Математический анализ : Ряды


    А. А. ТУГ АНБАЕВ


    МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

    РЯДЫ


Учебное пособие

5-еиздание,стереотинное




Москва Издательство «ФЛИНТА» 2024

   УДК 517.52(075.8)
   ББК 22.161я73
        Т81





       Туганбаев А.А.
   Т81    Математический анализ : Ряды : учеб. пособие / А.А. Туганбаев. - 5-е
        изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2024. - 49 с. - ISBN 978-5-9765-1405-8. -Текст : электронный.




          В книге рассмотрен следующий важный раздел математики: числовые и функциональные ряды. Книга соответствует программам курсов математического анализа для студентов различных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, ре-шебника и сборника контрольных заданий.
          Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных заведений.

УДК 517.52(075.8)
ББК 22.161я73






Учебное издание


Туганбаев Аскар Аканович


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ


Учебное пособие



Подписано к выпуску 25.03.2024.
Уч.-изд. л. 2,0.


Электронное издание для распространения через Интернет. ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, офис 324. Тел.: (495) 334-82-65; (495) 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru


ISBN 978-5-9765-1405-8

                © Издательство «ФЛИНТА», 2022
                © Туганбаев А.А., 2022

    Оглавление

1. Числовые ряды                                     4
   1.1. Общие свойства числовых рядов............... 4
   1.2. Признаки сравнения и интегральный признак... 7
   1.3. Признаки Даламбера, Коши и Лейбница........ 12

2. Функциональные ряды                              14
   2.1. Общие свойства функциональных рядов ....... 14
   2.2. Степенные ряды............................. 19
   2.3. Ряды Фурье................................. 28

3. Задачи для самостоятельного решения              31

4. Контрольные задания                              36

5. Справочный материал                              44

3

Числовые ряды


    1.  Числовые ряды



1.1. Общие свойства числовых рядов


1.1.1. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Общий член и ча

стичные суммы. Формальное выражение вида Д1 + Д2 + .. . + д„ + ... = Е CLni гДе {an}Xi _ бесконечный набор (не обязательно разных) чисел, п=1
называется числовым рядом (или просто рядом) с общим членом ап. (Рассматриваются также ряды Е Дп? в которых нумерация начинает-v                            n=s
п
ся не с 1, а с другого целого числа s.) Сумма Е &к первых п членов к=1
ряда называется п-й частичной суммой данного ряда и обозначается ОО
через Sₙ. Ряд Е ап называется сходящимся, если существует конечный п=1
предел S = lim Sₙ последовательности Sₙ частичных сумм этого ряда.

В этом случае пишут Е ап = 8 и говорят, что ряд Е ап сходится п=1                                                п=1
(к числу S), где число S называется суммой ряда Е ап- Ясно, что п—1
                              ОС
S также равно lim Sₙ_i. Ряд Е ап называется расходящимся, если п->оо                        П=1
предел lim Sₙ не существует или бесконечен (в этом случае также говорят, что данный ряд расходится). Сходимость или расходимость ряда сохраняется при изменении (например, обнулении) конечного числа членов этого ряда (хотя сумма ряда может меняться).

ОС
имея, если оба ряда Е

, причем в 1.2.5 мы

ОС
Е ап называется условно сходящимся, если он сам сходит-

1.1.2. Абсолютно и условно сходящиеся, положительные и неотрицательные ряды. Ряд Е ап называется абсолютно сходящий
|д„| и Е ап сходятся П=1       71=1
позже докажем, что достаточно требовать сходимости только ряда Е |дп|, т.е., из сходимости ряда Е |дп| следует сходимость ряда п=1                             п=1
Е ап. Ряд
п=1       п=1
ся, а ряд Е |дп| расходится. Ряд п=1                             п=1
называется неотрицательным (положительным), если все его члены неотрицательны (положительны), т.е. ап 0 (ап > 0) для всех п Е N. Ряд с членами произвольных знаков также называется

ОС
Е о>п = дт + д? + ... + дп + • • •

знакопеременным рядом.

Общие свойства числовых рядов

5

      _         , 2°   1
1.1.3. Пример. Ряд —7— п=1 ЩП -

1

равна 1.

Так как ап

то

сходится и его сумма

Ё (k - i)k

1

1

1

п + 1 ’

п

1 1

1

1



Sₙ — а1 + а2 + • • • + ап — 1 —

2 ⁺ 2“з ⁺ '" ⁺ ““

Так

как
1

lim Sₙ = lim f 1
1—>oo      n—>oo у

то ряд сходится

= 1.

п= 1  । )
1.1.4. Действия над рядами. Если ряды

ОС      ОС
E aₙ и E bₙ сходятся n=l     n=l

числам А и В соответственно, то для любых чисел а и (3 ряд
Е (ска„ + (ЗЪп) сходится и его сумма равна аА + (ЗВ',
П=1

т.е. £(аап + (ЗЬп) = п=1

   ОС            ОС
а Е ап + (д Е Ьп.

п=1

п=1



п

п + 1

п + 1

и

Е

к

ОС
<1 Пусть Aₙ, Bₙ и Sₙ - n-ые частичные суммы рядов Е п=1
Е (омп + (ЗЬп) соответственно. Ясно, что Sₙ = аАп + (ЗВп. Из
П=1
пределов следует, что

ОС
Е Ъп п=1

СВОЙСТВ

lim Sₙ = lim (аАп + /ЗВП) = a lim Ап + /3 lim Вп = аА + (ЗВ. > Iv Т      iv Т                   iv Т        iv Т

1.1.5. Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится,

то его общий член стремится к нулю при ОС
lim ап 0, то ряд Е ап расходится.

<1 Если ряд Е ап сходится
п=1
lim ап = lim Sₙ — lim Sₙ-i = S — S = 0.
n—>oo   n—>oo    n—>oo
1.1.6. Пример расходящегося ряда co общим членом.

<1 Ясно, что hm —= = 0, причем при п > 2 ' п^-оо /                х      х —


п -о- оо. Поэтому если

к числу S, то

t>
стремящимся к нулю

 1.1. .1 1.1. .1
— —]= Ч—/д + • • • Ч—Ч—Ч- • • • Ч—— vl v2    vⁿ vⁿ vⁿ \/ⁿ

                               ОС
Поэтому          = +оо и ряд Е ап расходится. >

1

п

И

Числовые ряды

1.1.7. Бесконечная геометрическая прогрессия. Ряд Е х ¹ ра-п=1

              , ,. . 1
сходится при ж > 1 и сходится к ---------
¹ ¹ _                 1 - X
любого ненулевого числа у бесконечная

при |ж| < 1. Поэтому ДЛЯ

геометрическая прогрессия

у + уж + уж² при |т| < 1.
<1 Так как
22  -п-1
ряд Е хп п=1
сти 1.1.5.

     я ,
+ уж + ... расходится при

limlims⁷¹ ¹   0 при |т|

|т| >

> 1,

расходится по необходимому

Допустим теперь,

Sₙ — 1 + х + х + ... + х

что |т| 1

-<                  7
1 и сходится к ---------
1 — X

то при |т|   >  1

признаку

< хп

1.

сходимо-
Так как

то при |т| < 1

       .. о         1
имеем пт S„ =-----------. >
71—ЕЭС¹    -]   /-£
1.1.8. Все частичные совокупности. Поэтому

суммы

РЯД, У

сходящегося которого

ряда

ограничены в

частичные суммы не

1 — X

1 -

X 1 — X

1 — X

ограничены в совокупности, расходится.
<1 Пусть ряд Е ап сходится к числу S, т.е. JirnSₙ = S. Тогда для всех п Е N начиная с некоторого номера &, все частичные суммы Sₙ отличаются от числа S меньше чем на 1. Кроме того, существует такое число М > 0, что |Sₙ| < М для всех п = 1,... , к. Поэтому существует такое число 1Г > 0, что |Sₙ| < М для всех п Е N. >
1.1.9. Пример расходящегося ряда с ограниченными в совокупности

частичными суммами.
<1 Ряд Е ( — l)ⁿ⁻¹ = 1 — 1 + 1 — 1 + ... расходится по необходимому п=1
признаку сходимости 1.1.5, поскольку lim ( — 1)п⁻¹ не существует и, в
частности, не равен нулю. Заметим также, что все частичные суммы

Sₙ с четными (нечетными) номерами равны нулю (единице). Поэтому |Sₙ| < 1 для всех п Е N, т.е. все Sₙ ограничены в совокупности. >
                                          СЮ
1.1.10. Сходимость неотрицательного ряда Е ап равносильна тому, п=1
что все частичные суммы этого ряда ограничены сверху в совокупно

сти.
СЮ
<1 По 1.1.8 достаточно доказать, что ряд Е ап сходится, если все ча-п=1
стичные суммы этого ряда ограничены сверху в совокупности. Так как
ап > 0, то последовательность частичных сумм {Sₙ} возрастает, т.е.

Признаки сравнения и интегральный признак

7

                                        Sₙ₊i = Sₙ + aₙ₊i Sₙ для любого п. Так как каждая возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел,¹ то ОО
ряд Е Лп сходится. >
    П=1


1.2.

 Признаки сравнения и интегральный признак


ОС     ОС
1.2.1. Первый признак сравнения. Пусть Е aₙ и Е Ъп П=1                                               П=1

такие

что 0 < aₙ Ьп для всех п начиная с некоторого номера.

ряды,

                ОС                     ОС
  1) Если ряд Е Ъп сходится, то ряд Е aₙ тоже сходится. П=1                                  П=1

                ОС                       ОС
 2)  Если ряд Е aₙ расходится, то ряд Е Ъп тоже расходится.
               П=1                       П=1


< Так как сходимость ряда не меняется при изменении конечного числа его членов, то можно считать, что 0 < aₙ Ьп для всех n Е N.
ОО
Обозначим n-е частичные суммы неотрицательных рядов Е aₙ и п=1                                                          П=1
соответственно через Sₙ и Тп. Тогда Sₙ Тп для всех п.

1) . Так как ряд Е Ъп сходится, то все его частичные суммы п=1
ограничены в совокупности. Поэтому найдется такое число В, что
Тп В для всех n Е N. Тогда Sₙ Тп В для всех п, т.е. все
ОО
частичные суммы Sₙ неотрицательного ряда Е aₙ ограничены сверху п—1
ОО
в совокупности и поэтому ряд Е Лп сходится.
                             П=1

ОС                        ОС
2) . Если бы ряд Е Ъп сходился, то по 1) ряд Е aₙ тоже бы П=1                                       П=1
что противоречило бы условиям пункта 2). Поэтому ряд сходится. > ОС
1.2.2. Второй признак сравнения. Пусть Е aₙ и
                                                П=1

сходился,
ОО
Е ьп ра-
П=1
  ОО
  Ц ъп
 n=l

положительные ряды и существует lim —0. Тогда ряды Е aₙ и 0^2,                                                      Bj— 1
ОС
Е Ьп либо оба сходятся, либо оба расходятся.
п=1
<1 Так как lim —^ = 2у > 0, то у < —^ < Зу для всех п начиная с п->оо А               '   ’ 'А            '
                ип                 ип
некоторого номера N. Поэтому 0 < у • bₙ < aₙ < Зу • Ьп для всех

n N. Так как умножение всех членов ряда на ненулевое число не

   ¹См., например, 2.1.10 из [1].

Числовые ряды

меняет сходимость или расходимость ряда, то ряды


сю         сю
Е 7 • Ъп, Е ьп
п=1         п=1

И

сю
Е З7 • Ьп либо все сходятся, либо все расходятся. Если все эти три п=1
ряда сходятся, то из первого признака сравнения 1.2.1 и неравенств сю
О < ап < З7 • Ьп следует сходимость ряда Е ап- Если же все эти три
                                         п=1
ряда расходятся, то из первого признака сравнения 1.2.1 и неравенств сю
О < 7 • Ьп < ап следует расходимость ряда Е ап- >
                                         п=1

1.2.3.

                                         ОС
Третий признак сравнения. Пусть Е ап п=1

     ОС
и Е ьп -п=1

_____________ _________ ап+1 / Е + 1   _ ___       __   _______ _ положительные ряды и ------------------------------------------ —— для всех номеров п начиная с
                         (2П 0п
некоторого номера.



(1) Если ряд Е Ъп сходится, то ряд п=1

сю
Е ап тоже сходится. п=1

(2) Если ряд Е ап п=1

ОС
расходится, то ряд Е Ьп
                    П=1

тоже расходится.

. Т-Г           а2 Ь₂
<1 По условию —
(21   01

Перемножая отдельно все левые и

....
^п—1
все правые

Ьп
Ьп— 1

части этих

           ап / Ъп                 (21
получим —        —, откуда ап — оп. Тогда ап 7 • оп,
           (21   01                01

неравенств, «1
где 7 = —, 01

               ОС    ОС
причем ряды Е Ьп и Е 7&п либо оба сходятся, либо оба расходятся. п=1                  п=1
Теперь применим первый признак сравнения 1.2.1. >

1.2.4. Пусть Е ап п=1

  ОС
и Е ьп - положительные ряды. п=1

«2 Ъ₂

<

1) Если lim Е = 0 и ряд Е Ьп сходится, то и ряд Е ап сходится. п->°° Ьп                  п—1                      п—1

2) Если lim -Е = +оо и ряд
 '       п^оа к          -¹
   ________ ип СХОДИТСЯ.

ОС
Е Ь, п=1

сю
>п расходится, то и ряд Е ап Ра~ п=1

<1 1). Так как lim -Е   = 0, то О < а„    < Ьп  для всех п начиная с
    ⁷           п->сю к     ’           ¹¹     ¹¹
ип
ОС
некоторого номера. Кроме того, по условию ряд Е Ьп сходится. По п=1
ОС
первому признаку сравнения 1.2.1 ряд Е ап тоже сходится.
                                       п=1

Признаки сравнения и интегральный признак

9

2). Так как lim —= +оо, то 0 <          < а„ для всех п начиная с
 ⁷           пЧсю h
                  ип
ОС
некоторого номера. Кроме того, по условию ряд Е Ъп расходится. По п—1
СЮ
первому признаку сравнения 1.2.1 ряд Е ап тоже расходится. >
                                      п—1
1.2.5. Если ряд из модулей |«i | + |«21 + |аз| + • • • сходится, то ряд ai + <^2 + аз + • • • тоже сходится.
<1 Из неравенств — |ап| ап |ап| следует, что 0 ап +
|ап| 2|ап|. Из условия вытекает сходимость ряда Е 2 |ап|. По П—1
первому признаку сравнения 1.2.1 ряд Е (ап + |<2П|) сходится. Так п—1
     СЮ      СЮ                   сю            сю
как 52 an =  Е (ап + Ы - Ы)     = Е (an + Ы)    - Е  \an|, то ряд Е ап
п=1      п=1                  п—1          . п—1          и-¹
сходится, как разность двух сходящихся рядов. >
1.2.6. Интегральный признак сходимости. Пусть при х 1 функция /(ж) непрерывна, неотрицательна и убывает. Тогда ряд Е /(п) = /(1) + /(2) + ... + f(n) + ... и несобственный интеграл
П—1 сю
У /(ж) dx либо оба сходятся, либо оба расходятся.
1
<1 Так как /(ж) убывает, то f(k + 1) /(ж) f(k) для всех х Е [fc, /г+1].

                   к+1
Поэтому f(k + 1) У f(x)dx f(k)- Подставляя в эти к
к = 1, 2,... , п — 1, получим

неравенства

         2
/(2) < / f(x)dx Д1),
        1

        3
/(з) < У f(x)dx < /(2),
        2

п
/И < У f(x)dx < f(n - 1).



n— 1

n         ™         n— 1
Складывая эти неравенства, получим Е /(ⁿ) С / f(x)dx Е /(п)-к=2                                             1          к=1
п
Поэтому Sₙ — ai У /(ж) SEi, (*) где Sₙ - n-я частичная 1

сумма ряда Е Интегральный признак 1.2.6 следует теперь из
           П=1
приведенных ниже утверждений а) и Ь).

Числовые ряды

оо
1) . Допустим, что несобственный интеграл f f(x)dx сходится к
1
ос                   п
некоторому числу В, т.е. Jirn^ f(x)dx = В. Тогда f f(x) < В и из
1 1
первого неравенства в (*) следует, что Sₙ — ai В. Поэтому Sₙ < а^ + В для всех п и Sₙ - ограниченная сверху возрастающая последовательность и ряд Е /(п) сходится.
п=1
ОО
2) . Допустим теперь, что несобственный интеграл f f(x)dx ра-
1
ОО
сходится, т.е. J im^ /(ж) dx = +оо. Тогда из второго неравенства в 1
(*) следует, что lim Sₙ-i = +оо. Это означает расходимость ряда


1.2.7. Обобщенные гармонические ряды. Обобщенным
“ 1 _
гармоническим рядом с показателем р называется ряд ^2 —• При «=1 пр
ОО 1
р = 1 получается гармонический ряд ^2 — •
п=1
_ ~ 1 .
Обобщенный гармонический ряд ^2 — сходится при р > 1 и расходит-п=1 пр
ся при р < 1.

<1 При р 0 обобщенный гармонический ряд расходится по
1 , „ необходимому признаку сходимости 1.1.5, поскольку тогда hm — ф 0. х                                                    п^-оощр '
          _ „ „ Г₁. 1
Пусть р > 0. Функция f(x) = — = х р удовлетворяет условиям хр
интегрального признака 1.2.6. Кроме того,

' п¹ р — 1

   1 — р Inn

п

при р Ф 1, при р = 1.

п 1
Поэтому существование конечного предела Jirn^ f —dx равносильно


СЮ 1
неравенству р > 1, т.е. сходимость несобственного интеграла —dx

равносильна неравенству р > 1. >

Признаки сравнения и интегральный признак

11

В задачах 1.2.8 - 1.2.14 исследовать ряды на сходимость.
       оо п
1.2.8. £ ——.
      П=1 п + 1
   _                п                      22 п
<1 Так как hm ---------= 1^0, то ряд 52------------ расходится по
n->oo ₙ _|_ 1                ₙ₌₁ n + 1

необходимому признаку сходимости 1.1.5. >
_______ Л
1.2.9. Ряд 52 lⁿ 1 4— расходится, поскольку
           n=l V П]

, (    1\   , п + 1    , .       ,
aₙ = In 1 4— = In-------= ln(n + 1) — In n,
                    \ nJ n
Sₙ = In 2 — In 1 + In 3 — In 2 + ... + ln(n + 1) — In n = ln(n +1)

и множество {S2J221 не ограничено.
                                                сю 2ⁿ
1.2.10. По первому признаку сравнения 1.2.1 ряд 52 7----;— сходит-
п=1 (п+ 1)3П
(²V               1 1 7
ся, так как геометрическая прогрессия > , I - I сходится по 1.1.7 и п—1 \3/
   ²" < РГ >
(n + l)3ⁿ < кз/
       _    . .                                22 1
1.2.11. По 1.2.7 обобщенный гармонический ряд 52 “^777 сходится, так п=1 П⁷/⁵
как 7/5 > 1.
СЮ 1
1.2.12. По 1.2.7 обобщенный гармонический ряд 52 —77? расходится,
                                                п=1 ,ь
так как 5/7 < 1.

1.2.13. £

П=1

1
2П - п

  22      22 1
<1 52 an = 52---сходящаяся бесконечная геометрическая прогрессия с
         «=1 2П

П=1

показателем 1/2 (см. 1.1.7) и lim = lim ' v                       ⁷ П^-CXD k   П^-ОС
                                  un
признаку сравнения 1.2.2 из сходимости

сю
Е aₙ. >
П=1 сю              1
1.2.14. 52 /          •
        п=1 yjn^n² + 1)

  2«

2« _
сю
Е Ь, П=1


п

п

<1 Так как ряд Е'

1

1

= 1^0. По второму

следует сходимость

1

п=1 сходится и ,             < то по первому