Цифровые системы управления. Сборник задач для индивидуальных заданий
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Новосибирский государственный технический университет
Автор:
Саблина Галина Владимировна
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 70
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-7782-4192-3
Артикул: 778702.01.99
B учебном пособии приводятся: теоретический материал, рекомендации и задачи для выполнения индивидуальных заданий по курсу «Цифровые системы управления». Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 27.03.04 - «Управление в технических системах».
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Г.В. САБЛИНА ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия НОВОСИБИРСК 2020
УДК 681.51.01(075.8) С 122 Рецензенты: д-р техн. наук Г.А. Французова канд. техн. наук Е.В. Прохоренко Саблина Г.В. С 122 Цифровые системы управления. Сборник задач для индивидуальных заданий: учебное пособие / Г.В. Саблина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2020. – 70 с. ISBN 978-5-7782-4192-3 B учебном пособии приводятся: теоретический материал, рекомендации и задачи для выполнения индивидуальных заданий по курсу «Цифровые системы управления». Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 27.03.04 – «Управление в технических системах». УДК 681.51.01 (075.8) ISBN 978-5-7782-4192-3 © Саблина Г.В., 2020 © Новосибирский государственный технический университет, 2020
ВВЕДЕНИЕ Теория импульсных систем получила бурное развитие в связи с достижениями цифровой электроники и, в частности с развитием вычислительной техники, которая проникает во все сферы деятельности человека и используется повсеместно. В настоящее время традиционные непрерывные регуляторы (контроллеры) интенсивно заменяются цифровыми, которые имеют неоспоримые преимущества: компактность, стабильность работы, малое энергопотребление, высокую точность, а также гибкость реализации алгоритмов контроля и управления. Последняя достигается простой заменой программного обеспечения. Для того чтобы обсуждать свойства импульсных систем автоматического управления, будем рассматривать функциональную схему (рис. В1). Основными элементами цифровой системы автоматического управления (ЦСАУ) являются: О – объект управления; контроллер – (микропроцессор, микроконтроллер); АЦП и ЦАП – аналого-цифровой и цифроаналоговый преобразователи, к которым предъявляются требования синхронности и синфазности их работы; таймер – предназначен для синхронизации работы всей системы. Назначение контроллера – формировать управляющее воздействие, обеспечивающее заданное качество работы системы. В дальнейшем будем рассматривать как одноканальные объекты управления, так и многоканальные, для которых (v, u, y) m R , где v – входные задающие сигналы; u – управляющие воздействия; y – выходные, контролируемые переменные объекта управления, доступные измерению; m – число каналов управления в объекте.
u О Контроллер ЦАП Таймер АЦП y v Рис. В1. Функциональная схема импульсной системы автоматического управления Главная особенность ЦСАУ состоит в том, что управляющие воздействия, формируемые с помощью ЭВМ, принимают дискретные значения в дискретные моменты, т. е. они квантованы как по уровню, так и по времени. В дальнейшем мы не будем учитывать квантование управляющих воздействий по уровню, так как современные контроллеры имеют достаточно высокую разрядность АЦП и ЦАП и «вес» одного разряда сопоставим с точностью измерения контролируемых переменных объекта управления. Управляющие воздействия вычисляются по заданному алгоритму с помощью контроллера и передаются на ЦАП, который фиксирует значения воздействий на время, равное шагу квантования Т, т. е. представляют собой последовательность импульсов, появляющихся в фиксированные моменты. Решётчатые функции Отличительная особенность импульсных систем заключается в квантовании управляющего воздействия по времени, и это позволяет вводить в рассмотрение новые характеристики, в частности решётчатые функции (рис. В2). Если длительность импульсов управления h T , то приближенно можно прямоугольные импульсы управления заменить на эквивалентные им дельта-функции той же площади. Это представление управляющего воздействия будем называть решётчатым (рис. В3). Такая замена возможна потому, что, как правило, темп процессов в объектах управления много медленнее темпа процессов нарастания и спада прямоугольного импульса, и реакция динамических объектов на прямоугольный импульс и на эквивалентную ему дельта-функцию будет практически одинаковой.
u ( ) u t ( ) u t 0 2T T 3T kT Рис. В2. Пример квантованного по времени управляющего воздействия u ( ) u t *( ) u t 0 2T T 3T kT Рис. В3. Пример решетчатого управляющего воздействия Дельта-функция (функция Дирака) имеет следующие свойства: , 0, ( ) ( ) 1, ( ) 1( ) 0, 0, 0, t t t t dt t dt t t t . Управляющее воздействие после обсуждаемой замены можно представить в следующем виде: * 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1c 1c k k u t h h u t u t t kT u kT t kT , где *( ) u t – решётчатая функция; k – дискретный момент.
Если ЦАП и АЦП в системе работают синхронно и синфазно, то величина h может быть любой, поэтому ее можно принять равной 1 с: * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) k u t u kT t kT u t . Последнее выражение есть управляющее воздействие, представленное в виде решётчатой функции. Такой вид представления упрощает анализ процессов в линейных импульсных системах. Экстраполятор нулевого порядка Управляющее воздействие в большинстве цифровых систем формируется на выходе ЦА и имеет ступенчатый вид. На рис. В4 пунктиром показано непрерывное управляющее воздействие u(t). u ( ) u t ( ) u t 0 2T T 3T kT Рис. В4. Пример ступенчатого управления Экстраполятором нулевого порядка называют устройство, преобразующее непрерывный сигнал в реальное ступенчатое управление. На рис. В5 ИИЭ – идеальный импульсный элемент, преобразующий непрерывное управляющее воздействие в решётчатую функцию; ФФ – формирующий фильтр, преобразующий решётчатую функцию в последовательность прямоугольных импульсов. ИИЭ ФФ ( ) u t *( ) u t ( ) u t Рис. В5. Функциональная схема экстраполятора нулевого порядка
На рис. В6 ИИЭ реализован при помощи звена умножения, на один вход которого подаётся непрерывное управление, а на другой – последовательность дельта-функций. Умножение ( ) u t * * ( ) ( ) u kT u t ( ) t kT Рис. В6. Структурное представление идеального импульсного элемента Для получения аналитической модели формирующего фильтра графически представим прямоугольный импульс в виде суммы двух ступенчатых импульсов (рис. В7). Напомним, что единичная ступенчатая функция – это интеграл от дельта-функции. kT kT T t t ( ) u t ( ) u kT ( ) u kT Рис. В7. Пример прямоугольного импульса управления Модель ФФ можно предоставить следующим образом (рис. В8). p 1 -pT e 1 p ( ) ( ) u t t ( ) ( ) u t u kT Рис. В8. Структурная схема модели формирующего фильтра
Передаточная функция ФФ имеет вид ФФ 1 1 1 ( ) pT pT e W p e p p p . Аналогичный результат можно получить, используя преобразование Лапласа: 0 ( ) ( ) st x s x t e dt , где s = + j – оператор Лапласа. Найдём преобразование Лапласа решётчатого управляющего воз действия: * 0 ( ) ( ) ( ) k u t u kT t kT , * 0 ( ) ( ) k kTs u s u kT e . Проделаем эту процедуру для ступенчатого управляющего воздействия: ФФ 0 * ФФ 0 ( ) ( ) ( )(1( ) 1( ( 1) )), 1 ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ). k kTs sT k s W u t u kT t kT t k T u s u kT e e u s W s s Как видим, результаты двух выводов совпадают, отличаясь только оператором. На рис. В9 приведено структурное представление формирующего фильтра, а на рис. В10 – структурная схема системы с экстраполятором нулевого порядка. ФФ( ) W s ( ) * u t ( ) u t Рис. В9. Структурная схема формирующего фильтра
ИИЭ ИИЭ ФФ( ) W s О( ) W s ( ) u t *( ) u t ( ) u t ( ) y t *( ) y t ПНЧ ( ) W s Рис. В10. Система с экстраполятором нулевого порядка Последовательное соединение формирующего фильтра и объекта называют приведённой непрерывной частью (ПНЧ), ее передаточная функция ПНЧ ФФ О ( ) ( ) ( ) s W s W W s . B учебное пособие включены задачи по темам, которые рассматриваются при изучении методов анализа и синтеза цифровых систем автоматического управления. Пособие предназначено для выполнения индивидуальных заданий по курсу «Цифровые системы управления» и самостоятельной работы студентов. Изучение данного курса требует знаний, полученных при освоении курсов «Теория автоматического управления», «Линейная алгебра», «Математический анализ». Тема 1. ПЕРЕХОД ОТ НЕПРЕРЫВНОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА К ДИСКРЕТНОЙ Основным аппаратом описания линейных импульсных систем являются разностные уравнения. В отличие от дифференциальных уравнений, где аргумент – непрерывное время, в разностных уравнениях аргумент – дискретное время. Многоканальный объект описывают разностным уравнением в векторно-матричной форме: ( ) ( ) ( ), ( ) ( ). x kT T Ax kT Bu kT y kT Cx kT (1.1) Здесь T – шаг квантования; kT – текущий момент времени; n x R – вектор состояния, n – порядок объекта; m u R – вектор управляющих воздействий, n m ; A – квадратная матрица действительных коэффициентов; , B C – прямоугольные матрицы действительных коэффициентов;
m y R – выходные переменные системы. Часто в записи разностного уравнения величину T опускают (так как она задана и неизменна), тогда уравнения выглядят так: ( 1) ( ) ( ), ( ) ( ). x k Ax k Bu k y k Cx k (1.2) Эта форму называют основной формой записи разностного уравнения или системой разностных уравнений в матричной форме. Разностные уравнения связывают переменные состояния системы, управление и выходные координаты только в фиксированные моменты. Способ 1. При малой величине шага дискретизации Т перейти от непрерывной модели к приближённой дискретной можно методом конечных разностей. Если использовать прямые конечные разности, то необходимо выполнить следующие подстановки: ( ) ( ) ( ) ( ) (при ) = dx t x t x kT T x kT t kT dt t T , 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) ( ) (при ) d x t x t x kT T x kT T x kT t kT dt t T . Способ 2. Матричная процедура перехода от непрерывной модели вида ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) x t Ax t Bu t y t Cx t (1.3) к дискретной (1.2) с шагом дискретизации T осуществляется на основе понятия переходной матрицы, когда при известных начальных условиях x(0) можно записать решение дифференциального уравнения (1.3): 0 ( ) ( ) (0) ( ) t At A t x t e x e Bu d .