Прикладная математика. Введение в профессиональную деятельность

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Сибирский федеральный университет










М. В. Носков, И. М. Федотова


ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ВВЕДЕНИЕ В ПРОФЕССИОНАЛЬНУЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ


Учебное пособие









Красноярск СФУ 2020

УДК 510.6(07)
ББК 22.19я73 Н844



        Рецензенты:
           К. В. Сафонов, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой прикладной математики ИИТК СибГУ им. М. Ф. Решетнева;
           К. В. Симонов, доктор технических наук, ведущий научный сотрудник отдела вычислительной механики деформируемых сред Института вычислительного моделирования СО РАН












         Носков, М. В.
Н844       Прикладная математика. Введение в профессиональную дея-
         тельность : учеб. пособие / М. В. Носков, И. М. Федотова. -Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. - 84 с.
            ISBN 978-5-7638-4410-8

            Изложен теоретический материал, указаны основные формулы, используемые для решения задач. Приведены примеры и даны типовые расчеты.
            Предназначено для студентов, обучающихся по направлению бакалавриата 01.03.04 «Прикладная математика».


Электронный вариант издания см.:
http://catalog.sfu-kras.ru


УДК 510.6(07)
ББК 22.19я73

ISBN 978-5-7638-4410-8

© Сибирский федеральный университет, 2020

                Оглавление





   Введение ............................................ 4

Глава 1. Элементы теории множеств                        5
   1.1. Основные понятия и обозначения. Операции над множествами .............................................. 5
   1.2. Числовые множества.............................. 7
   1.3. Комплексные числа .............................. 9
   1.4. Упорядоченные множества........................ 12
   1.5. Перестановки, размещения и сочетания........... 14
   1.6. Метод математической индукции. Бином Ньютона ... 17
   1.7. Бесконечные множества.......................... 20

Типовой расчет 1                                        24

Глава 2. Функции и их графики                           49
   2.1. Функция........................................ 49
   2.2. Параметрически заданные функции................ 51
   2.3. Полярная система координат..................... 53

Типовой расчет 2                                        57
   Заключение.......................................... 82

Библиографический список                                83


3

                Введение




    Что такое «Прикладная математика»? Для того чтобы ответить на этот вопрос, давайте вспомним, как начиналась математика вообще. Начиналась она, по-видимому, в древнем Египте для решения задач счета предметов и вычисления площадей и объемов, т. е задач прикладного характера. Значит, математика начиналась с прикладных задач или как прикладная математика. Прошли века, и уже в Древней Греции заметили, что диагональ квадрата невозможно точно измерить, если в качестве единицы измерения брать сторону квадрата или какую-нибудь ее часть, целое число раз укладывающуюся на эту сторону. Осмысление этого факта уже не носило прикладной характер и может быть вполне отнесено к теоретической математике. Но как только мы начинаем решать задачу о вычислении длины диагонали квадрата с нужной точностью, мы снова решаем прикладную задачу, т. е. снова занимаемся прикладной математикой.
    Что следует из этого примера. Во-первых то, что разница между прикладной и теоретической математикой весьма условна, и это лишний раз говорит о единстве математики. Во-вторых, о прикладной математике надо говорить тогда, когда появляется реальная задача, требующая осмысления и решения. Для осмысления необходимо хорошее понимание того, что должно получиться в результате решения задачи, т. е. хорошее понимание той реальной области науки, техники или социального явления, откуда появилась задача. Для решения задачи нужно хорошее владение математическим аппаратом (читай - теоретической математикой) и современными средствами вычисления (читай - программированием). Если всему, что нужно для решения задач, можно научиться в университете, то умение осмыслять задачу приходит с опытом. В университете на немногочисленных примерах вас научат решать ограниченное число задач, но в реальной жизни вы встретитесь с необъятным числом практических задач, о которых вы никогда даже не слышали. Но те примеры, которые вы изучили в университете, подготовят вас к решению этих новых и неизведанных проблем, с которыми вас столкнула жизнь.

4

                Глава 1. Элементы теории множеств





            1.1. Основные понятия и обозначения. Операции над множествами


     Множеством называется неопределяемое понятие, обозначающее совокупность некоторых объектов, называемых элементами, о которых можно только судить, принадлежат ли они к данному множеству или нет.
     Например, множество A есть множество всех крокодилов. Если данный предмет или существо есть крокодил, то он принадлежит A.
     Если элемент а принадлежит A, то этот факт фиксируется записью a A A, а если не принадлежит, то a / A.
     Определение 1. M1 называется подмножеством M, если для любого a A M1 следует, что a A M.
     В этом случае будем считать M1 С M.
     Например, если в качестве множества возьмем множество всех натуральных чисел N, а через N2 обозначим множество всех четных чисел, то N2 С N. Напомним, что число n называется натуральным, если оно целое, положительное (т. е. строго больше нуля).
     Определение 2. Два множества называются равными, если содержат одни и те же элементы, т. е. множество A равно множеству B (будем писать A = B"), если из a A A следует a A B, а из b S B следует b A A.
     Например, множество всех слов, написанных с помощью букв а, б, в, совпадает с множеством слов, написанных с помощью первых трех букв русского алфавита. Здесь мы видим, что одно и то же множество может быть задано по-разному с точки зрения его описания.
     Упражнение 1. Доказать, что из A С B и B С A следует A = B.
     Определение 3. Множество S называется объединением множеств A и B и обозначается S = A U B, если из того, что s S S, следует, что s принадлежит или к A, или к B (или к A и B одновременно).
     Определение 4. Множество P называется пересечением множеств

5

A и B и обозначается S = A П B, если из того, что р P P, следует, что р А Аир Е B.
    Пример 1. Пусть А = {1, 2,4, 5,8}, B = {2, 5, 7,11}, тогда А П B = {2, 5}, A U B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 11}.
    Здесь фигурные скобки означают, что элементы, записанные внутри скобок, полностью описывают множество. Например, N2 = {п : п делится на } нацело}.
    Упражнение 2. Пусть (a, b) обозначает интервал, т. е. множество чисел стаких, чтоа < с < b. Доказа ть, что (1 / 2, 1) П (0,3 / 4) = (1 / 2,3 / 4). то
    Упражнение 3. Доказать, что П( -1 /k, 1 /k ) = {0}.
                                k=1
                  то
    Здесь значок означает, что пересекаются все интервалы k=1
(—1 /k, 1 /k), что k меняется от 1 до бесконечности (то - символ бесконечности).
    Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается 0. то
    Упражнение 4. Доказать, что П(о, 1 /k ) = 0.
                                k=1
    Определение 5. Множество D называется разностью множеств А и B и обозначается D = A\B, если D = {а : а Е А, но а / B}, т. е. если D состоит из таких элементов а Е А, которые не принадлежат B.
    Упражнение 5. Найти разность множеств N и ТО.
    Если множество изображается в виде круга, то схематичное изображение операций над множествами называется диаграммой Эйлера -Венна.
    Пример 2. Построим диаграмму Эйлера - Венна для изображения пересечения множеств.


     Штриховкой = выделяется иерееечение множеств А и B.
     Упражнение 6. Построить диаграммы Эйлера - Венна для других операций над множествами.

6

            1.2. Числовые множества



     Наиболее часто в математике приходится сталкиваться с множествами чисел, хорошо (или не очень) известными из школьного курса.
     Перечислим их и дадим соответствующие определения.

     а) множество натуральных чисел N, определенное в п. 1.1.

     б)     множество целых чисел Z. Число a Е Z, если a - натуральное, или a - отрицательное целое число, или a = 0.


     в)     множество рациональных чисел Q. Число q Е Q, если q представимо в виде частного целых чисел n и т, т. е. q = m.
     Упражнение 7. Доказать, что д/2 не является рациональным числом.
     Напомним, что важную роль в математике (и в жизни) играют так называемые десятичные дроби, например рациональные числа qn=aq = m. Такую десятичную дробь записывают в виде


±a0,aia2a3 .. .aₖ,


(1.1)

где aₖ - целое число: a 1, a₂, .. .aₖ ~ цифры, т. e. числа 0, 1, 2, 3, ..., 9.
     Выражение (1.1) называется конечной десятичной дробью, так как число знаков после запятой конечно. Однако не всякое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби, например 1 /3. Выполняя деление «уголком», легко получить, что

1 = 0, 3333 ... .
                         3
Бесконечными называют дроби, у которых число знаков после запятой бесконечно.
     Упражнение 8. Доказать, что рациональное число . представляется конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда число т не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5.
     Среди бесконечных дробей выделим дроби, у которых последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляют собой периодически повторяющуюся группу цифр. Такие десятичные дроби называются периодическими Например, рассмотрим дробь


75 = о,213333....


7

Для удобства будем периодически повторяющуюся группу цифр выделять скобками, например

11 = 0,21(3).
                          7 5

     Упражнение 9. Записать в виде рациональной дроби число 2, 35(17).
     Замечание 1. Конечную десятичную дробь (1.1), если ak = 0, можно записать в виде периодической дроби двумя способами:
     1) а о, a 1 a 2 ... ak (0).
     2) bо, b 1 b2 ... bₖ(9), где bi = aᵢ при i = 0, ... k — 1, a bₖ = aₖ — 1.
     Теорема 1. Число а является рациональным тогда и только тогда, когда оно представимо конечной или бесконечной периодической дробью.
    Упражнение 10. Доказать теорему 1.

     г)     множество действительных чисел R. Действительным числом будем называть любую десятичную дробь. Очевидно, что N С Z С Q С R.
     Теория действительных чисел достаточна сложна, поэтому мы ограничимся некоторыми фактами, полезными при изучении математики.
     1)     Пусть а - действительное, не рациональное число. Тогда для любого е > 0 существуют рациональные числа a и b такие, что

a < а < b и b — a < е.

Действительно, положим a = a ₀ ,a 1 a 2 ...aₙ, где ai = ai, i = 0 ,...n. Число b возьмем равным a + 10—ⁿ. Очевидно, что числа a,b E Qh b — a = 10—ⁿ. При увеличении n чиело 10—ⁿ может быть как угодно малым.
    Упражнение 11. Для е > 0 на йти п, при ко тором 10—ⁿ < е.

    д)     алгебраические и трансцендентные числа.
    Определение 6. Выражение вида

F (x) = a ₀ xⁿ + a 1 xⁿ—¹ + ... + aₙ—1 x + aₙ = 0 (1.2)

называется алгебраическим уравнением, число x₀, при котором F(x₀) = 0, называется корнем уравнения (1.2), числа a₀, ...aₙ- коэффициенты уравнения (1.2). Множество всех корней алгебраических уравнений

8

с рациональными коэффициентами образуют множество чисел, которые называют алгебраическими числами.
     Если действительное число не является алгебраическим, то оно называется трансцендентным.
     Упражнение 12. Докажите, что 1 + д/3 является алгебраическим числом.
     Ясно, что любое рациональное число является алгебраическим, но если число задано в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, то определить, является оно алгебраическим или нет, практически невозможно.
     В 1873 г. французский математик Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа е, в 1892 г. немецкий математик Ф. Линдеманн доказал, что число п трансцендентно. В 1934 г. советский математик А. О. Гельфанд доказал, что если a = 0, a - алгебраическое число и b - алгебраическое иррациональное число, то ab - трансцендентное число. Это утверждение было сформулировано в 1900 г. как седьмая проблема Гильберта. Из него, например, следует, что 2²² является трансцендентным числом.


            1.3.  Комплексные числа


     Являются ли все алгебраические числа действительными? Очевидно, что нет. Действительно, рассмотрим уравнение x² + 1 = 0. Так как для любого действительного числа x² > 0, то это уравнение не имеет корней среди действительных чисел. Тем не менее еще в середине XVI века итальянский математик Тарталья при нахождении действительных корней кубического уравнения столкнулся с необходимостью иметь дело с квадратным корнем из отрицательного числа, который появлялся для промежуточных вычислений. Для записи такого корня он воспользовался обозначением i = — 1. Это «недействительное» число и стали называть мнимой единицей. Заметим, что формулу, придуманную Тарта-льей для решения кубических уравнений, опубликовал в своей книге его современник Кардано. Поэтому формулу для корней кубического уравнения, наподобие формулы Виета для квадратных уравнений, называют формулами Кардано.
     Заметим, кстати, что широко известный автолюбителям «карданный вал» придумал Джероламо Кардано. Мы будем называть выражения a + bi комплексным числом и подобно действительному числу, отмеченному точкой на плоскости, отмечать комплексное число на плоскости

9

(комплексной плоскости).













3 + 2 i

2

	

1 + i

1

1

■►

1

3

	

	

2

1

	

2i



    Пример 3. Рассмотрим квадратное уравнение


x² + x + 1 = 0.

(1.3)


Пользуясь формулой Виета, найдем корни этого уравнения:

      ---1 + ---3 13             
x 1 =     9     = = - 2 + ---i'  
                2                
---1 --- \ 3                     
x 2 =     9     = - --- 1 --- £ i
                2 2    2         

    Упражнение 13. Проверить, что x 1 и x₂ из примера 3 являются корнями уравнения (1.3).
    Упражнение 14. Изобразить x 1, x₂ из примера 3 на комплексной

плоскости.
     Для того, чтобы убедиться, что x 1 и x₂ являются корнями уравнения (1.3), нам надо научиться умножать и складывать комплексные числа.
     Пусть z 1 = a 1 + b 1 i, z₂ = a₂ + b₂i.
     Определение 1. Суммой чисел z 1 и z₂ называется число


z — z 1 + z 2 — (a 1 + a 2) + i (b 1 + b 2),


произведением чисел z 1 и z₂ называется число

z = z 1 z2 = (a 1 a2 - b 1 b2) + i(a 1 b2 + a2b 1).

    Упражнение 15. Пусть z 1 = 2 — д/3i, z₂ = 2 + д/3i. Найти z 1 z₂, 2 z 1 + 3 z 2, (1 + i) z 1 — z 2.


10

    Определение 8. Модулем числа z = a + bi называется число \z | = Va² + b².
    Упражнение 16. Показать, что \z|² = zz, где z = a — bi.
    Число z из упражнения 16 называется сопряженным к числу z.
    Пример 4. Найдем —.


                      z 1 _ z 1 z 2 _ (a 1 + b 1 i)(a 2 — b 2 i) z 2  z 1 z2           \z 21²

(a 1 a 2 + b 1 b 2) + i (b 1 a 2 — b 2 a 1)

a 2 + b 2

a 1 a 2 + b 1 b 2 . b 1 a 2 — b 2 a 1
a 2 + b 2 +г a 2 + b 2 '

     Теперь вернемся к геометрической интерпретации комплексного числа. Нетрудно видеть, что \z| есть расстояние отрезка OZ, a = \z\ cos ф, b = \z\ sin ip. Тогда


z = a + bi = \z\ (cos p + i sin p),


(1-4)

угол p называется аргументом комплексного числа: р = arg z.

     Упражнение 17. Вывести зависимость р от a и b.
     Замечание 2. Если формулу (1.4) рассматривать как функцию z = z(р), то нетрудно понять, что эта функция периодична с периодом 2 п.
     Упражнение 18. Показать, что при умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а модули перемножаются.
     Выражение (1.4) называют тригонометрической формой комплексных чисел. В теории функции комплексного переменного обосновывается еще одна форма комплексных чисел - показательная. В ее основе лежит так называемая формула Эйлера

                        cos р + i sin р = e¹^.                (1.5)

11