Цифровая фильтрация и синтез цифровых фильтров


Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ




А.Н. ЯКОВЛЕВ, Д.О. СОКОЛОВА

ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия








НОВОСИБИРСК

2012

УДК 621.372.54.037.372(076.5) Я 474





Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. С.П. Новицкий, д-р техн. наук, доц. В.П. Разинкин

Работа подготовлена на кафедре теоретических основ радиотехники для студентов II—III курсов радиотехнических специальностей


            Яковлев А.Н.


Я 474 Цифровая фильтрация и синтез цифровых фильтров: учеб. пособие / А.Н. Яковлев, Д.О. Соколова. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. — 64 с.


          ISBN978-5-7782-1964-9

          В учебном пособии приведены теоретические сведения по аналоговым и цифровым фильтрам и фильтрации. Даны сведения по синтезу и анализу фильтров: аналоговых, рекурсивных и нерекурсивных цифровых.
          Пособие предназначено для студентов при выполнении практических и лабораторных работ, при курсовом и дипломном проектировании, а также для инженерно-технических работников, занимающихся вопросами цифровой обработки сигналов.




УДК 621.372.54.037.372(076.5)




ISBN 978-5-7782-1964-9

                    © Яковлев АН., Соколова Д.О., 2012 © Новосибирский государственный технический университет, 2012

                ПРЕДИСЛОВИЕ




   Настоящее учебное пособие содержит описание двух лабораторных работ по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы» (РТЦиС). Оно может быть использовано также для изучения других дисциплин, таких как «Теория электрической связи», «Основы радиотехники», «Основы радиотехники и электроники», «Теоретические основы радиотехники», «Основы теории цепей и сигналов» и других, включающих в свою программу теорию сигналов, теорию радиоцепей, методы исследования воздействия сигналов на линейные аналоговые, дискретные и цифровые цепи.
   Лабораторные работы поставлены так, что позволяют преподавателю индивидуализировать как сами работы, так и задания, выдаваемые кажд-ому студенту или каждой бригаде.
   При разработке заданий авторы исходили из необходимости проведения студентами предварительных расчетов, а затем практической проверки результатов на стенде, сопоставительного анализа экспериментальных данных с расчетными.
   В конце каждой работы приведены контрольные вопросы. В приложениях представлены основы теории фильтрации и синтеза фильтров.
   Работы выполнены с использованием программной среды «MATLAB ».
   Большая часть пособия написана А.Н. Яковлевым. Описание устройства и практические задания написаны совместно с Д.О. Соколовой. В разработке и наладке программ соответствующих блоков (режимов) устройства участвовали дипломницы А.Н. Яковлева -О.А. Асеева (гр. РТС9-51) и Н.А. Лузина (РТС96-61), Н.В. Хаников (гр. РТС 9-71).
   Авторы благодарят рецензентов профессоров С.П. Новицкого и В.П. Разинкина, старшего преподавателя Е.А. Толстоногова, ведущего курс «Цифровая обработка сигнала», за сделанные критические замечания.

ГЛАВА 1





                ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЛЬТРАЦИИ И ФИЛЬТРАХ





            1.1. АНАЛОГОВЫЕ, ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ



   Наряду с континуальной обработкой сигналов в последние годы получила широкое развитие дискретная и цифровая обработки. На рис. 1.1. приведены виды сигналов и соответствующие им цепи [1].

Рис. 1.1. Цепи и сигналы

   В настоящей работе рассматривается частный случай обработки сигналов и цепей - фильтрация и фильтры.
   Основными задачами фильтрации являются следующие: усиление сигнала и снижение уровня (подавление) помехи; сглаживание сигнала, т. е. уменьшение в реализации сигнала уровня высокочастотных составляющих (принадлежащих, как правило, искажающей высокочас

4

тотной аддитивной помехе); спектральный анализ сигнала, т. е. выделение совокупности гармонических составляющих определенного диапазона частот; дифференцирование сигнала (в том числе, зашумленного аддитивной помехой); интегрирование сигнала и др.
   Указанные задачи решаются путем применения линейных фильтров, которые в зависимости от вида обрабатываемого сигнала подразделяются на непрерывные (иначе аналоговые или континуальные), дискретные и цифровые (рис. 1.1).
   В аналоговом фильтре (АФ) на входе и выходе действуют непрерывные сигналы х (t) и у (t).
   На входе и выходе дискретного фильтра (ДФ) действуют дискретные сигналы хп = х[пТ] и у п = у[пТ]; Т = Тл = 1 / f* - шаг дискретизации по времени t, f, - частота дискретизации; п = 0,1,., N. При
обработке непрерывного сигнала в ДФ необходимы еще два преобразования: дискретизация сигнала по времени на входе фильтра и обратное преобразование на его выходе, т. е. восстановление непрерывной структуры по времени.
   Вначале аналоговый сигнал подвергается дискретизации по времени (рис. 1.2, а). Шаг (интервал) дискретизации Дt = Т выбирается в соответствии с теоремой Котельникова: Т < 1/ 2Fₘ, где Fₘ - максимальная частота в спектре исходного сигнала.
   При цифровой обработке сигналов (ЦОС) требуется еще два дополнительных преобразования (рис. 1): А-Ц - аналог-цифра (т. е. дискретизация по уровню с шагом Дх, иначе квантование, и цифровое кодирование) на входе ЦФ и обратное преобразование Ц-А - цифра-аналог, т. е. декодирование и восстановление непрерывной формы сигнала на выходе ЦФ.
   Квантование (дискретизация по уровню с шагом Дх) заключается в замене точного значения отсчетов их приближенными дозволенными значениями (рис. 1.2, б, в).
   Кодирование - это представление квантованной величины в виде кодовой комбинации. Обычно квантование и кодирование осуществляются в одном устройстве - аналого-цифровом преобразователе (АЦП). В нем используется двоичная система счисления и, следовательно, двоичный код. Каждому отсчету сигнала (числу) ставится в соответствие кодовая комбинация. При этом нулю соответствует отсутствие импульса, а единице - импульс прямоугольной формы. Пояс
5

нение дано на рис. 1.2, г. Такая процедура оцифровки сигнала называется импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ) или кодово-импульсной модуляцией (КИМ).

Рис. 1.2. Аналоговый х(t), дискретный хд (t), квантованный л'кв (t) и цифровой хки м (t) сигналы

   При цифровой фильтрации в реальном времени требуется высокое быстродействие дискретизации и особенно преобразования аналог-цифра. Требования возрастают с ростом частоты сигнала (и, следовательно, частоты дискретизации /д).
   При исследовании ЦФ можно исходить из допущения, что преобразования аналог-цифра и цифра-аналог не имеют решающего значения, т. е. рассматривать фильтры с не квантованными на входе и выходе отсчетами (т. е. ДФ). Поэтому ниже рассматриваются принципы функционирования и характеристики фильтров без учета АЦП и ЦАП, а оценка погрешностей, связанной с квантованием по уровню, изучается при проведении практических занятий на компьютере.
   И, наконец, ДФ и ЦФ классифицируются еще на рекурсивные (РФ) и нерекурсивные (НФ) или трансверсальные. Кроме того, они подразделяются на каузальные, некаузальные и антикаузальные. Для каузальных фильтров импульсная характеристика имеет нулевые значения при п < 0. Для анимкаузальных фильтров эта характеристика равна нулю при п > 0. Ниже, в основном, будем придерживаться этой классификации.

6

   Ввиду высокой разрядности современных персональных компьютеров на них можно реализовать не только ЦФ и ДФ, но также имитировать ЛФ.


            1.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ


   Математической моделью фильтра является соотношение, которое устанавливает связь между входным и выходным сигналами фильтра:
У⁽t⁾ = L{X(t)}, уп = Т{хп}.
   Ниже рассматриваются только стационарные линейные фильтры, иначе линейные инвариантные к сдвигу фильтры (ЛИС-фильтры), для которых применим принцип суперпозиции (наложения) и операторы L{.} и Т{.} не зависят соответственно от t и п.


1.2.1. АНАЛОГОВЫЙ ФИЛЬТР

Математическими моделями этого фильтра являются: • линейное дифференциальное уравнение

                         Д    d'у (t) Д,   d'х (t)
^ ' dt ~ ^а'        dt
                         i=о ai      j₌₀ ш

(1.1)

где й', b' - действительные числа (коэффициенты), зависящие от параметров фильтра;
   •     интегральное уравнение свертки (или просто свертка, или интеграл Дюамеля):

t                 t
у (t) = x(t) ® g (t) = jx(т)g (t - t)dт = jx(t - t)g(t)dt, о                                     о

(1.2)

где ® - символ свертки, g(t) - импульсная характеристика (ИХ) фильтра;
   •     уравнение спектра выходного сигнала
                        Y (j ы) = X (j ы) • К (j ы),          (1.3)

где

7

X(jю) = J x(t) • e-¹юt ■ dt, Y(jю) = f у(t) • e⁻¹юt ■ dt, -от                           -от
от
К(jю) = J g (t) • e-y“t • dt,
-от
X(jю) и Y(jю) - комплексные спектры входного и выходного сигналов, К (j ю) - передаточная функция (ПФ) фильтра, или комплексная частотная характеристика (КЧХ), или частотный коэффициент передачи.
    Применяя к (1.3) обратное преобразование Фурье, определяем выходной сигнал как функцию времени, т. е. получаем еще одну модель фильтра

у (t) = — • f X(jю) • К (jю) • ejюt ■ dю . (1.4)
2л -ОТ
    Модели (1.1)-(1.4) взаимосвязаны, так как взаимосвязаны коэффициенты (параметры) и характеристики фильтра.
    Выбор подходящей модели фильтра и, следовательно, подходящего метода его исследования зависит от вида воздействующего на него сигнала, структуры фильтра и, кроме того, от формы (спектральной или временной) представления выходного сигнала.
    В тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вида (1.1) затруднено, что имеет место при прохождении сложных сигналов x(t) через цепи сложной структуры, целесообразно использовать свертку (1.2) или спектральный метод, базирующийся на моделях (1.3) и (1.4).
    Для ряда задач удобнее использовать операторный метод; при этом действительная переменная ю заменяется комплексной р - о + jю, а преобразования Фурье - преобразованиями Лапласа. Тогда уравнения (1.3) и (1.4) примут вид
-1 о+j от
      Y(р)-X(р)• К(р), у(t)- — • f X(р)• К(р)• dp,      (1.3’),(1.4’)
²л1 о-1 от
где

  X (р) - f x (t) • e⁻ р • dt, Y (р) - f у (t) • e⁻ pt • dt, К (р) - f g (t) • e⁻ pt • dt, -от                         -от                   -от

8

X(р) и Y(р) - изображения сигналов х(t) и у(t), а К(р) - операторный коэффициент передачи фильтра. Он может быть найден не только через ИХ, но и из уравнения (1.1), если к нему применить преобразование Лапласа:


N
X “.р‘ i=о м
X ь.р‘
i=1

Y (р) X ( р )

К (р) =

N
П⁽р⁻ р, i⁾
i=1______
м        ,
П⁽р⁻ р, i⁾
i=1

(1.5)

где рн/ и рП!. - соответственно нули и полюсы функции К(р).
   Применение справочных таблиц оригиналов и изображений функций, а также теории вычетов упрощает расчет реакции фильтра К(р) операторным методом.
   От операторного коэффициента передачи К (р) легко перейти к ПФ, если положить о = 0 и р = jы, т. е.

К(jы) = К(р)|р =.ю .            (1.6)
   Наряду с ПФ вводят еще две частотные характеристики (ЧХ) - амплитудно-частотную (АЧХ) К (ы) и фазочастотную (ФЧХ) ф(ю):

К (®)=К| (j ®),₉(®)=arg{ К (j ©)};         (1.7)
при этом АЧХ - это четная функция частоты, а ФЧХ - нечетная.
   И, наконец, импульсная характеристика фильтра является обратным преобразованием Фурье от его ПФ К (jы) или Лапласа от его операторного коэффициента передачи К (р):

-1 ОТ                                    о+ j ОТ
         g(t) = — -f К(jы) - А“t - dы,        g(t) = — - J К(р) - ер‘ - Лр .(1.8)
2л J                               2л 1 J.
-ОТ                                J о-1 от


1.2.2. РЕКУРСИВНЫЙ ФИЛЬТР
   Его математической моделью является разностное уравнение, представляющее собой дискретный аналог дифференциального уравнения (1.1) АФ. В самом общем случае п -й временной отсчет на выходе фильтра может быть записан как линейная комбинация N отсчетов входного сигнала и М отсчетов выходного сигнала [1]:

9

N            M
y = 7 ax +7 by -. •/ n / j i    n-1  / j i/m-1
i=0          i=1

(1-9)

    При анализе ДФ и ЦФ вместо преобразований Фурье и Лапласа используют z-преобразование, в котором переменная z связана с переменными р и го следующим образом:


                     z = ерТ = е⁽о⁺J го⁾ т , р = 0 + j го = -Т ■ In z .    (1.10)

Тогда дискретным аналогом уравнений (1.2)-(1.4) будут n                                   n
yₙ=7 Sn - ixi=7 Sixn -1,                           ⁽¹-¹¹⁾
i=0        i=0
Y (z) = X (z) • К (z),                             (1.12)


yₙ = -L. фx(z) • К(z) • zⁿ-¹ • dz ,                (1.13)

где Ю                                 Ю                         Ю
X(z) = 7 xₙz⁻ⁿ, Y(z) = 7 yₙz⁻ⁿ, К(z) = H(z) = 7 Snz⁻ⁿ, n=0                      n=0                       n=0

X(z), Y(z) - z-преобразования (образы) последовательностей {xₙ} и

{yₙ}, H (z) = К (z) - системная функция (СФ) фильтра, иначе z-преобразования ИХ фильтра.
   Отображение точек и областей на р- и z-плоскостях приведено в прил. 1. Там же дано z-преобразование некоторых дискретных последовательностей.
   СФ H(z), соответствующая передаточной функции К(р) АФ (1.5),

с учетом (1.9) запишется

Y ( z ) X ( z )

H ( z ) =

N
7 az⁻ⁱ
i=0

M
1 -7 b,z⁻ⁱ
i=1

л ⁽ z ⁾
1 - В (z)

10