Математический анализ. Часть I

Министерство образования и науки Российской Федерации Сибирский федеральный университет

















МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЧАСТЬ I

Учебное пособие



















Красноярск СФУ 2018

УДК 519.677(07)
ББК 22.161я73
     М340

Авторский коллектив:
        И. А. Антипова, И. И. Вайнштейн, Т. В. Зыкова, А. С. Кацунова,
И. Ф. Космидис, Т. О. Кочеткова, Т. В. Сидорова, В. С. Тутатчиков, И. М. Федотова, В. А. Шершнева

      Рецензенты:
      А. А. Родионов, доктор физико-математических наук, старший науч-

               ный сотрудник отдела дифференциальных уравнений механики Института вычислительного моделирования СО РАН;

      Л. В. Шкерина, доктор педагогических наук, профессор, заведующая

                кафедрой математического анализа и методики обучения математике в вузе Красноярского государственного   пе-
                дагогического университета им. В. П. Астафьева







М340 Математический анализ. Часть I : учеб. пособие / И. А. Антипова,

       И. И. Вайнштейн, Т. В. Зыкова [и др.]. - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. - 196 с.

      ISBN 978-5-7638-3326-3


            Рассмотрены следующие темы: введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной, интегральное исчисление функции одной переменной. Кроме теоретического материала, приведены основные формулы, используемые для решения задач, и подробно разобраны примеры.
            Предназначено для бакалавров направлений подготовки 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника», 09.03.02 «Информационные системы и технологии», 09.03.04 «Программная инженерия», 27.03.03 «Системный анализ и управление», 27.03.04 «Управление в технических системах», 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и производств».


                                                         УДК 519.677(07)
                                                         ББК 22.161я73


Электронный вариант издания см.: http:/catalog.sfu-kras.ru

ISBN 978-5-7638-3326-3

© Сибирский федеральный университет, 2018

                Оглавление





Модуль 1. Введение в анализ                                4
   1.1. Функциональная зависимость........................ 4
   1.2. Предел функции. Арифметические операции над пределами 12
   1.3. Теоремы о пределах. Предел числовой последовательности 21
   1.4. Сравнение бесконечно малых. Односторонние пределы . . 30
   1.5. Непрерывность функции ........................... 39

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной                                             48
   2.1. Производная функции и ее геометрический смысл.
       Правила дифференцирования......................... 48
   2.2. Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков....................... 63
   2.3. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.............. 71
   2.4. Исследование функций с помощью производной.
       Асимптоты графика функции......................... 79
   2.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
       Формула Тейлора................................... 93

Модуль 3. Интегральное исчисление функции одной переменной                                             99
   3.1. Неопределенный интеграл и его свойства........... 99
   3.2. Основные методы интегрирования...................109
   3.3. Интегрирование рациональных функций .............114
   3.4. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций .........................123
   3.5. Определенный интеграл и его свойства. Методы вычисления определенного интеграла....................135
   3.6. Несобственные интегралы..........................156
   3.7. Приложения определенного интеграла...............167
   3.8. Численное интегрирование.........................188

Библиографический список                                 195


3

                Модуль 1. Введение в анализ





            1.1. Функциональная зависимость



1.1.1. Понятие функции
   Функция (от лат. functio - исполнение, осуществление) — одно из основных понятий математики, означающее зависимость одной величины от другой (или нескольких других). Переменные величины и функции часто встречаются в естествознании и технике.
   Термин «функция» был введён в 1692 году немецким философом, математиком и физиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716).
   Определение 1. Если каждому значению, которое может принять переменная x , по некоторому правилу ставится в соответствие единственное значение переменной у, то говорят, что у есть функция от x.
   Обозначение: у = f (x).
   При этом величина x называется независимой переменной, или аргументом функции, а величина у — зависимой переменной.
   Множество всех значений x, для которых функция у = f (x) определена, называют областью определения этой функции (00Ф). Множество всех значений, принимаемых переменной у, - область значений функции (ОЗФ).
   Пример 1


    Площадь S квадрата является функцией длины а его стороны: S = а².


    Объем V шара можно выразить через его радиус R как V = 4nR³ .

    Объем V конуса фиксированной высоты h зависит от радиуса r его основания: V(r) = 1 nr²h.

    Свободно падающее тело за время t преодолевает расстояние s(t) = gt , где g — ускорение свободного падения.

4

1.1.2. Способы задания функции
  Существуют следующие способы задания функции:


   • аналитический., когда функция задаётся с помощью формулы или уравнения;


  •  табличный, при котором перечисляются значения аргумента x и соответствующие им значения функции у (используется при записи результатов экспериментов и наблюдений);

  •  графический в виде линии на плоскости.


   Пример 2. Следующие функции заданы аналитически: у = x² + x — 3, у = 5, у = sin4 x, у³ + x² — 9 = 0.
   Первые три функции в примере 2 заданы явно, т. е. уравнением у = f (x). Четвертое же уравнение имеет вид F (x, у) = 0, и в этом случае говорят, что функция у задана неявно. Разрешая указанное уравнение относительно у, получим явную функцию у = 3/ 9 — x². Заметим, что не всегда неявная функция может быть записана явно. Например, из уравнения ex + у — ln у + sin(xy) = 0 нельзя выразить у.
   На различных промежутках своей области определения функция может иметь различное аналитическое представление, например,


                у=


x², x 6 0, —x, x > 0.

  К аналитическому способу относится также параметрическое задание функции, когда обе переменные x и у зависят от некоторого параметра:


x = x (t) , у = у⁽t),

                                                           t Е [a, b].


Исключая параметр t из системы, можно перейти к явному или неявному заданию функции.
  Пример 3. Рассмотрим функцию


                            x = cos t, у = sin t,


t Е [0, n].

Возведем в квадрат правую и левую части каждого уравнения, а затем сложим полученные равенства почленно. Тогда с учетом основного тригонометрического тождества sin²1 + cos²1 = 1 получим: x² + у² = 1. Таким образом, мы пришли к неявному заданию функции. Далее, учитывая, что у > 0 пр и t Е [0 ,п ], получаем явную функцию у = д/1 — x- .


5

Ниже приведен пример функции, заданной таблично.

x 1 \ 3 / 2  1/2   0 -1 / 2  - 3/2 / // -1
У 0   1/2   Щ / /2 1 \ з / 2    1/2     0 

  Табличный способ широко используется в различного рода экспериментах и наблюдениях. Таблицы просты в обращении, по имеют недостаток, который заключается в том, что функция определена не для всех значений аргумента. Такой способ удобен при задании функций, зависящих от переменной, которая принимает дискретные значения.
  При графическом способе функция представляется в виде линии па плоскости. Для любой функции, заданной аналитически, можно построить ее график, т. е. множество точек (x,y) плоскости Oxy, координаты которых связаны соотношением y = f (x) (для явной функции) или F(x, у) = 0 (для неявной функции) или определяются из равенств x = x(t), у = у(t) при t Е [a, b] (для параметрической функции).
  Например, графиком функции из примера 3 является верхняя полуокружность окружности радиуса 1 с центром в начале координат.
  Преимуществом графического способа является его наглядность. Графический способ используется при работе различных самопишущих приборов. В медицине, например, функционирование сердца анализируется с помощью кардиографа.
1.1.3. Основные элементарные функции и их графики
  К основным элементарным функциям относятся постоянная, степенная (в том числе линейная), показательная, логарифмическая, тригонометрические, а также обратные тригонометрические функции.
  На рис. 1.1-1.6 изображены графики основных элементарных функций.


Степенная

6

Логарифмическая y=logᵣₜx (а>0, а #1)

7

Арккосинус, у = arccos х

Арктангенс, у = arctg х

1.1.4. Свойства функции
  Определение 2. Функция у = f(x) называется четной, если для любого х из области определения выполняется равенство f (—х) = f (ж).
  Определение 3. Функция у = f(x) называется нечетной, если для любого х из области определения справедливо /(—ж) = —/(ж).

8

   Например, функции y = x² и y = cos x являются четными, а функции y = x³ , y = sin x y y = arctg x — нечетными.
   Область определения четных и нечетных функций симметрична относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси Oy , а нечетной — относительно начала координат.
   Определение 4. Функция y = f (x) называется периодической, если ее значения не изменяются при добавлении к значениям аргумента некоторого числа T > 0, называемого периодом функции: f ⁽x + T) = f ⁽x).
   Все тригонометрические функции являются периодическими, причем y = sin x и y = cos x имеют период T = 2 я,ay = tg x y y = ctg x — период T = п.
1.1.5. Обратные функции
   Пусть функция задана явно уравнением y = f (x). Решив это уравнение относительно переменной x , получим обратную к y = f (x) функцию, которая обозначается x = f - 1(y). Имеет место равенство y = f ⁽f -¹⁽ y ))■
   При записи обратных функций можно придерживаться стандартного обозначения, когда буквой x обозначается аргумент, а буквой y _ функция, т. е. y = f - 1(x).
   Например, взаимно обратными являются функции y = ax и y = logₐ x, а также y = x³ и y = 3/x.
   График обратной функции y = f - 1(x) получается из графика функции y = f (x) симметрией относительно прямой y = x (сравните, например, графики показательной и логарифмической функций на рис. 1.1 и 1.2).

1.1.6. Сложные функции

   Пусть функция y зависит от переменной u: y = f (u), а переменная и — от x: u = ф (x). Тогда при изменении x будет меняться u, а следовательно, и y. Таким образом, y является функцией от x. В этом случае говорят, что задана оюокш функция y = f (ф(x)).
   Указанную сложную функцию называют также суперпозицией функций f и <р или функцией от функции. При этом f является внешней функцией, а <р — внутренней.
   Пример 4. Дана функция f (x) = arccos(lg(x)). Найдем ее значение в точке x = io .
   Имеем f (ilo) = arccos(lg()) = arccos(—1) = п.

9

  Всякая функция, которая получается из основных элементарных функций путем конечного числа суперпозиций и основных арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления), называется элементарной функцией. Например, многочлен любой степени есть элементарная функция.
1.1.7. Многозначные функции
  Иногда возникает ситуация, когда каждому значению независимой переменной x соответствует несколько значений у. В этом случае говорят, что задана многозначная функция.
  Например, уравнение у² — x = 0 определяет две функции: у = ±д/x, т. е. двузначную функцию.
  Из школьной тригонометрии известно, что уравнение sin у = x имеет бесконечно много решений:
у = (—1)k arcsin x + пк, (к = 0, ± 1, ±2, ...).
Их можно рассматривать как значения многозначной функции у = Arcsin x, заданной на отрезке [—1, 1].
  Аналогично определяются многозначные функции: у = Arccos x, у = Arctg x и у = Arcctg x.
1.1.8. Простейшие преобразования графика функции

  1. График функции у = f (x + a) получается из графика функции у = f (x) параллельным перенос ом (сдвигом) вдоль оси Ox на a единиц влево, если a > 0, и на \a\ единиц вправо, если a < 0.
  2. График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f (x) сжатием к оси Оу в к раз при к > 1 и растяжением от оси Оу в 1 /к раз при 0 < к < 1.
  3. График функции у = к/ (x) получается из графика функции у = f (x) растяжением от оси Ox в к раз при к > 1 и сжатием к оси Ox в 1 /к раз при 0 < к < 1.
  4. График функции у = f (x) + b получается из графика функции у = f (x) параллельным перенос ом (сдвигом) вдоль оси Оу на b единиц вверх, если b > 0, и на \b\ единиц в низ, если b < 0. ⁵

  5. График функции у = — f (x) получается из графика функции у = f (x) симметрией относительно оси Ox.

10

   Для построения графика функции y = kf (mx + b) + а необходимо сначала записать функцию в виде

y = kf (mx + b) + a = kf mix + — m

+ a,

а затем применить преобразования 1-5 к графику функции y = f (x).

Практическое занятие
Функциональная зависимость. Свойства функции

   Функция y = f (x) называется четной, если для любого x из области определения выполняется равенство f (—x) = f (x), и нечетной., если справедливо f (—x) = — f (x).
   Функция y = f (x) называется периодической, если ее значения не изменяются при добавлении к значениям аргумента некоторого числа T > 0, называемого пер иодом функции: f (x + T) = f (x).
   Пример 5. Найти 00Ф y = д/4 — x².
   РЕШЕНИЕ. Функция имеет смысл, когда 4 — x² > 0, т. е. |x| 6 2.
Следовательно, ООФ есть отрезок [—2, 2].

   Пример 6. Найти ООФ и ОЗФ y = arcsin x 4¹
   РЕШЕНИЕ. Область определения функции y = arcsin x есть отрезок [ — 1, 1]. Следовательно, множество точек, в которых данная функция определена, удовлетворяет двойному неравенству

—1 6

Отсюда находим — 4 6 x — 1 6 есть отрезок [—3, 5]. Областью [—п/2 ,п/2].

x — 1
  4 ⁶ '
4, то есть — 3 6 x значений функции

6 5. Итак, 00Ф является отрезок

  Пример 7. Доказать, что функция f (x) = x — нечетной.
  Решение. Имеем

X 5
x- является
5

f (—x) = (—x) —

⁽—x⁾³ ,
   3
x³ x — — +
    3

(—x )⁵
  5
x⁵
— =
5

    x 3 x
x + —
3

3 x ³
3

	

	

	

x ⁵ т

	

—f ⁽x).

Поскольку f (—x) = — f (x), функция нечетная.


   Пример 8. Показать, что функция f (x) = tg x sin3x + ctg2x является периодической, и найти ее период.

11