Обобщенная математическая модель пространственного перемещения бурового судна


НАУЧНАЯ

КНИГА

В.А. Крамарь
В.Р. Душко
В.В. Душко


ОБОБЩЕННАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ БУРОВОГО СУДНА


Монография






znanium.com
Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК ИНФРА-М 2019

  УДК 629.1(075.4)
  ББК 39.4

       К77


        Авторы:
           Крамарь Вадим Александрович — доктор технических наук, профессор;
           Душко Вероника Ростиславовна — кандидат технических наук, доцент;
           Душко Виталий Валерьевич — старший преподаватель Севастопольского государственного университета

        Рецензенты:
             Скатков А.В. — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Информационные технологии и компьютерные системы» Севастопольского государственного университета;
           Харланов А.И. — кандидат технических наук, доцент, доцент Черноморского высшего военно-морского ордена Красной звезды училища им. П.С. Нахимова



        Крамарь В.А.
  К77 Обобщенная математическая модель пространственного перемещения бурового судна : монография / В.А. Крамарь, В.Р. Душко, В.В. Душко. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 118 с. — (Научная книга).

           ISBN 978-5-9558-0591-7 (Вузовский учебник)
           ISBN 978-5-16-013053-8 (ИНФРА-М, print)
           ISBN 978-5-16-106105-3 (ИНФРА-М, online)

            Рассматривается методика построения обобщенной математической модели пространственного перемещения бурового судна, учитывающей взаимное влияние различных видов движения, а также изменение параметров судна в зависимости от вида выполняемой работы.
            Предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов машиностроительных и приборостроительных специальностей вузов, а также слушателей отделений переподготовки и повышения квалификации в области систем управления, а также океанотехники и кораблестроения.



                                                             УДК 629.1(075.4)
ББК 39.4





ISBN 978-5-9558-0591-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-013053-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106105-3 (ИНФРА-М, online)

                                             © Крамарь В.А., Душко В.Р., Душко В.В., 2017

                                               © Вузовский учебник, 2017

    Ведение

   В мировой практике для бурения на море с целью разведки или добычи полезных ископаемых используются суда различных конструкций и водоизмещения. Некоторые из них имеют системы автоматического удержания над точкой бурения (системы динамического позиционирования). Сведения о математическом описании бурового судна как объекта управления системы автоматического удержания, содержащиеся в работах [1-4], не содержат аналитических зависимостей гидроаэроди-намических характеристик и не позволяют выявить принципы построения таких систем.
   При разработке системы автоматического удержания бурового судна существенными являются следующие вопросы: разработка математических моделей буровых судов, которые учитывали бы специфические особенности конструкций судов, бурового оборудования и технологических процессов при выполнении буровых работ; получение расчетных соотношений для вычисления внешних сил и моментов, действующих на буровое судно, при его пространственном перемещении с учетом ветра, течения, волнения моря; исследование динамики пространственного перемещения бурового судна в режиме удержания; выбор средств активного управления и получение расчетных соотношений для определения сил упоров активных средств управления, необходимых для удержания судна над заданной точкой в каждый момент времени; разработка принципов построения измерительной системы по определению горизонтальных смещений бурового судна в неподвижной или связанной с судном системе координат; выбор контролируемых параметров и определение требуемой точности их измерения; определение структуры системы автоматического удержания бурового судна.
   Движение бурового судна при удержании его над точкой бурения определяется не только видом и характером внешних воздействий (ветра, течения, волнения моря, сил упоров активных средств управления), но и видом производимых работ, так как последние могут изменять динамические характеристики судна в целом. В связи с этим все время, в течение которого судно должно удерживаться в заданной точке, удобно разделить на четыре периода: начальный, подготовительный, бурение, конечный.
   В начальный период судно ориентируется над точкой бурения, производится настройка системы удержания и удержание судна над выбранной точкой бурения. В этот период процесс удержания не сопровождается работами, связанными со значительными перемещениями масс грузов на судне. С точки зрения динамики движения в этот период должно рассматриваться собственно буровое судно с его характерными конструктивными особенностями.
   В подготовительный период процесс удержания бурового судна над точкой бурения сопровождается технологическим процессом опускания буровой колонны труб. Последнее приводит к перемещению значительных масс грузов на судне и может привести к изменению гидродинами

3

ческих характеристик судна во времени, моментов инерции относительно координатных осей. Динамика бурового судна должна описываться в этом случае уравнениями с переменными во времени коэффициентами.
   В период бурения процесс удержания судна сопровождается перераспределением масс грузов вследствие погружения части буровых труб в грунт и изменения массы судна, так как часть веса труб будет ложиться на грунт. Динамика бурового судна должна описываться уравнениями с переменными коэффициентами, отличными от подготовительного периода.
   Конечный период характеризуется подъемом бурового оборудования. При этом может происходить перераспределение и изменение массы, изменение гидродинамических характеристик судна, противоположные изменениям в период бурения и период опускания бурового оборудования.
   Таким образом, буровое судно в процессе удержания над точкой бурения может иметь пять отличных друг от друга динамических моделей. Все характерные особенности бурового судна при удержании его над точкой бурения выявляются в подготовительный период и период бурения. Поэтому эти две модели представляют наибольший интерес. Они позволяют выяснить влияние проводимых буровых работ на динамику движения судна в режиме удержания.

    Глава 1
    Система координат


   Введем в рассмотрение следующие системы координат, характеризующие положение судна в пространстве: неподвижную в пространстве систему координат O^n^ и связанные с судном системы координат OZnZ, O-ViZ, и Gxyz.
   Плоскость O ^Пх неподвижной системы координат совпадает с невозмущенной свободной поверхностью жидкости, ось OZ1 направлена вниз вдоль направления скважины. Когда судно находится в исходном положении равновесия, ось OZ1 проходит через точку, совпадающую с центром тяжести груженого судна, а ось O^ параллельна центральной продольной оси судна.
   Система Gt,nZ связана с центром тяжести судна G в исходном состоянии таким образом, что оси координат остаются во время движения судна параллельными осям системы O^nZr
   Плоскость OХ У1 связанной с судном системы координат OХЛ Z совпадает с плоскостью ватерлинии равновесия судна, а ось Oz проходит через его центр тяжести. При этом предполагается, что крен судна и его дифферент не изменяются.
   Система координат Gxyz также связана с судном. Оси ее параллельны осям системы O лщzₓ. Описанные выше координатные системы изображены на рис. 1.1.


Рис. 1.1. Координатные системы

   Формулы перехода от неподвижных систем координат O^₁nZ₁ к подвижным Gxyz и наоборот имеют вид


5

                             Z1 = Zg + ax + by + Cz, П=Пg + 02 x + Ь У + C z,                             (1.1)
                             Zi = Zg + 0 x + Ь y + c z;
x = a^i - Zg) + a2 (n - ng) + a (^ - zg),
                    У = b⁽Z- -Zg) + Ь2⁽П1 -ng) + Ьз⁽Z1 -zg),                      ⁽¹.²⁾
                    z = C ⁽Z1 - Zg) + c2⁽П1 - ng) + C⁽Z1 - zg).

   Здесь Zg ,ng ,Zg — координаты центра тяжести судна в неподвижной системе координат (см. рис. 1.1), ai, bi, ci (i = 1,2,3) — косинусы углов между осями систем Gxyz и GZn Z•
   Введем в рассмотрение эйлеровы углы следующим образом. Пересечение координатных плоскостей Z Gn и yGz дает линию «узлов» GN. Плоскость Z Gx перпендикулярна этой линии. Тогда тремя эйлеровыми углами будут углы 0, у и ф.
   Угол 0 лежит в плоскости yGz между осью Gy и линией GN и определяет угол крена судна. Положительное значение 0 соответству-d0
ет крену на правый борт. Вектор угловой скорости — направлен по оси
Gx.

   Угол у лежит в плоскости Z Gx, а угол П + у равен углу, образованному осями GZ и Gx, и получается вращением подвижной системы осей вокруг линии GN. Угол у приблизительно равен углу дифферента судна. Положительный дифферент судна - на корму. Вектор угловой d У
скорости -j- направлен по оси GN .
   Угол ф лежит в плоскости Z GN между осью Gn и линией GN и определяет угол рыскания судна. Положительному значению его соЛ d d d d           d d Л ™ d d- d dddd                    dф
ответствует поворот судна  вправо. Вектор угловой скорости  —L
                                                     ¹ dt направлен по оси GZ.
   Коэффициенты ai, bi, ci (i = 1,2,3) выражаются через введенные выше углы 0, у и ф с помощью следующих формул:

6

              a1 = cos( x ,^) = cos ф cos y,
              a₂ = cos( x ,n) = sin фcos y,
              a3 = cos( x ,Z) = sin y,
              b1 = cos(y,£,) = sin0cosфsiny - cos0sinф,
              b₂ = cos( y ,n) = cos 0 cos ф + sin 0sin фsin y,   (1.3)
              b₃ = cos( y ,Z) = sin 0 cos ф,
              c1 = cos( z Л) = cos 0 cos ф sin y + sin 0 sin ф, c2 = cos(z,n) = cos 0sinфsin y - sin 0cos ф, c3 = cos( z ,Z) = cos 0 cos y.
   Корабельная система координат приведена на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Корабельная система координат

   Выражения для проекций мгновенной угловой скорости на подвижные оси координат имеют вид:


d 0          d y          d ф
(<( = —, Ч = —, Ч = — dt у dt dt

(1.4)

    Глава 2
    Общие соотношения

    2.1. Общие соотношения


   Движение судна можно представить состоящим из поступательного перемещения вместе с началом G системы координат, жестко связанной с судном, и вращения вокруг точки G. Уравнения движения судна состоят из уравнения движения точки G, совпадающей в начальный момент с центром тяжести судна, уравнений вращательного движения относительно точки G и уравнения смещения центра тяжести судна в процессе производства буровых работ.
   Рассматриваем движение судна на свободной бесконечной поверхности жидкости. Пренебрегаем вязкостью жидкости (идеальная жидкость). Для получения уравнения движения твердого тела в идеальной безграничной жидкости будем рассматривать движение системы тело + жидкость в пустоте [6]. Уравнения движения рассматриваемой системы можно записать в виде


                           dR = d (Q + B) = F + ? dt         dt
                         dN d (K + I)           .-.   .-..
                                        = —          = = M + M dt-----------dt

(2.1)

где Q и B - главные ^векторы количества движения соответственно судна и жидкости; K и I - главные моменты количества движения соответственно судна и жидкости относительно начала координат; F₄- главный вектор внешних сил; M - главный момент внешних сил; F - вектор количества движения частиц, отбрасываемых с поверхности тела в единицу времени; M - вектор момента количества движения частиц, отбрасываемых в единицу времени.
   Векторы F и M запишем в следующем виде



M = &* dmЧ,, Zi             dt
F = £% fV ■ v=1 dt

(2.2)



где u - абсолютная скорость частиц, отбрасываемых точкой с массой mᵥ; f - радиус вектор точки mᵥ относительно неподвижной системы

координат ПС|Г||^| (плоскость которой совпадает с невозмущенной свободной поверхностью жидкости, а одна из осей направлена вниз вдоль направления скважины).
   Для скорости Ч можно записать


= = и + Щ + г,

8

или в проекциях на оси подвижной системы координат:


«Vx   =  Ugx ⁺ °y*   =  Ugx  ⁺ VZv ,
                           « У   =  Ugy — ®xZ    =  Ugy e * ’
                           «V z = Ugz ■

(2.3)

   Получая из выражения (2.2) формулы для проекций количества движения и момента количества движения частиц, отбрасываемых с поверхности тела в единицу времени Fx, Fy , F* , Mₓ, M M*

F = (tdmv« У       7^ V ’x
     V=i dt
F = "dm« y   (t dt v)y
f ■ dtd^)■
     V=1 d
m. ■ (tmn >
     V =1 dt
     dm d e 2 ⁺ ~r ~tf , dt dt
My ■ (t dm
     d	m d v 2 dt dt c

■ \dm( и
£ dt ’ = t dm <’.
■ t dmu

dm


            ;⁺V *) = gx ⁺


dm
■⁺e zv) ■ ~л vgy —
  dm
= ~л ug* ’

 nF mm    ■
= £ F⁽⁻uy⁺ e z⁾ =

dm d V Z Z zc, dt dt
dm de
  / T~ Z , dt dt

dm
~di UgyZc ⁺

(2.4)

dm
⁺ VZ) ■ -~d7u■■'■ ⁺ dt

и )
v Л

«)
V\ /1

dm .
= £ F''”gy



   Mz ■ (tdmF x «V)z ■ iLdm-(x«y — yvuvx) ■ ⁰ V=1 dt            v=1 dt

и переходя к системе координат, неразрывно связанной с телом, вместо соотношения (2.1) получим


                         dR         -     -     n
                         W⁻ v   —-  у*    -у—г  I F*
                         — + fflxR ■ F + F , dt —»
dN -                   —     -      - -
                         —+ <——> х N + - х R ■ M + M \ dt

(2.5)

где - - вектор скорости начала координат подвижной системы; 0) - вектор угловой скорости вращения тела.

9

   Записывая выражение (2.5) в проекциях на координатные оси системы координат Qxyz, связанной с судном, в которой плоскость Oxy совпадает с плоскостью ватерлинии равновесия судна, а ось Oz проходит через его центр тяжести, получаем общие уравнения движения твердого тела

          dRx/dt + 0R -oR = Fx + Fₓ, dRy/dt + ®zRx — OR = Fy + Fy, dRz/dt + ®xR - oyR = Fz + Fz, dNx/dt + OyN - ®zN + иyRz - uzRy = Mx + MX, dNy/dt + oN — oN + uzRx - иxRz = My + My, dNz/dt + ®xNy — ®yNx + иxRy — иyRx = Mz + Mz.

(2.6)

   Уравнения (2.6) являются общими уравнениями движения твердого тела.


    2.2. Обобщенные уравнения динамики бурового судна

   Для определения составляющих векторов R и N в (2.6) можно воспользоваться известными из теоретической механики соотношениями:


д Тс/диX = Rx,    д Тс /ЭЧ = Nx,
д Т/Эиy = Ry,     д Т/do>y = Ny,               (2.7)
Э Т /диz = Rz,    д Т /ъ^ = Nz,


где Тс = Т + Т — кинетическая энергия системы твердое тело + жидкость; иₓ ,иy ,иz - составляющие скорости поступательного движения в связанной с судном системе координат; 0)ₓ ,0)y ,0)z - составляющие скорости вращательного движения в той же системе координат.
   Величина кинетической энергии жидкости определяется выражением Т = Р JJJ и² dV, в котором интеграл берется по всему объему жидко-2J V
сти V. Проведем в пространстве произвольную неподвижную поверхность X, охватывающую поверхность Q движущегося судна. Рассмотрим интеграл по объему V, заключенному между поверхностями X и Q.
   По теореме Грина - Остроградского
Ш и dV = -fl ->Fп. fl ф^X V          П n         X n

где ф - потенциал скоростей жидкости неустановившегося движения; Ф - потенциал скоростей возмущенного движения жидкости, образующегося вследствие качки судна.


10