Лекции по численным методам математической физики
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 158
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-16-006108-5
ISBN-онлайн: 978-5-16-500290-8
Артикул: 222200.05.01
Доступ онлайн
В корзину
Пособие отражает содержание лекционного курса «Численные методы математической физики», читаемого студентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова. Излагаются основы теории разностных схем и метода конечных элементов. Рассматриваются прямые и итерационные методы решения систем разностных уравнений, возникающих при аппроксимации многомерных задач математической физики. Обсуждается применение теории устойчивости к исследованию разностных схем. Приводятся примеры построения, исследования и численной реализации разностных схем для нелинейных задач. Содержится набор упражнений, способствующий активному усвоению излагаемого материала.
Пособие рассчитано на студентов старших курсов, магистрантов и аспирантов, специализирующихся в области прикладной математики.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.04: Прикладная математика
- 02.03.03: Механика и математическое моделирование
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- 03.03.02: Прикладная математика и информатика
- 04.03.02: Химия, физика и механика материалов
- ВО - Магистратура
- 03.04.01: Прикладные математика и физика
- 04.04.01: Химия
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ЛЕКЦИИ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Москва ИНФРА-М 2018 М.В. АБАКУМОВ А.В. ГУЛИН Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» и 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики
Абакумов М.В. Лекции по численным методам математической физики : учеб. пособие / М.В. Абакумов, А.В. Гулин. — М. : ИНФРА-М, 2018. — 158 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). ISBN 978-5-16-006108-5 Пособие отражает содержание лекционного курса «Численные методы математической физики», читаемого студентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова. Излагаются основы теории разностных схем и метода конечных элементов. Рассматриваются прямые и итерационные методы решения систем разностных уравнений, возникающих при аппроксимации многомерных задач математической физики. Обсуждается применение теории устойчивости к исследованию разностных схем. Приводятся примеры построения, исследования и численной реализации разностных схем для нелинейных задач. Содержится набор упражнений, способствующий активному усвоению излагаемого материала. Пособие рассчитано на студентов старших курсов, магистрантов и аспирантов, специализирующихся в области прикладной математики. УДК 519.63(075.8) ББК 22.193я73 ISBN 978-5-16-006108-5 © Абакумов М.В., Гулин А.В., 2012 А13 УДК 519.63(075.8) ББК 22.193я73 А13 Печатается по решению Редакционно-издательского совета факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова Р ецен з е н т ы: Костомаров Д.П., академик РАН, профессор Денисов А.М., профессор ФЗ № 436-ФЗ Издание не подлежит маркировке в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11
Оглавление Предисловие 7 1 Метод конечных элементов 9 1.1 Кусочно-линейные восполнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Построение кусочно-линейного восполнения . . . . . . 9 1.1.2 Сходимость кусочно-линейных восполнений . . . . . . 11 1.2 Понятие о методе конечных элементов . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Общее описание метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Исходная задача и определение приближенного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Построение приближенного решения . . . . . . . . . . 15 1.3 Исследование сходимости МКЭ . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Существование приближенного решения . . . . . . . . 16 1.3.2 Свойства приближенного решения . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Сходимость приближенного решения к точному . . . . 21 1.4 МКЭ для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Исходная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.2 Базисные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.3 Кусочно-линейные восполнения двумерных сеточных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.4 Построение конечноэлементного решения задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5 Задачи к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Принцип максимума для разностных схем 32 2.1 Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3
— Оглавление — 2.3 Следствия принципа максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Устойчивость и сходимость разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Примеры применения принципа максимума . . . . . . . . . . . 41 2.6 Монотонные разностные схемы для уравнений второго порядка, содержащих первые производные . . . . . . . . . . . 48 2.7 Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 Методы решения сеточных уравнений 53 3.1 Модельная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.1 Оператор разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.2 Модельная задача и ее свойства . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Оценки скорости сходимости стационарных итерационных методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Скорость сходимости итерационного метода . . . . . . 59 3.2.2 Правила действий с матричными неравенствами . . . . 63 3.2.3 Оценки скорости сходимости в случае симметричных матриц A и B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3 Применение стандартных итерационных методов . . . . . . . 69 3.3.1 Метод Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.2 Метод Зейделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4 Попеременно–треугольный итерационный метод . . . . . . . . 72 3.4.1 Алгебраическая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4.2 Применение к модельной задаче . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.3 Попеременно–треугольный метод с чебышевскими итерационными параметрами . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5 Итерационные методы вариационного типа . . . . . . . . . . . 81 3.5.1 Одношаговые итерационные методы вариационного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.5.2 Метод скорейшего спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.5.3 Метод минимальных невязок . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5.4 Метод минимальных поправок . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5.5 Метод минимальных погрешностей . . . . . . . . . . . 88 3.5.6 Двухшаговые итерационные методы вариационного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.5.7 Примеры методов сопряженных направлений . . . . . . 90 4
— Оглавление — 3.6 Решение разностных уравнений второго порядка методом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.6.1 Разложение по базису собственных функций . . . . . . 91 3.6.2 Понятие о быстром дискретном преобразовании Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.6.3 Решение разностного уравнения Пуассона методом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.7 Метод матричной прогонки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.7.1 Запись разностного уравнения Пуассона в виде системы векторных уравнений . . . . . . . . . . . . . . 95 3.7.2 Алгоритм матричной прогонки . . . . . . . . . . . . . . 97 3.7.3 Устойчивость матричной прогонки . . . . . . . . . . . . 98 3.8 Метод редукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.8.1 Вывод основных формул. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.8.2 Обращение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.8.3 Вычисление правых частей . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.8.4 Формулировка и обсуждение алгоритма . . . . . . . . 105 3.9 Задачи к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4 Теория устойчивости разностных схем 111 4.1 Разностные схемы как операторные уравнения . . . . . . . . . 111 4.1.1 Представление разностных схем в виде операторных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.1.2 Корректность операторных уравнений . . . . . . . . . . 113 4.1.3 Операторы первой разностной производной . . . . . . . 115 4.2 Канонический вид и условия устойчивости двуслойных разностных схем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2.1 Канонический вид двуслойных разностных схем . . . . 117 4.2.2 Устойчивость двуслойных схем . . . . . . . . . . . . . 119 4.2.3 Теорема об устойчивости по начальным данным . . . . 121 4.2.4 Несамосопряженные разностные схемы . . . . . . . . . 123 4.3 Канонический вид и условия устойчивости трехслойных разностных схем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.4 Экономичные методы решения многомерных нестационарных задач математической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.4.1 Недостатки обычных разностных методов . . . . . . . 129 4.4.2 Пример метода переменных направлений . . . . . . . . 132 5
— Оглавление — 4.4.3 Абсолютная устойчивость продольно–поперечной схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.4.4 Понятие суммарной аппроксимации . . . . . . . . . . . 134 4.5 Задачи к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5 Разностные схемы для нелинейных задач математической физики 139 5.1 Квазилинейное уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . 139 5.1.1 Исходное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.1.2 Автомодельные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.2 Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейного уравнения теплопроводности 142 5.2.1 Уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . 142 5.2.2 Нелинейное уравнение теплопроводности . . . . . . . . 145 5.3 Разностная схема для нелинейного эллиптического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3.1 Исходная задача и разностная схема. Линеаризованное уравнение для погрешности . . . . . 147 5.3.2 Оценка погрешности в равномерной метрике . . . . . . 148 5.3.3 Оценка среднеквадратичной нормы погрешности . . . 149 5.4 Итерационный метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.5 Задачи к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6
— Предисловие — Предисловие Академик А.А.Самарский (1919 - 2008) В основу настоящего учебного пособия поло жены идеи и методические разработки академика А.А.Самарского. Александр Андреевич Самарский был выда ющимся математиком, специалистом с мировым именем в области математического моделирования и теории вычислительных методов, одним из основоположников отечественной вычислительной математики. Известная монография «Теория разностных схем» [1] обобщила громадный опыт А.А.Самарского по конструированию и исследованию разностных схем, применению численных методов к решению актуальных задач математической физики. В данном случае можно сказать, что теория целиком выросла из практики, питается конкретными проблемами и нацелена на их решение. На основе монографии «Теория разностных схем» была написана и в 2000 году опубликована книга «Численные методы математической физики» [2], ориентированная в основном на студентов вузов, специализирующихся в области физики и прикладной математики, и учитывающая особенности учебных планов. При написании предлагаемого учебного пособия авторы преследовали цель дальнейшего упрощения изложения, сокращения объема книги в соответствии с новыми учебными планами, в частности, с учетом перехода на двухступенчатую систему высшего образования. Авторы постарались справиться с непростой задачей адаптации теории разностных схем к изложению в виде годового учебного курса, предназначенного для студентовчетверокурсников факультета ВМК. Сохранены все разделы книги «Численные методы математической физики», более строго отобраны основные понятия и примеры. В ряде случаев проведены более четкие доказательства. Курс содержит такие разделы теории разностных методов как построение и исследование корректности и сходимости разностных схем для типичных задач математической физики, компьютерно-ориентированные методы решения соответствующих сеточных уравнений, вводные понятия метода конечных элементов. Курс прошел серьезную апробацию, в течение многих лет он излагался как обязательный курс для студентов математического потока факультета ВМК и студентам Казахстанского филиала МГУ имени М.В.Ломоносова. Считаем, что данное учебное пособие окажется полезным 7
— Предисловие — для студентов и преподавателей, интересующихся современными методами численного решения задач математической физики. Авторы выражают огромную благодарность своим коллегам: В.Б. Андре еву, Е.С. Николаеву и Н.В. Соснину, чьи методические материалы были использованы при подготовке настоящего пособия. Авторы благодарят рецензентов: академика Д.П. Костомарова и профессора А.М. Денисова, за внимательное прочтение работы и критические замечания, которые были учтены при подготовке данного издания. М.В. Абакумов, А.В. Гулин 8
Глава 1 Метод конечных элементов 1.1 Кусочно-линейные восполнения 1.1.1 Построение кусочно-линейного восполнения Рассмотрим функцию u(x), определенную на отрезке [a, b]. Введем на отрезке [a, b] разностную сетку: Ωh = {a = x0 < x1 < . . . < xN−1 < xN = b}; hi = xi − xi−1; i = 1, 2, . . . , N; ui = u(xi); i = 0, 1, . . . , N. 6 0 x0 x1 xi−1 xi xi+1 xN−1 xN x u @ @ @@ @@ J J J J JJt t t t t t t t t u0 u1 ui−1 ui ui+1 uN−1 uN ˜u(x) u(x) Рис. 1.1. Кусочно-линейное восполнение Построим на частичном отрезке [xi−1, xi] по значениям ui−1, ui интерпо ляционный многочлен Лагранжа 1-ой степени : L(i) 1 (x) = ui−1 xi − x hi + ui x − xi−1 hi , x ∈ [xi−1, xi]. 9
— 1.1 Кусочно-линейные восполнения — Определение. Кусочно-линейным восполнением функции u(x) на сетке Ωh называется функция ˜u(x) = L(i) 1 (x), x ∈ [xi−1, xi]; i = 1, 2, . . . , N. Замечание. Кусочно-линейное восполнение ˜u(x) представляет собой ин терполяционный сплайн первой степени, является непрерывной функцией на [a, b]. Производная ˜u′(x) кусочно постоянна и может несуществовать в узлах xi (см. рис.1.1). Далее введем в рассмотрение базисные функции (см. рис.1.2): ϕi(x) = x − xi−1 hi , x ∈ [xi−1, xi]; xi+1 − x hi+1 , x ∈ [xi, xi+1]; 0, x /∈ [xi−1, xi+1]; i = 1, 2, . . . , N − 1; ϕ0(x) = x1 − x h1 , x ∈ [x0, x1]; 0, x /∈ [x0, x1]; ϕN(x) = x − xN−1 hN , x ∈ [xN−1, xN]; 0, x /∈ [xN−1, xN]. 6 0 x 1 6 0 x 1 6 0 x 1 ϕ0(x) A A A A A A A AA x0 x1 ϕi(x) A A A A A A A AA xi−1 xi xi+1 ϕN(x) xN−1 xN Рис. 1.2. Базисные функции Учитывая, что ϕi(xk) = δik, где δik — символ Кронекера, а также ли нейность базисных функций на каждом отрезке [xi−1, xi]; i = 1, 2, . . . , N; получим представление кусочно-линейного восполнения ˜u(x) = N i=0 uiϕi(x) в виде линейной комбинации функций ϕi(x), поскольку такая комбинация является линейной функцией на каждом интервале сетки Ωh и удовлетворяет условиям ˜u(xi) = ui. 10
— 1.1 Кусочно-линейные восполнения — 1.1.2 Сходимость кусочно-линейных восполнений Лемма 1.1. Пусть функция u(x) непрерывна на [a, b], имеет на (a, b) вторую производную, и ba (u′′(x))2dx < ∞, тогда b a (˜u′(x) − u′(x))2dx ⩽ h2 b a (u′′(x))2dx, где h = max 1⩽i⩽N hi. ▼ Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x ∈ (xi−1, xi), тогда ˜u′(x) − u′(x) = ui − ui−1 hi − u′(x) = 1 hi xi xi−1 (u′(s) − u′(x))ds = = 1 hi xi xi−1 ds s x u′′(t)dt ⇒ |˜u′(x) − u′(x)| ⩽ 1 hi xi xi−1 ds s x |u′′(t)|dt ⩽ ⩽ 1 hi xi xi−1 ds xi xi−1 |u′′(t)|dt = xi xi−1 |u′′(t)|dt ⇒ ⇒ xi xi−1 (˜u′(x) − u′(x))2dx ⩽ hi xi xi−1 |u′′(t)|dt 2 ⩽ (используя неравенство Коши-Буняковского) ⩽ hi xi xi−1 12dt xi xi−1 (u′′(t))2dt = h2 i xi xi−1 (u′′(t))2dt ⇒ ⇒ b a (˜u′(x) − u′(x))2dx ⩽ N i=1 h2 i xi xi−1 (u′′(x))2dx ⩽ h2 b a (u′′(x))2dx. ▲ У т в е р ж д е н и е д о к а з а н о. Лемма 1.2. При условиях Леммы 1.1 справедливо неравенство b a (˜u(x) − u(x))2dx ⩽ h4 b a (u′′(x))2dx. 11
— 1.1 Кусочно-линейные восполнения — ▼ Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x ∈ (xi−1, xi). Поскольку ˜u(xi−1) = u(xi−1) верно равенство ˜u(x) − u(x) = x xi−1 (˜u′(s) − u′(s))ds ⇒ ⇒ |˜u(x) − u(x)| ⩽ x xi−1 |˜u′(s) − u′(s)|ds ⩽ xi xi−1 |˜u′(s) − u′(s)|ds ⇒ ⇒ xi xi−1 (˜u(x) − u(x))2dx ⩽ hi xi xi−1 |˜u′(s) − u′(s)|ds 2 ⩽ (используя неравенство Коши-Буняковского) ⩽ h2 i xi xi−1 (˜u′(s) − u′(s))2ds ⩽ (Лемма 1.1) ⩽ h4 i xi xi−1 (u′′(s))2ds ⇒ ⇒ b a (˜u(x) − u(x))2dx ⩽ N i=1 h4 i xi xi−1 (u′′(x))2dx ⩽ h4 b a (u′′(x))2dx. ▲ У т в е р ж д е н и е д о к а з а н о. Замечание. Получены оценки в норме ∥v(x)∥L2(a,b) = ba v2(x)dx 1/2 пространства L2(a, b): ∥˜u(x) − u(x)∥L2(a,b) ⩽ h2∥u′′(x)∥L2(a,b), ∥˜u′(x) − u′(x)∥L2(a,b) ⩽ h∥u′′(x)∥L2(a,b). Следствие (Сходимость в L2(a, b)). При условиях Леммы 1.1 ∥˜u(x) − u(x)∥L2(a,b) −−→ h→0 0, ∥˜u′(x) − u′(x)∥L2(a,b) −−→ h→0 0 (h = max 1⩽i⩽N hi). Замечание. Можно также получить оценку (см. [2]), означающую схо димость в норме C[a, b]: max x∈[a,b] |˜u(x) − u(x)| ⩽ h3/2∥u′′(x)∥L2(a,b) ⇒ ∥˜u(x) − u(x)∥ [a,b] −−→ h→0 0. 12
— 1.2 Понятие о МКЭ — 1.2 Понятие о методе конечных элементов 1.2.1 Общее описание метода В общих чертах метод конечных элементов состоит в следующем. 1) Исходная задача рассматривается как операторное уравнение Lu(x) = f(x), x ∈ G, u(x) ∈ H. Здесь H — бесконечномерное функциональное пространство, в котором, как правило, ищется обобщенное решение, L — линейный оператор, действующий в H, G — некоторая область, в которой определены функции u(x) и f(x). Будем предполагать, что для функций u, v ∈ H определено скалярное произведение (u, v). 2) Область G разбивается на непересекающиеся элементы {Gk}M k=1. Вво дится конечноэлементный базис {ϕi(x)}N i=1, состоящий из функций, отлич ных от нуля лишь на нескольких элементах. Такие функции называют финитными или функциями с конечным носителем. Линейная оболочка {ϕi}N i=1 порождает конечномерное подпространство HN пространства H, в котором ищется приближенное решение uN(x). 3) Приближенное решение ищется в виде uN(x) = Nj=1 yjϕj(x). Подстав ляя это представление в операторное уравнение и умножая скалярно обе его части на функции ϕi, приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения yj: Ay = b, y = (y1 y2 · · · yN)T, b = (b1 b2 · · · bN)T, A = [aij]; aij = (Lϕj, ϕi), bi = (f, ϕi); i, j = 1, 2, . . . , N. В силу финитности базиса большинство коэффициентов aij обращаются в нуль, то есть система имеет разреженную матрицу A. Замечание. Сходимость приближенного решения к точному означает, что в некоторой норме ∥uN(x) − u(x)∥H −−−→ N→∞ 0. 1.2.2 Исходная задача и определение приближенного решения Метод конечных элементов изложим на примере задачи u′′(x) − q(x)u(x) = −f(x), 0 < x < 1; u(0) = u(1) = 0, (q(x) ≥ 0). (1.1) 13
— 1.2 Понятие о МКЭ — Определение. Классическим решением задачи (1.1) называется непре рывная на [0, 1] и дважды непрерывно дифференцируемая на (0, 1) функция, удовлетворяющая уравнению при x ∈ (0, 1) и граничным условиям. Далее будем использовать обозначение 0 C1[0, 1] для пространства функ ций, непрерывно дифференцируемых на [0, 1] и обращающихся в нуль при x = 0 и x = 1. Определение. Пространством Соболева 0 W 1 2(0, 1) называется пополнение пространства 0 C1[0, 1] по норме ∥v∥ 0 W 1 2(0,1) = 1 0 v2(x) + (v′(x))2dx 1/2 . Замечание. Для классического решения u(x) задачи (1.1) и произволь ной функции v(x) ∈ 0 C1[0, 1] справедливо интегральное тождество 1 0 u′(x)v′(x)dx + 1 0 q(x)u(x)v(x)dx = 1 0 f(x)v(x)dx, (1.2) которое проверяется интегрированием по частям. Определение. Обобщенным решением задачи (1.1) называется функция u(x) ∈ 0 W 1 2(0, 1), удовлетворяющая равенству (1.2) при всех v(x) ∈ 0 W 1 2(0, 1). Введем на отрезке [0, 1] разностную сетку (тем самым разобьем его на элементы — интервалы сетки): Ωh = {0 = x0 < x1 < . . . < xN−1 < xN = 1}; hi = xi − xi−1; i = 1, 2, . . . , N. Определим функции конечноэлементного базиса следующим образом: ϕi(x) = x − xi−1 hi , x ∈ [xi−1, xi]; xi+1 − x hi+1 , x ∈ [xi, xi+1]; 0, x /∈ [xi−1, xi+1]; i = 1, 2, . . . , N − 1. Поскольку ϕi(0) = ϕi(1) = 0, линейная оболочка базисных функций опре деляет конечномерное подпространство HN ∈ 0 W 1 2(0, 1), dim HN = N − 1. Определение. Приближенным решением задачи (1.1) называется функ ция uN(x) ∈ HN, удовлетворяющая равенству (1.2) при всех v(x) ∈ HN. 14
Доступ онлайн
В корзину