Основы теории электричества


Л.Д. КУДРЯВЦЕВ, А.Д. КУТАСОВ, В.И. ЧЕХЛОВ, М.И. ШАБУНИН


        СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ТОМ 3 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ








МОСКВА ФИЗМАТЛИТ®
2018

УДК 517
ББК 22.161

    С23


    Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. В3т.Т.3. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 472 с. — ISBN 978-5-9221-1706-7 (Т. 3).

    Книга является третьей частью трехтомного сборника задач, созданного на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа в Московском физико-техническом институте. В нее включен материал по следующим разделам курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, векторный анализ; интегралы, зависящие от параметра; элементы функционального анализа.
    Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами.
    Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике.


Рецензенты:


заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова академик В.А. Ильин;


профессор МФТИ академик С.М. Никольский

ISBN 978-5-9221-1706-7 (Т. 3)
ISBN 978-5-9221-1705-0

© ФИЗМАТЛИТ, 2016, 2018
© Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов,

В. И. Чехлов, М. И. Шабунин, 2016, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие............................................ 5


ГЛАВА 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Различные типы множеств в n-мерном пространстве... 7
§ 2. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Отображения ............... 22
§ 3. Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцируемые отображения.................. 54
§ 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ряд Тейлора............................ 85
§ 5. Экстремумы функций.............................. 110
§ 6. Геометрические приложения....................... 129


ГЛАВА 2
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 7. Мера Жордана. Измеримые множества............... 145
§ 8. Кратный интеграл Римана и его свойства.......... 158
§ 9. Геометрические и физические приложения кратных интегралов 233
§ 10. Криволинейные интегралы ....................... 255
§ 11. Поверхностные интегралы........................ 278
§ 12. Скалярные и векторные поля..................... 295


ГЛАВА з
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

§ 13. Собственные интегралы, зависящие от параметра.. 324
§ 14. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра......................................... 334

Оглавление


§ 15. Дифференцирование и интегрирование по параметру несобственных интегралов........................................... 346
§ 16. Эйлеровы и некоторые другие интегралы............. 360
§ 17. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье ............. 370


ГЛАВА 4
ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

§ 18. Метрические пространства.......................... 379
§ 19. Нормированные и полунормированные пространства.... 405
§ 20. Гильбертовы пространства ......................... 434
§ 21. Топологические пространства. Обобщенные функции... 450

Список литературы....................................... 467

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Книга является третьей частью сборника задач по курсу математического анализа. В первой главе речь идет о дифференциальном исчислении функций нескольких переменных. Рассматриваются различные типы множеств в n-мерном пространстве, понятия предела, непрерывности. Особое внимание уделяется такому трудному для усвоения понятию, как дифференцируемость функций нескольких переменных, а также проблеме отыскания точек безусловного и условного экстремума.
   Вторая глава посвящена кратным, криволинейным и поверхностным интегралам. Изложение теории кратных интегралов строится на основе меры Жордана. Много внимания уделяется геометрическим и физическим приложениям кратных интегралов, скалярным и векторным полям.
   В третьей главе рассматриваются интегралы, зависящие от параметра. Приведено большое число примеров, связанных с исследованием равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметров. Рассматриваются важные для приложений интегралы Дирихле, Эйлера, Пуассона и др. Отдельный параграф посвящен интегралу Фурье и преобразованию Фурье.
   Материал четвертой главы является введением в функциональный анализ. Исследуются метрические, нормированные и полунор-мированные пространства, а также гильбертовы и топологические пространства. Содержатся начальные сведения об обобщенных функциях.
   При работе над сборником авторы опирались на многолетний опыт преподавания курса математического анализа на кафедре высшей математики Московского физико-технического института. Как и в первых двух частях, весь материал третьей части сборника разбит на параграфы. Каждый параграф содержит: краткий обзор теоретических сведений, необходимых для решения последующих задач; решения типичных задач; упражнения и задачи, снабженные ответами и предназначенные для самостоятельного решения. Включение в сборник сравнительно большого числа подробно решенных задач имеет целью показать студенту оптимальные приемы и методы решения и тем самым дать ему возможность часть материала изучить само-

Предисловие


стоятельно. Следует отметить, что упражнения и задачи, предназначенные для самостоятельного решения, разнообразны не только по тематике и содержанию, но и по степени трудности — от простых, иллюстрирующих те или иные разделы курса, до довольно сложных, требующих от читателя определенной настойчивости, а иногда и некоторой изобретательности. Большой набор упражнений и задач и их разнообразие позволит использовать сборник во втузах и университетах с различными программами по математике. Авторы надеются, что преподаватели найдут в сборнике материал, который смогут использовать на лекциях, семинарских занятиях, консультациях, при составлении заданий для самостоятельной работы студентов, при составлении контрольных работ, на экзаменах.

ГЛАВА 1


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ








§ 1. Различные типы множеств в n-мерном пространстве


  СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ


   1. Пространства Rⁿ. Множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы п действительных чисел, обозначают Rⁿ. В множестве Rⁿ можно ввести понятие расстояния между любыми двумя его элементами. Расстояние между элементами

х = (хр,х₂; ...;хп) и у = (у»;у₂;уп), Xi,yieR, г = 1,2,...,п,

обозначим р(х; у) и определим формулой

р(х;у)

= ^Yl^i-yi)².

(1)

   Множество Rⁿ с введенным в нем расстоянием называют пространством Rⁿ, число п —размерностью пространства Rⁿ. Элемент х = (ж,; х₂;хп) множества Rⁿ называют точкой пространства /?”, число Xi, i = 1,2,      — i-й координатой этой точки. Точки х =
= (0; 0;...; хр...; 0) n-мерного пространства Rⁿ образуют i-ю координатную ось пространства. Точку О = (0;0;...;0) называют началом координат.
   Для точек х = (xi) и у = (у,) одномерного пространства R¹ (/?) формула (1) имеет вид ,
         W              р{х-,у) = \xi-yᵢ\,
поэтому пространство R¹ представляет собой множество действительных чисел, расстояние между которыми измеряется обычным образом, т. е. R¹ — числовая прямая. Пространства R² и R³ — это соответственно плоскость и обычное трехмерное пространство, которые изучаются в элементарной и в аналитической геометрии. Для элементов множества Rⁿ можно ввести понятия суммы элементов и произведения элемента на действительное число: если
ж = (жх;ж₂;ж„), у = (у»;у₂;...;уп), А е/?,

ТО

  х + у = (х₁+у₁;х₂+у₂;...;хп + уп), Хх = (Ажх;Хх₂;...;Ххп). (2)

Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

   Как известно из линейной алгебры, множество Rⁿ, в котором формулами (2) определены сумма и произведение на действительное число, является линейным векторным пространством. Точку х = = (ж,; х₂; •••; хп) пространства Rⁿ в этом случае называют вектором и обозначают иногда х, числа х», i = 1,2, ...,п, называют его координатами в базисе
et = (1; 0;0), ..., е„ = (0;0;1).
Вектор (0;0;...;0) называют нулевым.
   В линейном векторном пространстве Rⁿ можно ввести скалярное произведение (х, у), поставив в соответствие каждым двум векторам х= (хр,х₂; ...;хп) и у = (ух; у₂;у„) число п
(Х,у) = Е^.                           (з)
i=l

   Линейное векторное пространство Rⁿ, для векторов которого формулой (3) определено скалярное произведение, называют п-мерным евклидовым пространством. Число у/(х, х) называют длиной вектора х и обозначают |х|. Векторы х и у называют ортогональными, если (х, у) = 0. Если х и у — ненулевые векторы, то углом между ними называют угол р G [0; 7г] такой, что

cosy? =

(*,У)
1х11у1 '

   2. Различные типы множеств в пространстве Rⁿ. Пусть точка а = (ах; а₂, ■■■; ап) € Rⁿ, 5 > 0. Множество всех точек х = = (хх; х₂,хп) пространства /?”, для которых
\xi - dj| <5, г = 1,2, ...,п,           (5)
называют п-мерным кубом с ребром 2d и с центром в точке а или кубической 5-окрестностью точки а в пространстве Rⁿ.
   Одномерный куб — это интервал длины 2d с центром в точке а, двумерный куб— это квадрат со стороной 2d ис центром в точке а.
   Пусть точка a G Rⁿ, 5 > 0. Множество всех точек х пространства Rⁿ, для которых р(х; а) < 5, называют п-мерным шаром радиуса 5 с центром в точке а или 5-окрестностью точки а в пространстве Rⁿ и обозначают         Таким образом,

Uⁿ(a-,5) = {xeRⁿ: р(х-,а) < 5}.

(6)

   Одномерный шар
U¹{a-,5') = {xeR: |ж - а| < 5}

представляет собой интервал длины 2d с центром в точке а € R; двумерный шар
U² (а; 5) = {х е R²: \/(хх — ах)² + (х₂ — а₂)² <6}

является кругом радиуса 5 с центром в точке а = (ах;а₂) € R².

§1. Различные типы множеств в п-мерном пространстве

9

   Множество Е С Rⁿ называют ограниченным, если существует n-мерный шар, содержащий это множество. Пусть каждому натуральному числу т поставлена в соответствие точка х^ пространства Rⁿ. Упорядоченное множество точек
ж®, х^т\ ...
называют последовательностью точек пространства Rⁿ и обозначают х⁽т\ т € N, или            Последовательность     называют подпоследовательностью последовательности         если су-
ществует такая строго возрастающая последовательность гпр € Л/, что х^"¹^ = у(к\ к € N. Последовательность       называют огра-
ниченной, если множество точек х^т\ т € N, ограниченно.
   Точку a G Rⁿ называют пределом последовательности {а^™)}, если р(а:(™);а) —>■ 0 при т н х. В этом случае пишут lim х<т⁾ = а
и говорят, что последовательность х^ сходится к точке а. Последовательность, которая сходится к некоторой точке, называют сходящейся. Если последовательность не является сходящейся, ее называют расходящейся.
   Последовательность х^ & Rⁿ сходится к точке а тогда и только тогда, когда для любого 5 > 0 существует число mg такое, что для всех т > т§ верно включение х^ € Uⁿ(a;5).
   Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности точек пространства Rⁿ можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
   Последовательность {а:^} точек пространства Rⁿ называют стремящейся к бесконечности и пишут lim х⁽т^ = оо, т—>сю
если р(х^-,О) —>■ +оо при т оо, где О — начало координат.
   Точку множества Е С Rⁿ называют внутренней точкой этого множества в Rⁿ, если в Rⁿ существует 5-окрестность этой точки, содержащаяся в множестве Е. Другими словами, если х — внутренняя точка множества Е G Rⁿ, то существует шар [7"(а:;5) такой, что Uⁿ (аг; 5) С Е.
   Множество, каждая точка которого является его внутренней точкой в Rⁿ, называют открытым в Rⁿ множеством.
   Пространство Rⁿ и пустое множество 0 являются открытыми множествами.
   Любое открытое в Rⁿ множество, содержащее некоторую точку, называют окрестностью этой точки в пространстве Rⁿ. В частности, всякая 5-окрестность точки является окрестностью этой точки.
   Точку хЕ Rⁿ называют точкой прикосновения множества Е G Rⁿ, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку

Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

множества Е.
   Точку х G Е С Rⁿ называют изолированной точкой множества Е, если существует окрестность точки х, не содержащая никаких других точек множества Е, кроме самой точки х.
   Точку х G Rⁿ называют предельной точкой множества Е, если любая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку множества Е, отличную ОТ ТОЧКИ X.
   Точку х G Rⁿ называют граничной точкой множества Е С Rⁿ, если любая ее окрестность содержит точку, принадлежащую множеству Е, и точку, не принадлежащую множеству Е. Множество всех граничных точек множества Е называют его границей и обозначают дЕ.
   Множество называют замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.
   Множество всех точек прикосновения_множества Е называют замыканием множества Е и обозначают Е.
   Множество всех предельных точек множества Е называют его производным множеством и обозначают Е^. Множество Е называют совершенным, если Е^ = Е. Множество всех предельных точек множества Е^ называют вторым производным множеством множества Е и обозначают Е^. По индукции определяют производное множество порядка п и обозначают Е^.
   Расстояние d между непустыми множествами Е± и Е₂ в пространстве Rⁿ определяется формулой
d = d(E₁;E₂) = inf р(х;у).
xGE-l уее₂
   В частности, для расстояния d между точкой х € Rⁿ и непустым множеством Е С Rⁿ получаем
d = d(x; Е) = inf р(х-, у).
УЕЕ
   Диаметром D(E) множества Е С Rⁿ называют sup р(х;х'). х,х'ЕЕ
   Множество Г точек х = (xi; х₂; ■■■; хп) пространства Rⁿ таких, что
         х₁=х₁Д), x₂ = x₂(t),...,xₙ = xₙ(t), te[a;(3],      (10)
где функции Xi(t), г = 1,2, ...,п, непрерывны на отрезке [а;/?], называют непрерывной кривой в пространстве Rⁿ. Уравнения (10) называют параметрическими уравнениями кривой Г, аргумент t называют параметром.
   Если уравнения (10) линейны, т. е.
Xi = ai + ЪД, х₂= а₂+ b₂t, ..., хп = ап + bₙt,

§1. Различные типы множеств в п-мерном пространстве

11

        п
причем 6? > 0, то Г называют прямой в пространстве Rⁿ, если 1=1
t G R, и отрезком в пространстве Rⁿ, если t G [а; /3].
   Множество Е С Rⁿ, любые две точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству, называют линейно связным. Множество, состоящее из одной точки, также считают линейно связным.
   Множество Ес Rⁿ называют областью в пространстве /?”, если Е — открытое в Rⁿ линейно связное множество. Если Е — область, то ее замыкание Е называют замкнутой областью.
   Множества Е± С Rⁿ и Е₂ С Rⁿ называют отделимыми, если ни одно из них не содержит точек прикосновения другого.
   Множество Е С Rⁿ называют связным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух отделимых множеств. Множество Е С Rⁿ, любые две точки которого можно соединить отрезком, принадлежащим этому множеству, называют выпуклым. Множество, содержащее только одну точку, также считают выпуклым. Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество Е С С Rⁿ, называют выпуклой оболочкой множества Е.

   ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
   Пример 1. В пространстве R дано множество Е = (0;l]U{2}. Указать внутренние точки множества Е в пространстве R, а также точки прикосновения, изолированные, предельные и граничные точки множества Е.
   к Внутренними точками являются все точки интервала (0; 1), точками прикосновения — все точки отрезка [0; 1] и точка х = 2. Множество Е имеет одну изолированную точку х = 2. Предельными точками являются все точки отрезка [0; 1], граничными — точки х = 0, х = 1, х = 2. ▲
   Пример 2. Найти расстояние между прямыми Гх С R⁴ и Г₂ С С R⁴, заданными параметрическими уравнениями
          Xi = 1 + 2t, х₂ = —2t, Х3 = 2 + 2t, Х4 = 2t
и
          Xi = 1, х₂ = t, хз = 1 + 2t, Х4 =t, t е R.

Указать точки х° G Гх и у° G Г₂ такие, что
р(х°;у°) =<7(Гх;Г₂).
   ▲ Найдем расстояние между двумя произвольными точками данных прямых:

р(х; у) = 4i² + (2t + т)² + (1 + 2i — 2т)² + (2t — т)² =

= 16i² — 8tr + 6т² + 4i — 4т + 1.

Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Преобразовав подкоренное выражение, получим р(х; у) = \/(4t — т + 1/2)² + 5т² — Зт + 3/4 =

               = ^/(4i - т + 1/2)2 + (рДт - 3/(2д/5))2 + 3/10.
Следовательно, с?(Г1;Г2)= inf р(х; у) = ^/3/10.               
               ®eri                                           
               »ег2                                           
Решив систему  ( 4t --- т + 1/2 = 0,                          
               ( /5т --- 3/(2л/5) =0,                         

найдем t = —1/20, т = 3/10, и, следовательно,
     ,г° = (9/10; -1/10; 19/10; 1/10), у° = (1; 3/10; 8/5; 3/10). ▲

   ЗАДАЧИ


   1.     Доказать, что расстояние р(х;у) между точками пространства /?”, определенное формулой (1), обладает свойствами:
   1)  р(х; у) 'Д 0, причем р(ж; у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
   2)  р(х;у) = р(у;х) для любых х, у е Rⁿ;
   3)     p(x;z) p(x;y) + p(y;z) для любых х, y,z G Rⁿ (неравенство треугольника).
   2.     Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространстве /?”, определенное формулой (3), обладает свойствами (х, у, z G G Rⁿ, Ag R):
   1)     (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда х — нулевой вектор;
   2)    (х,у) = (у,х);
   3)    (Ах, Ау) = А(х, у);
   4)    (x + y,z) = (x,z) + (y,z).
   3.    Доказать:
   1)     для длины вектора х = (xi;Хг-..;хп) в евклидовом пространстве Rⁿ верна формула

Iх! ⁼


   2)    для скалярного произведения векторов х, у € Rⁿ справедливо

неравенство

|(х,у)|    |х| • |у|.

    4.    Найти A G R, при котором векторы а и а + АЬ ортогональны:
    1)  а= (1; 2; 1; 3), Ь= (4; 1; 1; 1);
    2)  а = (1; 2; 3;...; n), b = (n; п — 1; п — 2;...; 1), п > 1.

§1. Различные типы множеств в п-мерном пространстве

13

   5.    В n-мерном евклидовом пространстве дан куб с ребром а.
   Найти:
   1) длину dₙ диагонали куба; 2) lim dₙ; п^ао
   3)  угол ipₙ между диагональю куба и его fc-мерной гранью, к < п;
   4)  lim ipₙ; 5) число вершин куба; п—
   6) число диагоналей куба, ортогональных данной диагонали.
   6. Пусть а = (а±;а2; ■ ■■; ап) (1 R” н д, > (i. i = 1,2, Множество всех точек х = (xi; Х2; ...; хп) пространства /?”, для которых
\xi - аД < di, i = 1,2, ...,n,
называют п-мерным прямоугольным параллелепипедом с ребрами 25 i

и с центром в точке а.
   Доказать, что:
   1)     для любого n-мерного шара с центром в точке а существует n-мерный прямоугольный параллелепипед с центром в точке а, содержащийся в шаре, и, наоборот, для любого n-мерного прямоугольного параллелепипеда с центром в точке а существует n-мерный шар с центром в точке а, содержащийся в параллелепипеде;
   2)     квадрат диагонали n-мерного прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его ребер, выходящих из одной вершины (обобщение теоремы Пифагора).

   7.   Доказать, что для сходимости последовательности х^ = = (^m⁾;4m⁾;...;4m⁾) G Rⁿ к точке а = (сц; а₂;...; aₙ) € Rⁿ необходимо и достаточно, чтобы lim ж-™- = а», г = 1,2, ...,п.
т—¹

   8.    Найти lim аД™), если:
             т—>сю
   1 \ (m) к !----ГТ    /— т-1 2т² — 1 Л 1 \
   1)  х⁽т⁾ = \/т + 1 — у/гп: ---; ---5—; Ц------    ;
             \               т т- \ т / /
   2)  = (^-:(-1)т}:
             \ т          )
             к cosPn sin tpₙ\    .                   ,
   3)  х > = ( ---, где: а) у?п — бесконечно большая по-
             \ <рп <рп )
следовательность; б) <рп — бесконечно малая последовательность, 7^ 0;
   4)  аД™) = (rm cos my?; г™ sin ту?), г,у?е /?;
   5)  х⁽т⁾ = (ml ⁿ-kfr cos — — 1); т Д/г sin — ), г, у? G /?, г > 0.
             \\ mJ                       т)

   9.     Последовательность а:^™) € Rⁿ называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого е > 0 существует такое натуральное число N, что для любого т N и любого к::> N верно неравенство       х^ ) < е.
   Доказать, что для сходимости последовательности точек пространства Rⁿ необходимо и достаточно, чтобы последовательность бы

Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

ла фундаментальной.
  10.    Доказать, что если последовательность   точек прост-
ранства Rⁿ стремится к бесконечности, то:
  1)           l +<х> при т-4оо, где а — любая фиксированная
точка пространства /?”;
   2)           может не существовать координата ж-™-, 1 i Д п, такая, что lim а:-™' = оо. m->oo
   11.    Доказать, что следующие множества являются открытыми в /?":
  1) произвольный n-мерный шар;
  2) произвольный n-мерный куб;
   3)    произвольный n-мерный прямоугольный параллелепипед (см. задачу 6);
   4)    внешность (п — 1)-мерной сферы радиуса 5 с центром в точке а, т. е. множество Е={хЕ Rⁿ: р(х;а) > <5}.
  12.    Является ли открытым в /?”, п > 1, множество всех точек


круга

Е = {х е Rⁿ: xl+x^<6², хг= 0, г = 3,...,п}?


   13.    Пусть /(ж), х € R, — непрерывная функция, у₀ — произвольное фиксированное число. Доказать, что множество решений неравенства /(ж) > у о является открытым в R.
  14.   Пусть Gi, i G N, — произвольные открытые в Rⁿ множества.

т

                                                     оо

Доказать, что в Rⁿ множества Q G, и (J G, являются открытыми.
   15.    Построить последовательность открытых множеств, пересечение которых не является открытым.
   16.    Доказать, что для того, чтобы точка a G Rⁿ была точкой прикосновения множества Е С Rⁿ, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность точек G Е, сходящаяся к а.
   17.    Найти все точки прикосновения множества Е = {ж € R²: Х2 = = sin(l/xi)}, не принадлежащие Е.
   18.    Построить множество, все точки которого изолированные, а множество его предельных точек непустое.
   19.    Доказать, что множество изолированных точек произвольного множества не более чем счетно.
  20.    Верны ли утверждения:
   1)    всякая граничная точка множества является его предельной точкой;
   2)    любая окрестность граничной точки множества содержит как внутренние точки, так и внешние точки этого множества (внешними точками множества называют внутренние точки его дополнения)?

§1. Различные типы множеств в п-мерном пространстве

15

   21.    Построить множество Е, удовлетворяющее следующим трем условиям:
   1) все точки Е изолированные;
   2) предельных точек множество Е не имеет; 3) inf р(х; у) = 0. х,у£Е
   22.    Доказать, что следующие множества являются замкнутыми:
   1) пространство /?”;
   2)    произвольный n-мерный замкнутый шар, т. е. множество всех точек х G Rⁿ таких, что р(х; а) <5;
   3) произвольная (п — 1)-мерная сфера радиуса 5 0 с центром в
точке а, т. е. множество всех точек х G Rⁿ таких, что р(х; а) = 5.
   23.    Даны n-мерный куб с ребром а и n-мерный замкнутый шар радиуса а (см. задачу 22, 2)). Центр куба совпадает с центром шара. При каких значениях п куб содержится в шаре?
   24.    Доказать равносильность следующих определений замкнутого множества: множество называется замкнутым, если оно содержит все свои:
   1) точки прикосновения; 2) предельные точки;
   3) граничные точки.
   25.    Доказать, что дополнение замкнутого множества до всего пространства открыто, а дополнение открытого множества замкнуто.
   26.    Доказать, что если множество G С Rⁿ открытое, a F С Rⁿ замкнутое, то G \ F открытое, a F \ G замкнутое.
   27.    Пусть Fi С Rⁿ, i G Л/, — произвольные замкнутые множества, оо                          т
Доказать, что множества П Fj и П F, являются замкнутыми. i=l                            г=1
   28.    Построить последовательность замкнутых множеств, объединение которых не является замкнутым.
   29.    Пусть /(ж), х € R, — непрерывная функция, у₀ — произвольное фиксированное число. Доказать, что множество решений неравенства /(ж) (г уо является замкнутым.
   30.    Пусть /(ж), х € [0; 1] — непрерывная функция и Еп — множество решений неравенства п f(x) п + 1, п € Л/.
СО
   Доказать, что множество U E^k-i замкнуто.
к=1
   31.    Пусть для функции /(ж), х G [а;Ь], b > а, множества точек, в которых /(ж) у и /(ж) у, при любом у замкнуты. Доказать, что /(ж) непрерывна на отрезке [а; 6].
   32.    Доказать, что при отображении, задаваемом непрерывной функцией /(ж), х € [а;Ь], произвольное замкнутое множество F С С [а; Ь] переводится в замкнутое.

Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

   33.    В пространстве Rⁿ дана последовательность концентрических n-мерных шаров радиусов <5i < d-j < ... < 5р < ...
   Является ли их объединение:
   1) открытым множеством; 2) замкнутым множеством?
   34.    В пространстве Rⁿ дана последовательность концентрических (п — 1)-мерных сфер (см. задачу 22, 3)) радиусов
<51 < §2 < ••• < < ...
   Является ли их объединение замкнутым множеством?
   35.    Доказать, что замыкание Е произвольного множества Е С Rⁿ замкнуто.
   36.    Доказать, что граница дЕ произвольного множества Е С Rⁿ является замкнутым множеством.
   37.    Привести пример замкнутого множества F, не равного замыканию множества внутренних точек F.
   38.    Привести пример открытого в R² множества G, не равного множеству внутренних точек его замыкания G.
   39.    Для каких множеств Е С Rⁿ (открытых, замкнутых, произвольных) верны следующие утверждения:
   1) Е С Ё- 2) ЕЁ: 3) дЕ С Ё- 4) Е'ГЕ 0-
   5) д(дЕ) = дЕ- 6) д(дЕ) с дЕ- Г) д{д{дЕ)) = д(дЕ)-
   8) если G Е и lim х^ = а, то a G Е?

   40.    Доказать, что для произвольных множеств Ei С Rⁿ, i € Л/, верна формула:
      т          т      <х>    <х>  
   1)  и Ei = U Ei-, 2) U Ei D U Ei. i=i      i=i         i=i    i=i
   41.    Построить последовательность множеств, для которых замыкание их объединения не равно объединению замыканий.
   42.    Доказать, что множество является совершенным тогда и только тогда, когда оно замкнуто и не имеет изолированных точек.
   43.    Доказать, что производное множество любого множества замкнуто.
   44.    Построить множество Е, для которого производное множество Е^ непустое, а второе производное множество Е^ пустое.
   45.    Доказать, что для любого множества Е верны включения £■(!) D £-(2) D ... D E(k) D ..., где £(«
        — производное множество порядка к.
   46.    Пусть Е — множество всех точек х поверхности Земли (Земля считается шаром), которые обладают свойством: если из точки х пройти 7 км на север, затем 7 км на запад и, наконец, 7 км на юг, то

§1. Различные типы множеств в п-мерном пространстве

17

окажешься снова в точке х. Доказать, что множество Е не является замкнутым. Найти замыкание Е и производное множество Е^.
   47.    В пространстве R построим множество С следующим образом. Из отрезка [0; 1] удалим интервал (1/3; 2/3). Каждый из двух оставшихся отрезков разделим на три равные части и удалим средние интервалы (1/9; 2/9) и (7/9; 8/9). Затем каждый из оставшихся четырех интервалов делим на три равные части и средние интервалы удаляем. В результате неограниченного продолжения этого процесса деления оставшихся отрезков на три равные части и удаления средних интервалов получим подмножество С точек отрезка [0; 1], которое называют канторовым множеством.
   Доказать, что:
   1) множество С является замкнутым и совершенным;
   2)    сумма длин интервалов, удаленных при построении множества С, равна длине отрезка [0; 1];
   3) множество С имеет мощность континуума.
   48.    Пусть С — дополнение канторова множества С (см. задачу 47) до отрезка [0,1]. Доказать, что множество
                  S = ([0; 1] х [0; 1]) \ (С" х С"), называемое ковром Серпинского, совершенно.
   49.    Доказать, что множество всех чисел х € [0; 1], в представлении которых десятичной дробью отсутствуют цифры 4 и 5, является совершенным.

   50.    Доказать, что если множества и 7*2 непустые, замкнутые и хотя бы одно из них ограничено, то существуют такие точки х G 7*1

и у е 7ф, что

<7(7^1 ;7ф) = р(х; у).

   51.    Доказать, что если множества Е± и 7*2 непустые, замкнутые, непересекающиеся и хотя бы одно из них ограничено, то
d(F₁-,F₂) > 0.

   52.   Найти расстояние между непустыми замкнутыми непересе-кающимися множествами: гиперболой
7*1 = {ж G R²: х±х₂ = 1}

и прямой

7*2 = {ж G R²: х₂ = 0}.

   53.     Доказать, что для любого непустого множества Е G Rⁿ и любого числа е > 0 множество всех точек х G Rⁿ, для которых d(x; Е) < < г, является открытым в Rⁿ.
   54.     Доказать, что для любых непустых множеств Е± С Rⁿ и Е₂ С С Rⁿ верны равенства
<7(7?1; Е₂) = d(E\; Е₂) = <7(7?1; Е₂) = <7(7?1; Т?2).

2 Под ред. Л.Д.Кудрявцева, т. 3