Сборник задач по математическому анализу. Том 3. Функции нескольких переменных


Л.Д. КУДРЯВЦЕВ, А.Д. КУТАСОВ, В.И. ЧЕХЛОВ, М.И. ШАБУНИН


СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ТОМ 3 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ








МОСКВА ФИЗМАТЛИТ®
2018

УДК 517
ББК 22.161

    С23


    Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. В3т.Т.3. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 472 с. — ISBN 978-5-9221-1706-7 (Т. 3).

    Книга является третьей частью трехтомного сборника задач, созданного на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа в Московском физико-техническом институте. В нее включен материал по следующим разделам курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, векторный анализ; интегралы, зависящие от параметра; элементы функционального анализа.
    Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами.
    Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике.


Рецензенты:


заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова академик В.А. Ильин;


профессор МФТИ академик С.М. Никольский

ISBN 978-5-9221-1706-7 (Т. 3)
ISBN 978-5-9221-1705-0

© ФИЗМАТЛИТ, 2016, 2018
© Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов,

В. И. Чехлов, М. И. Шабунин, 2016, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие............................................ 5


ГЛАВА 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Различные типы множеств в n-мерном пространстве... 7
§ 2. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Отображения ............... 22
§ 3. Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцируемые отображения.................. 54
§ 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ряд Тейлора............................ 85
§ 5. Экстремумы функций.............................. 110
§ 6. Геометрические приложения....................... 129


ГЛАВА 2
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 7. Мера Жордана. Измеримые множества............... 145
§ 8. Кратный интеграл Римана и его свойства.......... 158
§ 9. Геометрические и физические приложения кратных интегралов 233
§ 10. Криволинейные интегралы ....................... 255
§ 11. Поверхностные интегралы........................ 278
§ 12. Скалярные и векторные поля..................... 295


ГЛАВА з
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

§ 13. Собственные интегралы, зависящие от параметра.. 324
§ 14. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра......................................... 334

Оглавление


§ 15. Дифференцирование и интегрирование по параметру несобственных интегралов........................................... 346
§ 16. Эйлеровы и некоторые другие интегралы............. 360
§ 17. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье ............. 370


ГЛАВА 4
ВВЕДЕНИЕ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

§ 18. Метрические пространства.......................... 379
§ 19. Нормированные и полунормированные пространства.... 405
§ 20. Гильбертовы пространства ......................... 434
§ 21. Топологические пространства. Обобщенные функции... 450

Список литературы....................................... 467

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Книга является третьей частью сборника задач по курсу математического анализа. В первой главе речь идет о дифференциальном исчислении функций нескольких переменных. Рассматриваются различные типы множеств в n-мерном пространстве, понятия предела, непрерывности. Особое внимание уделяется такому трудному для усвоения понятию, как дифференцируемость функций нескольких переменных, а также проблеме отыскания точек безусловного и условного экстремума.
   Вторая глава посвящена кратным, криволинейным и поверхностным интегралам. Изложение теории кратных интегралов строится на основе меры Жордана. Много внимания уделяется геометрическим и физическим приложениям кратных интегралов, скалярным и векторным полям.
   В третьей главе рассматриваются интегралы, зависящие от параметра. Приведено большое число примеров, связанных с исследованием равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметров. Рассматриваются важные для приложений интегралы Дирихле, Эйлера, Пуассона и др. Отдельный параграф посвящен интегралу Фурье и преобразованию Фурье.
   Материал четвертой главы является введением в функциональный анализ. Исследуются метрические, нормированные и полунор-мированные пространства, а также гильбертовы и топологические пространства. Содержатся начальные сведения об обобщенных функциях.
   При работе над сборником авторы опирались на многолетний опыт преподавания курса математического анализа на кафедре высшей математики Московского физико-технического института. Как и в первых двух частях, весь материал третьей части сборника разбит на параграфы. Каждый параграф содержит: краткий обзор теоретических сведений, необходимых для решения последующих задач; решения типичных задач; упражнения и задачи, снабженные ответами и предназначенные для самостоятельного решения. Включение в сборник сравнительно большого числа подробно решенных задач имеет целью показать студенту оптимальные приемы и методы решения и тем самым дать ему возможность часть материала изучить само-

Предисловие


стоятельно. Следует отметить, что упражнения и задачи, предназначенные для самостоятельного решения, разнообразны не только по тематике и содержанию, но и по степени трудности — от простых, иллюстрирующих те или иные разделы курса, до довольно сложных, требующих от читателя определенной настойчивости, а иногда и некоторой изобретательности. Большой набор упражнений и задач и их разнообразие позволит использовать сборник во втузах и университетах с различными программами по математике. Авторы надеются, что преподаватели найдут в сборнике материал, который смогут использовать на лекциях, семинарских занятиях, консультациях, при составлении заданий для самостоятельной работы студентов, при составлении контрольных работ, на экзаменах.

ГЛАВА 1


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ








§ 1. Различные типы множеств в n-мерном пространстве


  СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ


   1. Пространства Rⁿ. Множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы п действительных чисел, обозначают Rⁿ. В множестве Rⁿ можно ввести понятие расстояния между любыми двумя его элементами. Расстояние между элементами

х = (хр,х₂; ...;хп) и у = (у»;у₂;уп), Xi,yieR, г = 1,2,...,п,

обозначим р(х; у) и определим формулой

р(х;у)

= ^Yl^i-yi)².

(1)

   Множество Rⁿ с введенным в нем расстоянием называют пространством Rⁿ, число п —размерностью пространства Rⁿ. Элемент х = (ж,; х₂;хп) множества Rⁿ называют точкой пространства /?”, число Xi, i = 1,2,      — i-й координатой этой точки. Точки х =
= (0; 0;...; хр...; 0) n-мерного пространства Rⁿ образуют i-ю координатную ось пространства. Точку О = (0;0;...;0) называют началом координат.
   Для точек х = (xi) и у = (у,) одномерного пространства R¹ (/?) формула (1) имеет вид ,
         W              р{х-,у) = \xi-yᵢ\,
поэтому пространство R¹ представляет собой множество действительных чисел, расстояние между которыми измеряется обычным образом, т. е. R¹ — числовая прямая. Пространства R² и R³ — это соответственно плоскость и обычное трехмерное пространство, которые изучаются в элементарной и в аналитической геометрии. Для элементов множества Rⁿ можно ввести понятия суммы элементов и произведения элемента на действительное число: если
ж = (жх;ж₂;ж„), у = (у»;у₂;...;уп), А е/?,

ТО

  х + у = (х₁+у₁;х₂+у₂;...;хп + уп), Хх = (Ажх;Хх₂;...;Ххп). (2)

Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

   Как известно из линейной алгебры, множество Rⁿ, в котором формулами (2) определены сумма и произведение на действительное число, является линейным векторным пространством. Точку х = = (ж,; х₂; •••; хп) пространства Rⁿ в этом случае называют вектором и обозначают иногда х, числа х», i = 1,2, ...,п, называют его координатами в базисе
et = (1; 0;0), ..., е„ = (0;0;1).
Вектор (0;0;...;0) называют нулевым.
   В линейном векторном пространстве Rⁿ можно ввести скалярное произведение (х, у), поставив в соответствие каждым двум векторам х= (хр,х₂; ...;хп) и у = (ух; у₂;у„) число п
(Х,у) = Е^.                           (з)
i=l

   Линейное векторное пространство Rⁿ, для векторов которого формулой (3) определено скалярное произведение, называют п-мерным евклидовым пространством. Число у/(х, х) называют длиной вектора х и обозначают |х|. Векторы х и у называют ортогональными, если (х, у) = 0. Если х и у — ненулевые векторы, то углом между ними называют угол р G [0; 7г] такой, что

cosy? =

(*,У)
1х11у1 '

   2. Различные типы множеств в пространстве Rⁿ. Пусть точка а = (ах; а₂, ■■■; ап) € Rⁿ, 5 > 0. Множество всех точек х = = (хх; х₂,хп) пространства /?”, для которых
\xi - dj| <5, г = 1,2, ...,п,           (5)
называют п-мерным кубом с ребром 2d и с центром в точке а или кубической 5-окрестностью точки а в пространстве Rⁿ.
   Одномерный куб — это интервал длины 2d с центром в точке а, двумерный куб— это квадрат со стороной 2d ис центром в точке а.
   Пусть точка a G Rⁿ, 5 > 0. Множество всех точек х пространства Rⁿ, для которых р(х; а) < 5, называют п-мерным шаром радиуса 5 с центром в точке а или 5-окрестностью точки а в пространстве Rⁿ и обозначают         Таким образом,

Uⁿ(a-,5) = {xeRⁿ: р(х-,а) < 5}.

(6)

   Одномерный шар
U¹{a-,5') = {xeR: |ж - а| < 5}

представляет собой интервал длины 2d с центром в точке а € R; двумерный шар
U² (а; 5) = {х е R²: \/(хх — ах)² + (х₂ — а₂)² <6}

является кругом радиуса 5 с центром в точке а = (ах;а₂) € R².

§1. Различные типы множеств в п-мерном пространстве

9

   Множество Е С Rⁿ называют ограниченным, если существует n-мерный шар, содержащий это множество. Пусть каждому натуральному числу т поставлена в соответствие точка х^ пространства Rⁿ. Упорядоченное множество точек
ж®, х^т\ ...
называют последовательностью точек пространства Rⁿ и обозначают х⁽т\ т € N, или            Последовательность     называют подпоследовательностью последовательности         если су-
ществует такая строго возрастающая последовательность гпр € Л/, что х^"¹^ = у(к\ к € N. Последовательность       называют огра-
ниченной, если множество точек х^т\ т € N, ограниченно.
   Точку a G Rⁿ называют пределом последовательности {а^™)}, если р(а:(™);а) —>■ 0 при т н х. В этом случае пишут lim х<т⁾ = а
и говорят, что последовательность х^ сходится к точке а. Последовательность, которая сходится к некоторой точке, называют сходящейся. Если последовательность не является сходящейся, ее называют расходящейся.
   Последовательность х^ & Rⁿ сходится к точке а тогда и только тогда, когда для любого 5 > 0 существует число mg такое, что для всех т > т§ верно включение х^ € Uⁿ(a;5).
   Теорема (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности точек пространства Rⁿ можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
   Последовательность {а:^} точек пространства Rⁿ называют стремящейся к бесконечности и пишут lim х⁽т^ = оо, т—>сю
если р(х^-,О) —>■ +оо при т оо, где О — начало координат.
   Точку множества Е С Rⁿ называют внутренней точкой этого множества в Rⁿ, если в Rⁿ существует 5-окрестность этой точки, содержащаяся в множестве Е. Другими словами, если х — внутренняя точка множества Е G Rⁿ, то существует шар [7"(а:;5) такой, что Uⁿ (аг; 5) С Е.
   Множество, каждая точка которого является его внутренней точкой в Rⁿ, называют открытым в Rⁿ множеством.
   Пространство Rⁿ и пустое множество 0 являются открытыми множествами.
   Любое открытое в Rⁿ множество, содержащее некоторую точку, называют окрестностью этой точки в пространстве Rⁿ. В частности, всякая 5-окрестность точки является окрестностью этой точки.
   Точку хЕ Rⁿ называют точкой прикосновения множества Е G Rⁿ, если любая окрестность этой точки содержит хотя бы одну точку

Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

множества Е.
   Точку х G Е С Rⁿ называют изолированной точкой множества Е, если существует окрестность точки х, не содержащая никаких других точек множества Е, кроме самой точки х.
   Точку х G Rⁿ называют предельной точкой множества Е, если любая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку множества Е, отличную ОТ ТОЧКИ X.
   Точку х G Rⁿ называют граничной точкой множества Е С Rⁿ, если любая ее окрестность содержит точку, принадлежащую множеству Е, и точку, не принадлежащую множеству Е. Множество всех граничных точек множества Е называют его границей и обозначают дЕ.
   Множество называют замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.
   Множество всех точек прикосновения_множества Е называют замыканием множества Е и обозначают Е.
   Множество всех предельных точек множества Е называют его производным множеством и обозначают Е^. Множество Е называют совершенным, если Е^ = Е. Множество всех предельных точек множества Е^ называют вторым производным множеством множества Е и обозначают Е^. По индукции определяют производное множество порядка п и обозначают Е^.
   Расстояние d между непустыми множествами Е± и Е₂ в пространстве Rⁿ определяется формулой
d = d(E₁;E₂) = inf р(х;у).
xGE-l уее₂
   В частности, для расстояния d между точкой х € Rⁿ и непустым множеством Е С Rⁿ получаем
d = d(x; Е) = inf р(х-, у).
УЕЕ
   Диаметром D(E) множества Е С Rⁿ называют sup р(х;х'). х,х'ЕЕ
   Множество Г точек х = (xi; х₂; ■■■; хп) пространства Rⁿ таких, что
         х₁=х₁Д), x₂ = x₂(t),...,xₙ = xₙ(t), te[a;(3],      (10)
где функции Xi(t), г = 1,2, ...,п, непрерывны на отрезке [а;/?], называют непрерывной кривой в пространстве Rⁿ. Уравнения (10) называют параметрическими уравнениями кривой Г, аргумент t называют параметром.
   Если уравнения (10) линейны, т. е.
Xi = ai + ЪД, х₂= а₂+ b₂t, ..., хп = ап + bₙt,

§1. Различные типы множеств в п-мерном пространстве

11

        п
причем 6? > 0, то Г называют прямой в пространстве Rⁿ, если 1=1
t G R, и отрезком в пространстве Rⁿ, если t G [а; /3].
   Множество Е С Rⁿ, любые две точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству, называют линейно связным. Множество, состоящее из одной точки, также считают линейно связным.
   Множество Ес Rⁿ называют областью в пространстве /?”, если Е — открытое в Rⁿ линейно связное множество. Если Е — область, то ее замыкание Е называют замкнутой областью.
   Множества Е± С Rⁿ и Е₂ С Rⁿ называют отделимыми, если ни одно из них не содержит точек прикосновения другого.
   Множество Е С Rⁿ называют связным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух отделимых множеств. Множество Е С Rⁿ, любые две точки которого можно соединить отрезком, принадлежащим этому множеству, называют выпуклым. Множество, содержащее только одну точку, также считают выпуклым. Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество Е С С Rⁿ, называют выпуклой оболочкой множества Е.

   ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ
   Пример 1. В пространстве R дано множество Е = (0;l]U{2}. Указать внутренние точки множества Е в пространстве R, а также точки прикосновения, изолированные, предельные и граничные точки множества Е.
   к Внутренними точками являются все точки интервала (0; 1), точками прикосновения — все точки отрезка [0; 1] и точка х = 2. Множество Е имеет одну изолированную точку х = 2. Предельными точками являются все точки отрезка [0; 1], граничными — точки х = 0, х = 1, х = 2. ▲
   Пример 2. Найти расстояние между прямыми Гх С R⁴ и Г₂ С С R⁴, заданными параметрическими уравнениями
          Xi = 1 + 2t, х₂ = —2t, Х3 = 2 + 2t, Х4 = 2t
и
          Xi = 1, х₂ = t, хз = 1 + 2t, Х4 =t, t е R.

Указать точки х° G Гх и у° G Г₂ такие, что
р(х°;у°) =<7(Гх;Г₂).
   ▲ Найдем расстояние между двумя произвольными точками данных прямых:

р(х; у) = 4i² + (2t + т)² + (1 + 2i — 2т)² + (2t — т)² =

= 16i² — 8tr + 6т² + 4i — 4т + 1.

Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Преобразовав подкоренное выражение, получим р(х; у) = \/(4t — т + 1/2)² + 5т² — Зт + 3/4 =

               = ^/(4i - т + 1/2)2 + (рДт - 3/(2д/5))2 + 3/10.
Следовательно, с?(Г1;Г2)= inf р(х; у) = ^/3/10.               
               ®eri                                           
               »ег2                                           
Решив систему  ( 4t --- т + 1/2 = 0,                          
               ( /5т --- 3/(2л/5) =0,                         

найдем t = —1/20, т = 3/10, и, следовательно,
     ,г° = (9/10; -1/10; 19/10; 1/10), у° = (1; 3/10; 8/5; 3/10). ▲

   ЗАДАЧИ


   1.     Доказать, что расстояние р(х;у) между точками пространства /?”, определенное формулой (1), обладает свойствами:
   1)  р(х; у) 'Д 0, причем р(ж; у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
   2)  р(х;у) = р(у;х) для любых х, у е Rⁿ;
   3)     p(x;z) p(x;y) + p(y;z) для любых х, y,z G Rⁿ (неравенство треугольника).
   2.     Доказать, что скалярное произведение в евклидовом пространстве /?”, определенное формулой (3), обладает свойствами (х, у, z G G Rⁿ, Ag R):
   1)     (x, x) 0, причем (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда х — нулевой вектор;
   2)    (х,у) = (у,х);
   3)    (Ах, Ау) = А(х, у);
   4)    (x + y,z) = (x,z) + (y,z).
   3.    Доказать:
   1)     для длины вектора х = (xi;Хг-..;хп) в евклидовом пространстве Rⁿ верна формула

Iх! ⁼


   2)    для скалярного произведения векторов х, у € Rⁿ справедливо

неравенство

|(х,у)|    |х| • |у|.

    4.    Найти A G R, при котором векторы а и а + АЬ ортогональны:
    1)  а= (1; 2; 1; 3), Ь= (4; 1; 1; 1);
    2)  а = (1; 2; 3;...; n), b = (n; п — 1; п — 2;...; 1), п > 1.