
ФФ
О
( )
( )
( )
s
W
s W
W
s

. 

B учебное пособие включены задачи по темам, которые рассматриваются при изучении методов анализа и синтеза цифровых систем автоматического управления. 
Пособие предназначено для выполнения индивидуальных заданий 
по курсу «Цифровые системы управления» и самостоятельной работы 
студентов. Изучение данного курса требует знаний, полученных при 
освоении курсов «Теория автоматического управления», «Линейная алгебра», «Математический анализ». 

Тема 1. ПЕРЕХОД ОТ НЕПРЕРЫВНОЙ МОДЕЛИ  
ОБЪЕКТА К ДИСКРЕТНОЙ 

Основным аппаратом описания линейных импульсных систем являются разностные уравнения. В отличие от дифференциальных уравнений, где аргумент – непрерывное время, в разностных уравнениях аргумент – дискретное время. 
Многоканальный объект описывают разностным уравнением в векторно-матричной форме: 

 
(
)
(
)
(
),

(
)
(
).

x kT
T
Ax kT
Bu kT

y kT
Cx kT







 
(1.1) 

Здесь T – шаг квантования; kT – текущий момент времени; 
n
x
R

 – вектор состояния, n – порядок объекта; 
m
u
R

 – вектор управляющих воздействий, n
m

; A  – квадратная матрица действительных коэффициентов; ,
B C  – прямоугольные матрицы действительных коэффициентов; 

m
y
R

 – выходные переменные системы. Часто в записи разностного 
уравнения величину T опускают (так как она задана и неизменна), тогда 
уравнения выглядят так: 

 
(
1)
( )
( ),

( )
( ).

x k
Ax k
Bu k

y k
Cx k







 
(1.2) 

Эта форму называют основной формой записи разностного уравнения или системой разностных уравнений в матричной форме. 
Разностные уравнения связывают переменные состояния системы, 
управление и выходные координаты только в фиксированные моменты. 

Способ 1. При малой величине шага дискретизации Т перейти от непрерывной модели к приближённой дискретной можно методом конечных разностей. Если использовать прямые конечные разности, то необходимо выполнить следующие подстановки: 

( )
( )
(
)
(
)
(при 
)
=
 
dx t
x t
x kT
T
x kT
t
kT
dt
t
T






, 

2
2

2
2
2
( )
( )
(
2 )
2 (
)
(
)
(при 
)
d x t
x t
x kT
T
x kT
T
x kT
t
kT
dt
t
T










. 

Способ 2. Матричная процедура перехода от непрерывной модели 
вида 

 

( )
( )
( ),

( )
( )

x t
Ax t
Bu t

y t
Cx t









 
(1.3) 

к дискретной (1.2) с шагом дискретизации T осуществляется на основе 
понятия переходной матрицы, когда при известных начальных условиях 
x(0) можно записать решение дифференциального уравнения (1.3): 

0

(
)
( )
(0)
( )
t
At
A t
x t
e
x
e
Bu
d






.