Теория вероятностей и математическая статистика по дисциплине «Информатика и основы биологической статистики»

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ 

 

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ 

ПОЛИТИКИ И РЫБОХОЗЯЙСТВЕННОГО КОМПЛЕКСА 

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  

УНИВЕРСИТЕТ ВЕТЕРИНАРНОЙ МЕДИЦИНЫ 

 
 
 
 
 
 
 

Смирнова Е.М. 

 
 
 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА  

ПО ДИСЦИПЛИНЕ  

«ИНФОРМАТИКА И ОСНОВЫ 

БИОЛОГИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ» 

 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург 

2021 

УДК: 519.2(075.8) 

 

 

Автор: Смирнова Е.М. 

Рецензент: к.ф-м.н.  Карулина Е.А. 

 
 
 
 

Смирнова Е.М. Теория вероятностей и математическая статистика по 

дисциплине «Информатика и основы биологической статистики»: учебное 
пособие / Е.М. Смирнова ; МСХ РФ, СПбГУВМ. – Санкт-Петербург : Издательство 
СПбГУВМ, 2021. – 85 с. 

 
 
 
 
Учебное пособие предназначено для обучающихся по специальности 

36.05.01 «Ветеринария» и направлению подготовки 36.03.01 «Ветеринарно-
санитарная экспертиза» очной, очно-заочной, заочной форм обучения 

 
 
 
 
 
 
 
 
Рекомендовано к изданию Методическим советом СПбГУВМ прото-

кол  № 5 от 07 июня 2021 г. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

© ФГБОУ ВО  СПбГУВМ, 2021 

ВВЕДЕНИЕ 
 

Настоящее учебное пособие содержит задачи и теоретические сведе-

ния из теории вероятностей и математической статистики. Приведенные 
сведения и задачи охватывают наиболее важные и трудно усваиваемые разделы 
по основам теории вероятностей и математической статистики. В 
учебном пособии приведены задачи на определение вероятностей событий 
классическим методом, на применение теорем сложения и умножения, на 
формулы полной вероятности и Байеса, на повторные испытания, а также на 
построение законов распределения случайных величин и расчет их характеристик 
и задачи по основам математической статистики. Задачи сгруппированы 
по основным перечисленным темам и иллюстрируются примерами с 
подробным решением. 

 
 

1. ТЕОРИЯ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ  
И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 

 

1.1 Элементы комбинаторики 

 
Комбинаторика – раздел дискретной математики, посвященный ре-

шению задач по составлению различных комбинаций из элементов конечного 
множества и подсчѐт всех возможных комбинаций. 

Для решения задач с применением классического определения веро-

ятности события, необходимо знание основных вопросов комбинаторики, 
связанных, в частности, с такими понятиями как перестановки, сочетания и 
размещения.  

Рассмотрим эти понятия. Пусть А – некоторое конечное множество, 

состоящее из n элементов: (а1, а2,. . . . . . . аn). 

Всякое упорядоченное множество, состоящее из n элементов, называ-

ется перестановкой и обозначается Рn. Если в исходном множестве А переставить 
хотя бы два элемента, то получим другую перестановку. Например, 
в множестве А поменяем местами первые два элемента, получим другое 
упорядоченное множество из n элементов: (а2, а1,. . . . . . . аn).  Возникает вопрос: 
сколько различных перестановок – упорядоченных множеств – можно 
получить из n элементов?  

Из теории основ комбинаторики известно: число всевозможных пере-

становок, которые могут быть образованы из n элементов, равно произведению 
чисел 123 … n. Это произведение последовательных чисел от 1 до n 
записывают коротко n!. Запись n! называют n-факториал. 

Итак, количество различных перестановок из n элементов множества 

А можно вычислить по формуле: 

Рn = n! = 123 … n.                                 

Следует отметить: принято считать, что 0! = 1. 

Пример 1.1. В пенале три карандаша: красный – к, синий – с, зелѐ-

ный – з. Сколько может быть различных способов выбора имеющихся карандашей?  


Решение. Возможны следующие варианты выбора карандашей: к,с,з; 

к,з,с; с,к,з; с,з,к; з,к,с; з,с,к. Получили шесть различных упорядоченных 
множеств. Действительно, если воспользоваться формулой для перестановок 
трѐх элементов, то получим Р3 = 3! = 123 = 6. 

Если некоторые из данных элементов повторяются несколько раз, то 

формула для перестановки будет выглядеть так: 

    

  

            ,где k, l, … n – число повторений элементов.                 (2) 

Пример 1.2. Имеются карточки с буквами: А, Б, Е, И, И, К, Р, С, С, С, 

Т. Сколько способов существует разложить эти карточки так, чтобы получались 
различные комбинации букв?  

Решение. Всего карточек 10. Буква И повторяется 2 раза, буква С по-

вторяется 3 раза. Рn=

   

      

                    

         
        

Неупорядоченные наборы, содержащие m элементов из имеющихся n, 

называются сочетаниями из n элементов по m, количество таких наборов 
определяют по формуле 

m)!
m!(n

n!
C m

n


, 
 
 
 
 
 

или   
m
n
С =
m
n
A /Pm ; при этом 
m
n
С =
n m
n
С    . 
 

Два различных сочетания из данных n элементов, взятых по m элемен-

тов, отличаются друг от друга только составом входящих в них элементов. 
То есть если два сочетания различны, то в одном из них содержится, хотя бы 
один элемент, не содержащийся в другом. 

Пример 1.3. Имеется множество из трѐх элементов a, b, c. Требуется 

определить количество различных сочетаний – комбинаций выбора – 2-х 
элементов из заданных 3-х элементов, при этом порядок выбора элементов 
не имеет значения. 

Решение. Такими сочетаниями будут: ab, ac, bc. Заметим: среди пере-

численных сочетаний нет, например, сочетания ba. Действительно, по определению 
сочетания ab и ba считаются одинаковыми, так как  состав элементов 
в этих сочетаниях одинаков, а порядок выбора элементов в сочетаниях 
не имеет значения.  

Если воспользуемся формулой для вычисления сочетаний, то полу-

чим:   

  

  

      

     

         

Пример 1.4. В урне 5 красных и 3 синих шара. Наугад из урны выни-

мают 3 шара. Сколько вариантов выбора одновременно 2-х красных шаров и 
1-го синего шара? 

Решение. Всего в урне 8 шаров. Значит, выбирая случайным образом 

три шара, два красных шара выбрали из 5 красных шаров, а один синий шар 
выбрали из 3-х синих шаров. Число способов выбрать два красных шара из 5 

равно числу сочетаний   

 . Аналогично, число способов выбрать один синий 

шар равно числу сочетаний   

 . Так как любая пара из 5 красных шаров 

должна сочетаться с каждым вариантом из трѐх синих шаров, то общее число 
вариантов будет равно произведению сочетаний:   

    

 . Значит, ответ 

будет следующий: всего вариантов выбора будет 

  

    

  
  

      
  

               

               

         

 
  
      

 
Упорядоченные наборы, содержащие m элементов, называют  

размещениями из n элементов по m, они отличаются друг от друга либо 
самими элементами (что бывает только при m  n), либо порядком расположения 
элементов. Количество размещений из n элементов по m находят 
по формуле: 

  

   

  

(   ) .                                                                  

Рассмотрим приведѐнный выше пример 1.3. Имеется множество из 

трѐх элементов a, b, c. Требуется определить количество различных комбинаций 
выбора 2-х элементов из заданных 3-х элементов, при этом порядок 
выбора элементов имеет значения. 

Решение. Так как порядок элементов при выборе должен учитываться, 

то значит, речь идѐт о выборе упорядоченных подмножеств, то есть о размещениях. 
Такими размещениями будут: ab, ba, ac, ca, bc, cb.  

Если воспользуемся формулой для вычисления размещений, то полу-

чим:   

  

  

(   )  

  

   

     

 
    

Пример 1.5. Имеется шесть различных по цвету отрезов тканей. 

Сколькими способами можно составить трѐхцветный полосатый флаг?  

Решение. Известно: порядок расположения одинаковых по цвету по-

лос во флагах различных стран имеет значение. Например, российский флаг 
имеет последовательность цветов: белый, синий, красный. На флаге Нидерландов 
полосы того же цвета, но последовательность другая: красная, белая, 
синяя. То есть полосы должны представлять упорядоченное множество. Поэтому 
определять количество способов расположений полос будем по формуле 
размещений. При этом n = 6, а m = 3:   

  

  

   

           

     
       

     

Пример 1.6. Автомобильный номер состоит из трех букв и трех цифр. 

Сколько номеров можно образовать, используя 30 букв и 10 цифр?  

Решение:    

     

                             

Кроме рассмотренных соединений в теории комбинаторики рассмат-

риваются ещѐ вопросы, связанные с повторением элементов в перестановках, 
сочетаниях, размещениях.  

Приведенные понятия перестановок, сочетаний и размещений очень 

широко применяются при нахождении вероятностей, когда из общего коли-

чества элементов выбирают наугад не один элемент, а два, три и т.д. элементов. 

 


Задачи для работы на занятии 

 

1. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Карточки перевернули, 

перетасовали, затем все их раскрыли так, чтобы цифры стали видимыми. 
Сколько пятизначных чисел может быть образовано из пяти указанных 
цифр? 

2. В группе студентов 20 человек. Сколькими способами можно выбрать из 

группы 2-х делегатов на профсоюзное собрание? Сколькими способами 
можно выбрать 1-го делегата на научную конференцию и 1-го делегата 
на профсоюзную конференцию? 

3. Даны цифры 7, 8, 9, 4, 5, 6. Определить, сколько двузначных чисел мож-

но составить из этих цифр? (Цифры в числах не повторяются). 

4. Сколькими способами можно из 20 человек назначить: а)  двух дежур-

ных с одинаковыми обязанностями; б)  двух дежурных, из которых один 
– старший. 

 

 

Задачи для самостоятельной работы 

 

5. 
В зрительном зале свободно восемь мест. Требуется рассадить по свободным 
местам восемь человек. Сколько возможных различных вариантов 
рассадить эти восемь человек в зрительном зале? 

6. 
В розыгрыше кубка страны по футболу принимают участие 17 команд. 
Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и 
бронзовую медали? 

7. 
Ветеринар наугад  берѐт трѐх котят для обследования. Всего 27 котят. 
Сколькими способами это можно сделать? 

8. 
Группу из 20 студентов нужно разделить на три бригады, причем в 1-ую 
бригаду должны входить 3 человека, во 2-ую – 5человек, в 3-ью – 12 человек. 
Сколькими способами можно распределить студентов 

 

1.2  Геометрическая  вероятность 

 

Пусть имеется некоторая область G, внутри которой находится мéнь-

шая область q. Наугад бросают точку в область q. Требуется найти вероятность 
попадания в q. Предполагается, что точка не может попасть вне области 
G. 

Из аналитической геометрии известно, что всякая ограниченная об-

ласть есть множество точек с координатами (х,у). Кроме того, всякое множество, 
представляющее область, имеет параметр, который характеризует 

рассматриваемую область. Например, площадь, объѐм, длина и т.п. Перечисленные 
параметры есть меры рассматриваемых областей. 

Бросание точки наугад в область G означает, что различные попадания 

в любую точку (х,у), принадлежащей области G, есть равновозможные события. 
При этом все возможные исходы бросания – опыта – определяются 
параметром характеризующим область G, то есть мерой. В рассматриваемой 
задаче при бросании точки в G нас интересует не просто попадание в G, а еѐ 
подобласть – q. То есть благоприятствующими событиями являются те попадания, 
которые ограничены областью q. Таким образом, можно сформулировать 
следующее определение. 

 
Геометрической вероятностью называется отношение меры обла-

сти q к мере области G: 

   

       

                                                                                                    

Если области G и q можно охарактеризовать площадями, то в этом 

случае вероятность попадания в q примет вид: 

   

          

                                                                                                   

В случае, когда G и q определены в трѐхмерном пространстве, то ве-

роятность p равна: 

   

        

                                                                                                     

Если область G есть дуга некоторой кривой, а q – часть этой дуги, то 

тогда вероятность p равна: 

   

        

                                                                                                      

Пример 2.1. В квадрат, стороны которого равны а, вписан круг. Како-

ва вероятность попадания брошенной точки в круг. 

Решение. Событие А – попадание брошенной точки в круг. 

Мерой всех возможных событий является площадь квадрата, 
мерой благоприятствующих событий является площадь 
круга. Площадь квадрата со стороной а равна:             
Радиус круга, вписанного в квадрат равен 

 

 , площадь круга 

равна:             (

 

 )

 

  

  

    Следовательно, искомая 

вероятность будет определяться по формуле  ( )   

   

 
   

 

    

Пример 2.2 Два студента договорились о встрече в столовой с 14.00 

до 15.00 во время обеда. При этом обед для каждого из них занимает примерно 
20 минут. То есть пришедший первым ждет второго в течение 20 минут. 
Найти вероятность того, что встреча состоится. 

Решение. Событие А – встреча студентов состоится. Представим об-

ласть всех возможных решений и область, благоприятствующая встрече. 

а

Пусть х – время прихода первого студента, у – время прихода второго 

студента. Область всех возможных значений – множество точек (х,у) – есть 
квадрат 60 х 60, так как каждый может прийти в течение 60 минут. Площадь 
этого квадрата равна             

Встреча состоится, если |   |      Значит, конкретная область 

встречи лежит между прямыми           и         . Чтобы найти 
площадь многоугольника D между указанными прямыми, можно найти 
площади прямоугольных, равнобедренных треугольников В и С и вычесть 
их из площади квадрата. Итак,                    

 

        

 

         

            Площадь многоугольника А:                     
           

Вероятность попадания в А найдѐм по геометрическому определению: 

 ( )    

     

      

      

   

 

Пример 2.3. Известно, что электронный луч попал в мишень радиуса 

R. Какова вероятность того, что он отклонился от центра не более чем на r? 

Решение. Площадь всей области: мера(G) = S =  R2, площадь области, 

отвечающей событию А: мера(g) = s =  r2 поэтому, используя (1.10), находим 
P(A) = r2/R2 . 

Пример 2.4. Какова вероятность того, что сумма двух положительных 

чисел меньше 1, если каждое в отдельности не превышает 1? 

Решение. Первое число x  (0, 1], аналогично второе число у  (0,1]. 

Общее пространство G, как видно из рисунка 1, представляет собой квадрат.  

Площадь его S = 1. Область, благоприятствующая событию А, есть 

заштрихованный треугольник (его площадь s = 0.5). Поэтому P(A) = s/S = 
0.5.  

0

10

20

30

40

50

60

70

0
10
20
30
40
50
60
70

В

С

D

Задачи для работы на занятии 

 

9. Мишень в тире представляет собой большой круг радиуса R и вписан-

ный в него малый круг радиуса r, r < R. Центры кругов совпадают. 
Стрелок может получить 10 очков, если попадѐт в малый круг. Какова 
вероятность получить 10 очков при одном выстреле? 

10. Найти вероятность того, что точка, брошенная случайным образом в 

круг радиуса R, попадѐт в квадрат, вписанный в него. 

11. Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная на отрезке [0;1], 

принадлежит отрезку *

 

  

 

 +  

12. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попа-

дет в квадрат, вписанный в него. 

Задачи для самостоятельной работы 

 

13. В прямоугольник 5 х 4 см2 вписан круг радиуса 1,5см. Какова вероят-

ность того, что точка, брошенная случайным образом в прямоугольник, 
попадѐт внутрь круга? 

14. Какова вероятность вашей встречи с другом, если Вы договорились 

встретиться в определѐнном месте с 12.00 до 13.00 часов и ждѐте друг 
друга в течение 5 минут. 

15. На плоскости начерчены две окружности радиусами 2 и 7 см соответ-

ственно, одна внутри другой. Найти вероятность того, что точка, брошенная 
наудачу в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, 
что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна 
площади этой фигуры и не зависит от еѐ расположения. 
 

1.3   Понятие события. Классификация событий 

 

Испытанием называется реальный или принципиально осуществи-

мый опыт, для которого установлены контролируемые воспроизводимые 
условия и совокупность всех возможных элементарных исходов. Считается, 
что в результате испытания обязательно должен наступить какой-то один из 
множества взаимно исключающих друг друга исходов, которые также называют 
элементарными событиями.  

Теория вероятностей (ТВ) занимается изучением закономерностей 

случайных событий и случайных величин при массовом их появлении. 

Событием в теории вероятностей называется всякий факт, который 

может произойти в результате некоторого испытания (опыта). Примеры событий: 
попадание в цель, выигрыш в лотерее, появление ошибки измерения 
в заданных пределах. 

События в ТВ обозначаются заглавными буквами латинского алфави-

та: А, В, С и т.д. 

В задачах по теории вероятностей часто приходится встречаться с 

суммой и произведением событий.  

Суммой А + В событий А и В называют их теоретико-множественное 

объединение, т.е. событие, состоящее из исходов, входящих в А, в В и общих 
для А и В.  

Таким образом, наступление события А+В равносильно наступлению 

хотя бы одного из событий А или В. Аналогично определяется сумма нескольких 
событий.  

Обозначения: C  A  B или C  A B.  
Произведением  A·B  событий  А и В называют их теоретико-

множественное пересечение, т.е. событие, состоящее только из общих для А 
и В исходов.  Событие  АВ  состоит в совместном наступлении  А и В. Аналогично 
определяется произведение нескольких событий. 

Обозначения: C  A B или C  A∩B 
Различные события отличаются между собой по степени возможности 

их появления и по характеру взаимосвязи. Для правильного ориентирования в 
теоремах теории вероятностей разберемся в существующей классификации 
событий. 

Если при всех опытах (испытаниях) рассматриваемое событие всегда 

наступает, то оно называется достоверным. Например: взрыв осколочного 
снаряда. При сбрасывании бомбы с самолета, достоверным событием является 
падение бомбы на поверхность земли. 

Если при всех опытах рассматриваемое событие никогда не наступает, 

то оно называется невозможным. Например: при отсутствии тока в электрической 
цепи, невозможным событием является загорание лампочки. При отсутствии 
в электронных часах батарейки, невозможное событие – ход часов. 

Возможным или случайным событием называется событие, которое 

в результате опыта может появиться, но может и не появиться. Например: 
попадание в цель при выстреле, выигрыш на купленный билет лотереи и т.д. 
Два или несколько событий называются равновозможными, если условия 
их появления одинаковы и нет оснований утверждать, что какое-либо из них 
в результате опыта имеет больше шансов появиться, чем другое. Например: 
выпадение любого количества очков от 1 до 6 при подбрасывании игральной 
кости; выпадение герба или цифры при подбрасывании монеты. 

Два события А и В называются совместными, если появление одного 

из них не исключает появление другого. Например, на одной остановке 
трамваев и троллейбусов, находится трамвай № 5 и троллейбус № 5. Собы-