Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей


Баврин И.И.







Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей





МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

    УДК 517
    ББК 22.11
         Б13






        Б ав р и н И. И. Краткий курс высшей математики для химикобиологических и медицинских специальностей. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 328 с. - ISBN 5-9221-0334-2.

        Профессионально ориентированный учебник содержит изложение элементов аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, сопровождаемое рассмотрением математических моделей из физики, химии, биологии и медицины. Приведено много примеров и задач, иллюстрирующих понятия высшей математики и ее методы, а также упражнений для самостоятельной работы.
        Может быть использован студентами других вузов и учреждений среднего профессионального образования.
        Ил. 126. Библиогр. 14 назв.




        Рецензенты:
        кафедра высшей математики Московского государственного открытого педагогического университета им. М. А. Шолохова (зав. кафедрой доктор педагогических наук, профессор А. И. Нижников)
        профессор Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, докт. физ.-матем. наук В. И. Гаврилов.



















ISBN 5-9221-0334-2

© ФИЗМАТЛИТ, 2003
© И. И. Баврин, 2003

ОТ АВТОРА


        Математические методы исследования получили широкое распространение в естествознании и медицине. Поэтому подготовка будущих учителей специальностей «Химия», «Биология» и выпускников медицинских специальностей вузов тесно связана с получением прочных математических знаний и практических навыков. Основой этих знаний является курс «Высшей математики», читаемый студентам этих специальностей.
        В связи с этим в нем особое внимание уделено понятиям и методам, имеющим прикладное значение. Это отражено как в физическом, химическом, биологическом и геометрическом истолковании основных понятий высшей математики, так и в большом числе рассмотренных примеров, задач и математических моделей из физики, химии, биологии и медицины.
        Изложение теоретического материала сопровождается разобран-

     ными примерами и задачами, а также упражнениями для самостоятельной работы. (Ответы к упражнениям даются по необходимости сразу после текста в квадратных скобках).
        Книга может быть использована и студентами сельскохозяйственных вузов. Она будет полезна также и студентам математических специальностей педвузов, учителям математики и учащимся школ и классов с углубленным изучением математики как материал приме-

     нения математики в естествознании.

       Читателям, желающим углубить свои математические знания и расширить сферу их применения в химии, биологии и медицине, следует обратиться к дополнительной литературе, список которой при

     веден в конце книги (ссылки на нее по мере изложения приводятся в квадратных скобках).

ЧАСТЬ I

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА



Введение


        Роль математики в различных областях естествознания и в разное время была неодинаковой. Она складывалась исторически, и существенное влияние на нее оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его основные черты и свойства на языке математических понятий и соотношений, или, как теперь принято го-

верить, возможность объекта.

построить «математическую модель» изучаемого

Приведем простейший пример математической модели. Представим себе, что требуется определить площадь пола комнаты. Для вы

     полнения такого задания измеряют длину и ширину комнаты, а затем перемножают полученные числа. Эта элементарная процедура фактически означает следующее. Реальный объект — пол комнаты — заменяется абстрактной математической моделью — прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения, и площадь такого прямоугольника приближенно прини-

     мается за искомую площадь.

       Математическая модель, основанная на некотором упрощении,

идеализации, никогда

тождественна рассматриваемому

объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако благодаря замене реального

    объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться

    для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат поз

    воляет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т. е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.
       Математические модели давно и весьма успешно применяются в механике, физике, астрономии.

       В современный период роль математических методов в естествознании все возрастает. Они теперь широко используются и в биологии,

Гл. I. Элементы аналитической геометрии

     и в химии. Здесь также успешно применяются математические модели. Данная книга содержит некоторые из этих применений.



Глава I
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ


§ 1. Метод координат на плоскости

       1.    Декартовы прямоугольные координаты. Выберем па плоскости две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу с указанными па них положительными направлениями. Прямые Ох и Оу на-

                                  зываются координатными осями,

   точка их пересечения О — началом координат. Обычно полагают, что ось Ох горизонтальна, а ось Оу вертикальна относительно наблюдателя; положительное направление на Ох слева направо, на Оу — снизу вверх (рис. 1).
      Возьмем теперь некоторую единицу масштаба, с помощью которой будут производиться все измерения па плоскости хОу.
      Совокупность координатных

                                     осей Ох, Оу и выбранной единицы масштаба называется декартовой прямоугольной (или кратко прямоугольной) системой координат на плоскости*).

       Произвольной точке М плоскости поставим в соответствие два числа (рис. 1):
       а)    абсциссу х, равную расстоянию точки М от оси Оу, взятому со знаком «+», если М лежит правее Оу, и со знаком « —», если М лежит левее Оу,
       б)    ординату у, равную расстоянию точки М от оси Ох, взятому со знаком « лежит ниже

+», если М лежит выше Ох, и со знаком « —», если Ох.

       Абсцисса х и ордината у называются декартовыми прямоугольными (или кратко прямоугольными) координатами точки М. Обозначение М(х; у) означает: точка М с абсциссой, равной х, и ординатой, равной у.
       Отметим, что каждой точке плоскости соответствует одна пара действительных чисел х и у (ее координат). Верно и обратное: каждой паре действительных чисел х и у соответствует одна точка

        *) Декартова прямоугольная система координат носит имя французского математика, основателя аналитической геометрии Ренс Декарта (1596-1650).

,$ J. Метод координат, на плоскости

9

     плоскости. Это значит, что на плоскости положение произвольной

    точки М полностью определяется ее координатами х и у.
    Координатные оси Ох и Оу разбивают плоскость па I, II, III и IV квадранты*). Знаки коорди-

нат точек в различных квадрантах указаны в таблице. При этом если точка М(х;у) лежит па оси Оу, то х = 0; если М(х-,у] лежит па оси Ох, то у = 0. На рисунке 2 построены точки М^-1), Л/₂(-4;3), М₃(-4;-2), и М₄(0; —2).

   2.    Полярные координаты. Зафиксируем па плоскости точку О и выходящую из псе полупрямую Ор, а также выберем единицу масштаба. Точка О называется полюсом, полупрямая
   Произвольной точке М плоское

Рис. 2

Ор — полярной осмо (рис. 3). ш пос-

тавим в соответствие два числа:
   полярный радиус г, равный расстоянию точки М от полюса О, измеренному выбранной единицей масштаба;

   полярный угол <р, равный углу между полярной осью Ор и полупрямой ОМ.
   Полярный угол измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательных) значений ведется от Ор против движения (по движению) часовой стрелки. При этом обычно полагают, что — тг < <     7Г.
   Полюсу О соответствует полярный радиус г = 0, полярный угол для пего не

определен.
   Запись Af(r;<p) означает: точка М с полярными координатами г и <р.
   Будем считать начало координат О прямоугольной системы хОу одновремен

но полюсом О, а положительную часть оси Ох примем за полярную ось Ор (рис. 4).

   Из рисунка 4 видно, что для точки М(х; у) (М(г; <р)) справедливы

соотношения:

и

x = rcosip, y = rsinip

(1)

    ) Иногда их также называют координатными углами.

Гл. I. Элементы аналитической геометрии

Г = \/х'²+у'² tgip = —.                         (2)


   Формулы (1) выражают прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Это можно доказать для любого расположения точки М па координатной плоскости. Формулы (2) выражают полярные координаты точки М через ее прямоугольные координаты и тоже верны при любом положении точки М.
   Заметим, что tg<p = — дает два значения <р, так как —тг < тг. Поэтому для вычисления полярного угла точки М по ее прямоугольным координатам х и у предварительно выясняют, в каком квадранте лежит точка М.

Пример 1. Даны прямоугольные координаты точки Л: х = 1, у = 1.

Найти се полярные координаты. По = д/2, tgi/? = 1. Из двух значений р

там (2) находим г = д/1² +1² = Зтг                   тг
р = —— выбираем р = —, так

как точка А лежит в первом квадранте. Итак, полярные координаты дан-

ной точки: г = д/2, р

тг
4 '

   Пример 2. Полярные координаты точки А таковы: г = 2, р = —. Тогда по формулам (1) прямоугольные координаты этой точки будут:

a- = 2cos—=0, t/ = 2sin— = 2. 2                    2


  3.   Основные задачи, решаемые методом координат.
  Задача о расстоянии .между двумя точками. Найдем расстояние d

Рис. 5
чек А и В этой прямой. Тогда = |BiB₂| = |?/2 — 2/1|- Поэтому

   между двумя заданными точками Afi(a?i;t/i) и М₂(х₂;у₂) (рис. 5).
     Из прямоугольного треугольника M\NM₂ по теореме Пифагора имеем:
  d = | MiM₂| = У|Л/х?7|²+|Л/₂?7|².
     Из курса геометрии девяти-летпей школы известно, что расстояние d между точками А и В, расположенными па координатной прямой (оси), вычисляется по формуле d = |АВ| = \хв — хл\, где х 1 и Хв — координаты то-
     = |AXA₂| = |ж₂ -Ж₁|, |M₂W| =



d = У(ж₂-Ж1)² + (?/₂-?/1)².


(3)

   Пример. Найти расстояние между точками А(—1: —2) и В(— 4: — 2). По формуле (3) имеем:
\АВ | = У(-4 + I)² + (2 + 2)² = 5.

,$ J. Метод координат, на плоскости

11

   Задача о делении отрезка в данном отношении. Пусть даны точки

       44i(a'i;2/i) и М₂(х₂: у₂).
Требуется найти точку М(х: у), лежащую на отрезке [Afi М₂] и делящую его в данном отношении

               |Л41Л4| _ Л
               |AfAf₂| '
Опустим из точек Mi, М дикуляры па ось Ох (pi

получим:

(4)

М-2 псрпси-
6). По из-

вестному предложению из элементарной геометрии о пересечении сторон угла параллельными прямыми |М1М| _ |ЛМ|

|Л1Л12|  |ЛЛ2|
При выбранном расположении точек имеем:
|Л1Л| = х — «1,   |ЛЛ2| = х₂ — х.
Поэтому заданное отношение (4) принимает вид:

х ~ ₌ i
°ткул“ "
л™™


   В частности, если А = 1, т. с. при делении отрезка [AfiМ₂] пополам, получаем:                   ₊               ₊
X = -----, у = ----------.
2        J 2
   Примечание. Формулы (5) и (6) верны при любом расположении точек Л-/1 и М₂.
   Пример. Вычислить координаты точки Mix: у). делящей отрезок [Mi М₂] между точками Afi(l; 1) и М₂(М 7) в отношении д^д^ । = 2- Согласно формулам (5) и (6) имеем:
1 + 2-4  „        1 + 2-7   .
х =------= 3, у =-----------= 5.
3                 3


   4. Уравнение линии на плоскости. Прямоугольная и полярная системы координат позволяют задавать различные линии па плоскости их уравнениями.
   Определение. Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат называется уравнение
/(+■,«/) = О
с переменными х и у, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки плоскости, пе лежащей па этой линии.
   Переменные х и у уравнения линии называются текущими координатами.

Гл. I. Элементы аналитической геометрии

   Покажем, например, что уравнение х — у = 0 или

(7)

является уравнением биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

По свойству биссектрисы угла для произвольной точки М(х;у)

(лежащей па биссектрисе)

имеем:             = |JViAf| или

т.

/У₂| (рис. 7) и поэтому х = у, координаты всех точек биссект-

                            рисы удовлетворяют уравнению (7). Очевидно также, что у любой точки, не лежащей па данной биссектрисе, координаты не равны между собой и не удовлетворяют уравнению (7).
Отметим, что геометрическим образом данного заранее уравнения не всегда является линия. Может случиться, что уравнению соответствует лишь несколько точек (уравнению х² + у² = 0, например, па плоскости соответствует только одна точка (0; 0)). Встречаются и такие случаи, когда заданному уравнению не соответствует па плоскости пи одной

точки (например, уравнению х² + у² +1 = 0).

§ 2. Прямая линия

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть прямая I пе параллельна оси Оу (рис. 8). Обозначим точку пересечения I с осью Оу через В(0; 6), а угол между положительным направлением оси Ох и I через <р. Угол <р, отсчитываемый

. V —1>

от Ох

против часовой

стрелки (0      < тг), па-

зывается прямой I

углом наклона к оси Ох.

      Выведем уравнение прямой I.
Пусть М(х; у) — произвольная точка прямой I с прямоугольного треугольника

СО

Эту величину называют угловым коэффициентом прямой и обозначают через к: к = tg. Тогда из (1) получим:

х = у

§ 2. Прямая линия

13

откуда:

(2)

   Уравнение (2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; число b называется начальной ординатой (это ордината точки В).


  Пример. Если <р = —, b = —3, то k = tg — прямой имеет вид у = х — 3.

1, и уравнение данной

   Если в уравнении (2) к = 0, то имеем уравнение прямой
У = Ь,                          (3)
параллельной оси Ох и проходящей через точку В(0; Ь). При b = О из (3) получаем уравнение координатной оси Ох: у = 0.
   По аналогии с уравнением (3) уравнение х = а                                                     (4)
есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку А(а;0). При а = 0 из (4) имеем уравнение координатной оси Оу: х = 0.


   2. Общее уравнение прямой. Уравнением с угловым коэффициентом может быть задана любая прямая на плоскости, не параллельная оси ординат. При рассмотрении уравнения первой степени

Ах + By + 0 = 0,                  (5)
в котором коэффициенты А и В одновременно не равны нулю, оказывается, что любую прямую без каких-либо ограничений, можно задать уравнением (5).
   Теорема. Каждая прямая на плоскости с прямоугольной декартовой системой координат определяется уравнением первой степени, и наоборот: каждое уравнение первой степени определяет некоторую прямую на плоскости.
   Доказательство. 1) Пусть дана прямая, не параллельная оси ординат. В этом случае прямая описывается уравнением с угловым коэффициентом у = кх + Ь, которое является частным случаем уравнения (5) при А = к, В = —1, С = Ь.
   Пусть теперь прямая параллельна оси Оу. Тогда ее уравнение запишется в виде х = а. Это уравнение тоже частный случай уравнения (5) при А = 1, В = 0, С = —а. Итак, любая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени.
   2) Покажем теперь, что произвольному уравнению первой степени (5) (А и В одновременно не равны нулю) соответствует некоторая прямая на плоскости.
   Действительно, если В 0, то уравнение (5) можно преобразовать в уравнение            д q
У ⁼ ~ВХ~В'