Функции комплексного переменного


    А. А. ТУГ АНБАЕВ
    ФУНКЦИИ
    КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Учебное пособие

-е издание, стереотипное




Москва Издательство «ФЛИНТА» 2024

УДК 517.53/55(075.8)
ББК 22.162я73
     Т81






    Туганбаев А.А.
Т81   Функции комплексного переменного : учеб. пособие /
А.А. Туганбаев. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2024. - 48 с. - ISBN 978-5-9765-1406-5. - Текст : электрон-

   ный.

       В книге рассмотрен следующий важный раздел математики: функции комплексного переменного. Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий.
       Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.



                                            УДК 517.53/55(075.8)
                                            ББК 22.162я73





Учебное издание


Туганбаев Аскар Аканович

   ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО


Учебное пособие



Подписано к выпуску 25.03.2024.
Уч.-изд. л. 1,96.
Электронное издание для распространения через Интернет.

        ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, офис 324.
Тел.: (495) 334-82-65; (495) 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru



ISBN 978-5-9765-1406-5

         © Издательство «ФЛИНТА», 2022
         © Туганбаев А.А., 2022

    Оглавление


    1. Краткиесведенияпотеории                  4

    2. Задачискраткимирешениями                13

    3. Задачи                                  30

    4. Контрольныевопросыизадания              35

    5. Справочныйматериал                      44


3

Краткие сведения по теории


    1. Краткие сведения по теории


   Через С обозначается множество всех комплексных чисел z = х + /А/. где х = Re г G R - действительная часть числа г, у = Im г G IR - мнимая часть числа г, г - символ, называемый мнимой единицей, г² = —1, причем комплексные числа складываются и умножаются по правилам


             + ^2 = (Ж1 + гг/1) + (ж₂ + гг/₂) = («1 + «2) + i(yi + 1/г), ziz₂ = (®i + гг/1)(ж₂ + Д/2) = (®1®г - У1У2) + г(жхг/₂ + 1/1«г)•

   Комплексные числа z = ж + iy изображаются точками комплексной плоскости С с декартовыми координатами (ж; г/), \z\ = д/ж² + г/² - модуль числа z, т.е. расстояние от точки z до начала координат О, \z\  0 при z 0. Считаем, что IR С С,
   полагая ж = ж + гО, т.е. действителвная осв Ох вкладывается в комплексную плоскоств. Если г = ж-|-гг/£Сиж,г/£1й,то число г = ж — iy называется сопряженным к z, z~z = ж² + у² = |г|² G R. Точки г и г на плоскости С симметричны относителвно оси Ох. Деление на ненулевые комплексные числа производится по правилу


        fl

Z2

ZjZ₂

Z2Z2

  ¹ т , ■                   \    «1^2 + 1/11/2
|-^(«1 + гУ1)(х2 - гу₂) =            ₂      ₂
I z2 |                              «2 Т У2

,г/1Ж₂ - хру₂
+ г-----2~i----2~
«2 + У2

1.1.  z = z, zₓ ± г₂ = zi ± г₂, ZiZ₂ = zₓ z₂;

|г|= |г|, |^i ± г₂| < |^i| + |г₂|, |^i^₂| = |zi||4

Z\

Z2

Ы
Ы’

Если p,<f> ~ полярные координаты точки z = ж + iy комплексной плоскости, то |г| = р, а полярный угол <р, определенный с точноствю до 2тг/г (k G Z), называется аргументом числа г и обозначается Arg г. Значение <р, лежащее в полуинтервале (—7Г,тг] называется главным значением аргумента числа г и обозначается через arg г, причем Arg г = arg г + 2як, к Е Z. Ясно, что ж = \z\costp, у = \z\sintp. Для любого у G К. через егу обозначим число cos у + i sin у G С, где |егу| = cos² у + sin² у = 1. Для числа z = ж + iy имеются записи в виде z = |z|(cos <р + i sin <р) и z=\z\elⁱp, называемые тригонометрической и показательной формами числа z. При этом записв z = ж + iy называется алгебраической формой числа z.

Краткие сведения по теории

5

1.2.  Z₁z₂ = l^le^l^le’*’² = ЫЫе^¹⁺Ч



    - =         = Ы             г" = (|г|С>)” = \z\e‘™.
    z₂ \z₂\elⁱp²                     ⁴    ⁷

В частности, (cos р + i sin </?)ⁿ = cos пр + i sin np - формула Myaepa.
1.3. Извлечение корней из комплексных чисел.
Для любых z = |z|(cos р + i sin 0 и та G N корень n-й степени yfz = г¹//п имеет п значений, вычисляемых по формуле

  г-   Г,—Г (   + 2тг/г . .   + 2ттк\     ,
\/z = л/ \z\ I cos —--1- г sin----I , к = 0,1,. . . , п — 1,
      v у п                     nJ

где yf\z\ - обычное арифметическое значение корня из |г| G R.
1.4. Показательная и логарифмическая функции. Для
всех z € С показательная функция ez задается равенством

ez ₌ ₑx+iy ₌ ₑxₑiy ₌ ₑ^cₒₛ у ₊ { ₛᵢₙ уу

Для всех логарифмическая функция Ln z задается равенствами


       Ln z = In |z| + i(<£> + 2як) = In z + i 2як, к G Z,

где In \z\ - обычное значение логарифма ненулевого числа \z\ G R и In z = In |z| + i р - главное значение логарифма. Логарифм данного числа z принимает бесконечное число значений, соответствующих разным значениям к G Z. Верна формула uv = c”Lⁿ’'. и 0.
1.5. Гиперболические, тригонометрические, обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции. Такие функции определяются равенствами


, ez + e z ch г = -----------
             2

Pz _ P~z
Sh£= -----—
         2

sh z          ch г
th г = ——, cthz = ——, ch г                sh г

cos z = ch(iz) =

eⁱz + e~ⁱz
2

eⁱz — e~ⁱz
sin г = —i sh(iz) = -------------
               V ’ 2i

Arcsinz = —i Ln(iz + л/1 — z²), Arshz = Ln(z + -\A² + 1), Arccosz = — i Ln(z + \/z² — 1), Arch г = Ln(z + \/z² — 1),

Arctgz = — Ln L

л a ¹ т ¹ + *
Artn z = — Ln-------
2    1 - z

г — z

г + z ’

Краткие сведения по теории

1.6. Если кривая 7 задана уравнением z = z(t), где a < t < /3, то
             /з
  f(z)dz = У f(z(t))z'(t)dt. Ct
1.7. Интегральная формула Коши. Пусть область D ограничена кусочно-гладким контуром 7 с таким направлением обхода, что область D остается слева, и f(z) - аналитическая на D U 7 функция. Тогда

1 f f(z)dz ₌ Г
2лг J z — z₀ [

f(z₀),z₀ G D
0,    z₀^U7,

n\
2iri

f(z)dz
(z - z₀)'"'⁺¹





                -I





/Н(го),гоЕП, 0, z₀ D U 7.

1.8. Ряды Лорана. Рядом Лорана называется ряд вида ■5 cₙ(z - z₀)ⁿ, являющийся суммой ряда £ cₙ(z - z₀)ⁿ (пра-— оо п=0
вильная часть ряда Лорана) и ряда £ c_ₙ(z — z₀)~ⁿ (главная
                                    П=1
часть ряда Лорана). Ряд Лорана называется сходящимся, если его правильная и главная части сходятся. Если f(z) аналитична в кольце 0 < г < \z — z₀\ < R < 00, то в этом кольце + оо
f(z) = Е cn(z - z₀)ⁿ, где


              ₌ 1 f f(d)dr]
            ⁿ 2^i J (rj — z₀)ⁿ⁺¹ ’


n = 0, ±1, ±2,... ,

7 = {rj ; \л - Zₒ| = p,ᵣ < p < R}.


1.9. Изолированные особые точки. Пусть z₀ - изолированная особая точка функции f(z), т.е. в некоторой окрестности точки z₀ нет других особых точек функции f(z), кроме z₀.
Изолированная особая точка z₀ называется устранимой при выполнении любого из следующих трех эквивалентных условий:
(IP существует конечный предел lim f(z) и либо z—>го
f(z₀) lim f(z), либо f(z) не определена в точке z₀: Z—>го
(1₂) существует такая аналитичная в z₀ функция (f>(z), что f(z) = (p(z) для всех z из некоторой проколотой окрестности точки z₀-,

Краткие сведения по теории

7

(Z₃) в некоторой проколотой окрестности точки z₀ функция f(z) разлагается в ряд Лорана с нулевой главной частвю.
Изолированная особая точка z₀ называется полюсом, если lim f(z) = оо. Изолированная особая точка z₀ называется полюсом порядка к > 0 при выполнении любого из следующих трех эквивалентных условий:
(Hi) существует конечный ненулевой предел lim (z — z₀)kf(z)-, (II2) ряд Лорана для f(z) в окрестности z₀ имеет вид

          С-ь             С.,                              „
/(г) —           + • • • +  ---- + Со + Ci (г — z₀) + С2 (z — z₀) +. . .,
        (z - z₀)k (z - z₀)

где C-k z/z 0 и Cₙ = 0 Vn < —k\

(Из) в
Zo f(z) =

некоторой проколотой окрестности точки


 <P(Z)
(z - z₀)k'

где <p(z) аналитична в z₀ и (f>(z₀) 0.


В этих условиях <p(z) = C-k + C-k+i(z — Zq) + . . . +


~\~C-i(z — z₀)k ¹ + Cq(z — z₀)k + Ci(z — г₀)М¹ + . . .


и при определении порядка полюса сомножители типа <p(z) можно отбрасыватв. Полюс первого порядка называется простым полюсом.
Изолированная особая точка z₀ называется существенно особой точкой для f(z) при выполнении любого из следующих двух эквивалентных условий:
(II11) не существует (ни конечный, ни бесконечный) предел lim f(z);
z^-z₀
(Ш2) главная частв ряда Лорана для f(z) (в окрестности точки z₀) содержит бесконечно много ненулевых членов.
Бесконечно удаленная точка z = 00 называется изолированной особой точкой для f(z), если в некоторой окрестности точки z = оо (т.е. вне некоторого круга с центром в точке z = 0) нет других особых точек для f(z). Ряд Лорана для f(z) в окрестности z = оо - это разложение f(z) в ряд по степеням z, сходящийся при \z\ > R для некоторого R > 0.
Точка z = оо - устранимая особая точка при выполнении любого из следующих эквивалентных условий:
(IVi) существует конечный предел lim f(z);

Краткие сведения по теории

(IV2) ряд Лорана в окрестности точки z = 00 не содержит положительных степеней г;

(IV3) p = 0 - устранимая особая точка функции /(1/р).
Точка z = <х> - полюс, если lim f(z) = 00. Точка z = 00 - полюс z—>0G v ⁷
порядка k > 0, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:


(Ц) существует конечный ненулевой предел lim v '                                    z—>0G

fW

zk ’

(V2) ряд Лорана в окрестности точки z = 00 содержит конечное ненулевое число положительных степеней г;
(У₃) функция /(1/р) имеет полюс порядка к в точке р = 0.
Точка z = <х> - существенно особая точка функции f(z) при выполнении любого из следующих эквивалентных условий:
(VIi) не существует конечного или бесконечного предела lim f(z)-
z—>0G
(VI2) ряд Лорана, сходящийся в окрестности точки z = 00, содержит бесконечное число положительных степеней г;
(VI3) р = 0 - существенная особая точка для /(1/р).
1.10. Вычеты. Вычетом функции f(z) в изолированной особо-
й точке z₀ называется число res f(z) = -; Ф f(z)dz, где 7 -
                           z⁼zo       2лг J
любой контур, один раз обходящий против часовой стрелки точку z₀ и не содержащий внутри себя других особых точек для /И-

Вычет res f(z) равен коэффициенту при ------
       zo                             Z — Z₀


в лорановском

разложении f(z) = У/ Cₙ(z — z₀)ⁿ.

Если z₀ - устранимая особая точка для f(z), то

res
Zo

Если z₀ - простой полюс для то res f(z) = lim v '                             «0       z^z₀
Если f(z) = ( ), где h(z) и g(z) аналитичны g(z)

/И = о.

f(z)(z - Zo).

в точке г₀,

h(z₀) / 0, g(z₀) = 0 и У(^о)       0, то z₀ - простой полюс и
    h(z) h(z₀)
res ~ = щ—•
z⁼z° 9И g\z₀)

Краткие сведения по теории

9

Если z₀ - полюс порядка к > 0 для f(z), то

res f(z) =
Z0 М ⁷

dk~r ,, ...lim , , , (к — 1)! z^zo dzk ¹

{/«(* - г„)7.

1

Если f(z) = ( ), причем z₀ - нуль порядка к для h(z) и нуль 9{z)
порядка к + 1 для </(г), то z₀ - простой полюс для f(z) и


               Si М =



Вычетом в точке z

оо называется число

res f(z) = -; j) f(z)dz, где 7 - любой контур, один раз
²⁼⁰⁰ 2лг J
обходящий по часовой стрелке точку
z = 0 и содержащий внутри себя все особые точки функции f(z)
(кроме z = оо). Если f(z) = У") Cₙ(z — z₀)ⁿ - лорановское п= — ОС
разложение функции в области, лежащей вне 7, то res = — C-i. z=oo
Если z = 00 - устранимая особая точка для f(z), то

= ~С-1 = “Л⁰)-


Если z = оо - полюс порядка к для f(z), то


ᵣeS/(z) = -lim^ᵣ(>’4).
              ²⁼⁰⁰         р-Д1 dpk⁺¹ \(k + 1)!/


Пусть контур 7 ограничивает область D и обход 7 производится против часовой стрелки (если 7 состоит из нескольких контуров, то обход каждого из них производится так, чтобы D была слева от направления обхода).
1.11. Теорема Коши о вычетах. Если f(z) непрерывна на 7 и аналитична во всех внутренних точках области D. кроме конечного числа особых точек Zi, z₂,. . . , zₘ, лежащих в Р, то

т
f(z)dz = 2тгг^2 res f(z).



1.12. Следствие. Если функция f(z) аналитична на всей комплексной плоскости, за исключением конечного числа особых

Краткие сведения по теории

точек Zi, г₂,. . ., zₙ, то сумма вычетов f(z) во всех особых точках, включая z = ос. равна нулю и


/ f(z)dz = 2iri res f(z) = —2лг zₖED Zk


E zₖ£D

res

f(z) +resf(z)
       Zk

2-7Г
1.13.  Интегралы вида R(cos x, sin x)dx. Такие интегралы,

где Д('Н,г) - действителвная рационалвная функция, непрерывная при —1<'П<1и—1<п<1, сводятся к интегралам вида

z² + 1 z² + 1
2г ’ 2iz

)dz iz

с помогцвю перехода к комплексной переменной


                     dz           z² + ¹   • z² - ¹
z = е , dx = —, cos х = ----------, sin х =  ■_—.
                     iz           2z               2iz

Пуств Pₘ(x) и Qₙ(x) - многочлены степени тип соответст-
венно, причем п — т > 2 и фп(ж) 7^ 0 на Ох. Тогда



dx = 2лг 5^ res
<ЭДЖ) jₘyr>0Zk


Pₘ(z)
Qn(z) ’

где суммирование ведется по всем корням многочлена Qₙ(z), лежащим в верхней полуплоскости Jmz > 0. Если при этом многочлены Рт(х) и фп(ж) содержат толвко четные степени ж, то


dx = яг У^ res
Zk
Jm zp >0

P-nAz}
Qn(z) ’


+ 00                 +00
1.14.  Интегралы вида / /(ж) cos(Xz)dx и / /(ж) sin(Az)d®.



Пуств А > 0,

- дробно-рационалвная функция,


для которой п

> т и (5п(ж) не имеет действителвных корней,


                  А + iB = 2тгг У^ res
ImZk>0

Краткие сведения по теории

11

  где Л, В Е R и суммирование вычетов идет по всем особым точ-, г/ \ Fₘ(z)                                „
кам zj. функции fyz) =    , лежащим в верхней полуплоскос-

  ти. Тогда


Qn(z)

              + оо

+ оо

У /(ж) соз(Аж)(/ж = А; У /(ж) зт(Аж)(/ж = В.



  1.15. Оригиналы и изображения. Функцией-оригиналом, называется любая такая действителвная функция /(£): R —> R, что:


   1)     = 0 при t < 0;


   2)     на любом отрезке /(£) либо непрерывна, либо имеет лишв конечное число точек разрыва, причем все они первого рода;

   3)     существуют такие числа М > 0 и s > 0, что < M-est.


  Нижняя гранв 8₀ всех чисел s из 3) называется показателем роста оригинала f(t).
  Изображением оригинала /(£) называется функция F(p) комплексного переменного р = s + /А. 8,<т G R, задаваемая равенством F(p) = / /(£) • e~ptdt. Пишут /(£) = F(p) или

 F(p) = если F(p) - изображение оригинала f(t).
 1.16. Существование, аналитичность, единственность и стремление к нулю изображения. Пусть f(t) - оригинал с показателем роста 8₀. В полуплоскости Rep = s > 8₀ изображение F(p) существует, является аналитической функцией и lim F(p) = 0. Кроме того, если эта функция F(p) является изображением еще одного оригинала g(t), то /(£) = g(t) во всех точках f, где оригиналы /(£) и g(t) непрерывны.
 1.17. Свойства изображений и оригиналов. Если f(t) = Е(р), то